FIR滤波器的原理及设计

实验名称：基于分布式算法的FIR滤波器设计

1．数字滤波器基础知识

数字滤波是信号与信号处理领域的一个重要分支，在语音图像处理、模式识别、谱分析、无线通信等领域都有着非常广泛的应用。通过滤波运算，将一组输入数据序列转变为另一组输出数据序列，从而达到修正时域或频域中信号属性的目的。数字滤波器就是用于完成这种信号滤波功能，用有限精度算法来实现的一种离散时间线性时不变（LTI）系统。相比于模拟滤波器，数字滤波器具有以下优点：（1）数字滤波器的频域特性容易控制，性能指标优良；（2）数字滤波器可以工作在极低的频率，可以方便地实现模拟滤波器难以实现的线性相位系统；（3）数字滤波器工作稳定，一般不会受到外部环境的影响；（4）数字滤波器的灵活性和可重用性高，只需要简单编程就可以修改滤波器的特性，设计周期短。数字滤波器的实现可以采用专用DSP芯片，通过编写程序，利用软、硬件结合完成滤波器设计，也可以采用市面上通用的数字滤波器集成电路来实现，但这两种方法无法适应高速应用场合。随着集成电路技术的高速发展，FPGA应用越来越普及，FPGA器件具有芯片密度大、执行效率高，速度快，集成度高等优点，用FPGA芯片作为滤波器的设计载体，可以实现高速信号滤波功能。

1.1 FIR数字滤波器特点

数字滤波器通常分为IIR（无限冲激响应）和FIR(有限冲激响应)两种。FIR滤波器具有以下特点：（1）可以做成严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性（2）单位冲激响应是有限长的，所以一定是稳定的，因此在实际中得到广泛的应用。

1.2 FIR滤波器结构

设FIR滤波器的单位冲激响应为h(n)，0nN1，

系统函数 H(Z)h(n)zn0N1n

差分方程形式为：y(n)基本结构（直接型）：

h(k)x(nk) （1）

k0N1

图（1）FIR滤波器的基本结构

1.3 结构简化

当FIR滤波器具有严格线性相位时，h(n)满足h(n)h(N1n)或

h(n)h(N1n)设N为偶数，令 s(0)x(n)x[n(N1)] s(1)x(n1)x[n(N2)]



s(NNN1)x[n(1)]x(n) 222则（1）式可以简化为：

N12k0y(n)h(k)s(nk) （2）

与（1）相比，所需乘法器数量降为原来的一半。

图（2） 简化乘法器数量的线性相位滤波器

1.4 设计规模的改进

当滤波器的长度N增加时，可将求和分配到几个的M阶并行DA的LUT中。以（1）式为例，设NLM，

y(n)h(k)x(nk)h(Llm)x[n(Llm)]

k0l0m0N1L1M1这样，长度为N的滤波器实现可以分解为L个长度为M的滤波器，可运用流水线加法器累加结果。

2. 分布式算法

在很多DSP应用场合中，滤波器系数一般为常数，在这种情况下，可以利用分布式（Distributed Algorithm，DA）算法原理将求乘积和运算转变为移位和加法运算来实现。在滤波器规模比较小的情况下，采用DA算法可以减少电路规模，更容易实现流水处理，从而有更高的执行效率。以（2）式为例，DA算法的基本思想为：

在（2）式中，设h(k)为常数，将s(nk)表示为B+1位二进制补码形式，其中，最高位为符号位，用sB(nk)表示，下标B表示第B位，数值位共有B位，用sb(nk)表示，其中

0bB1。

即s(nk)[sB(nk)s1(nk)s0(nk)]补 将式中各二进制位按权展开，则有下式成立，

s(nk)2sB(nk)sb(nk)2b

Bb0B1代入（2）式，并改变式中求和的次序，可得

y(n)h(k)s(nk)

k0N12h(k)[2sB(nk)sb(nk)2b]

Bk0b0N12k0N12k0N12B12[h(k)sB(nk)]h(k)sb(nk)2b

Bb0N12k0N12k0B12[h(k)sB(nk)]2b[h(k)sb(nk)]Bb0B1

2f[h(k),sB(nk)]2bf[h(k),sb(nk)]

Bb0B1DA算法的基本思想就是用一个LUT（查找表）来实现运算f[h(k),sB(nk)]及

f[h(k),sb(nk)]，则滤波结果可以相应二次幂加权并累加来实现，从而达到提高执行效

率的目的。

例：无符号DA卷积

用分布式算法计算yc,xc(2)=1,则可得LUT如下： 0 0 0 0 1 1 1 1 步骤 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 Xt(2) 1 1 1 c(n)x(n)，假设3位系数值分别为c(0）=2,c(1)=3和

n020 1 0 1 0 1 0 1 Xt(1) 1 1 0 Xt(0) 1 0 0 1*0+3*0+2*0=0 1*0+3*0+2*1=2 1*0+3*1+2*0=3 1*0+3*1+2*1=5 1*1+3*0+2*0=1 1*1+3*0+2*1=3 1*1+3*1+2*0=4 1*1+3*1+2*1=6 Acc(t) 6 14 18 设x(0)=1, x(1)=3,x(2)=7

进行数值校验：

y==c(0)x(0)+c(1)x（1）+C(2）x(2)=18 √

图（3） 移位加法器DA结构

3. FIR滤波器的MATLAB设计 3.1 设计函数

在MATLAB信号处理工具箱中，提供了基于窗函数的FIR数字滤波器设计函数。fir1是用窗函数法设计线性相位FIRDF的工具箱函数，调用格式如下： hn=fir1(N, wc, ′ftype′, window)

fir1实现线性相位FIR滤波器的标准窗函数法设计。“标准”是指在设计低通、 高通、

带通和带阻FIR滤波器时，Hd(ejω)分别取相应的理想低通、 高通、 带通和带阻滤波器，因此设计的滤波器的频率响应称为标准频率响应。

hn=fir1(N,wc)可得到6dB截止频率为wc的N阶(单位脉冲响应h(n)长度为N+1)FIR低通滤波器，默认(缺省参数windows)选用hammiing窗。其单位脉冲响应h(n)为h(n)=hn(n+1), n=0,1,2,…,N而且满足线性相位条件：h(n)=h(N-1-n)其中wc为对π归一化的数字频率，0≤wc≤1。当wc=［wc1, wc2］时，得到的是带通滤波器，其6 dB通带为wc1≤ω≤wc2。

hn=fir1(N,wc,′ftype′)可设计高通和带阻滤波器。 当ftype=high时，设计高通FIR滤波器； 当ftype=stop时，设计带阻FIR滤波器。

应当注意，在设计高通和带阻滤波器时，阶数N只能取偶数(h(n)长度N+1为奇数)。不过，当用户将N设置为奇数时，fir1会自动对N加1。

hn=fir1(N,wc,window)可以指定窗函数向量window。如果缺省window参数，则fir1默认为hamming窗。可用的其他窗函数有Boxcar, Hanning, Bartlett, Blackman, Kaiser和Chebwin窗。这些窗函数的使用很简单(可用help命令查到)，例如： hn=fir1(N,wc,bartlett(N+1))使用Bartlett窗设计； hn=fir1(N,wc,chebwin(N+1,R))使用Chebyshev窗设计。

hn=fir1(N,wc,′ftype′,window)通过选择wc、 ftype和window参数(含义同上)，可以设计各种加窗滤波器。

Fir2可以指定任意形状的Hd(ejω), 用help命令查阅其调用格式。

3.2 FDATOOL使用

fdatool（filter design & analysis tool）是matlab信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，fdatool可以灵活地采用不同方法设计几乎所有的经典滤波器，查看滤波器的各种指标，并得到所设计滤波器的系数。

在MATLAB的命令窗口输入：fdatool命令，会出现图（4）所示界面，界面总共分两大部分，一部分是design filter，在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。design filter部分主要分为：Response type（滤波器类型）选项，包括lowpass（低通）、highpass（高通）、bandpass（带通）、bandstop（带阻）和特殊的fir滤波器。

design method（设计方法）选项，包括iir滤波器的butterworth（巴特沃思）法、chebyshev type i（切比雪夫i型）法、 chebyshev type ii（切比雪夫ii型） 法、elliptic（椭圆滤波器）法和fir滤波器的equiripple法、least-squares（最小乘方）法、window（窗函数）法。

filter order（滤波器阶数）选项，定义滤波器的阶数，包括specify order（指定阶数）和minimum order（最小阶数）。在specify order中填入所要设计的滤波器的阶数（n阶滤波器，specify order＝n-1），如果选择minimum order则matlab根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。

frequency specifications选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率fs和频带的截止频率。它的具体选项由filter type选项和design method选项决定，例如bandpass（带通）滤波器需要定义fstop1（下阻带截止频率）、fpass1（通带下限截止频率）、fpass2（通带上限截止频率）、fstop2（上阻带截止频率），而lowpass（低通）滤波器只需

要定义fstop1、fpass1。采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的，所以只需要定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。

magnitude specifications选项，可以定义幅值衰减的情况。例如设计带通滤波器时，可以定义wstop1（频率fstop1处的幅值衰减）、wpass（通带范围内的幅值衰减）、wstop2（频率fstop2处的幅值衰减）。当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db，所以不必定义。

window specifications选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种常用的窗函数类型。

图（4） 滤波器设计分析界面

例：设计方法(Design Method)为FIR，采用窗口法(Window)；  滤波器阶数(Filter Order)定制为15；  窗口类型为Kaiser，Beta为0.5；  Fs为48 kHz，Fc为10.8 kHz。 设置好后的界面如图（5）所示。

图（5） 设计界面

计算完FIR滤波器系数后，往往需要对设计好的FIR滤波器进行相关的性能分析，以便了解该滤波器是否满足设计要求。分析操作步骤如下： （1）选择FDATool的菜单“Analysis”→“Magnitude Response”，启动幅频响应分析。图（6）显示了滤波器的幅频响应图，x轴为频率，y轴为幅度值(单位为dB)。在图的左侧列出了当前滤波器的相关信息：滤波器类型为Direct form FIR(直接I型FIR滤波器)；滤波器阶数为15。

图（6） 滤波器的幅频响应图

选择菜单“Analysis”→“Phase Response”，启动相频响应分析。图（7）显示了滤波器的相频响应。由图可以看到设计的FIR滤波器在通带内其相位响应为线性的，即该滤波器是一个线性相位的滤波器。

图（8）显示了滤波器幅频特性与相频特性的比较。这可以通过菜单选择“Analysis”→“Magnitude & Phase Response”来启动分析。

选择菜单“Analysis”→“Group Delay Response”，启动群延时分析，波形如图（9）所示。

图（7）相频响应

图（8） 幅频响应与相频响应的比较

图（9） FIR滤波器的群延时

求出的FIR滤波器的系数可以通过选择菜单“Analysis”→“Filter Coefficients”来观察，见图（10）。图中列出了FDATool计算的15阶直接I型FIR滤波器的部分系数。

图（10） FIR滤波器系数

（5）量化

从图（10）可以看到，FDATool计算出的值是一个有符号小数，而FIR滤波器模型需要一个整数作为滤波器系数。所以必须进行量化，并对得到的系数进行归一化。为此，点击FDATool左下侧的工具按钮进行量化参数设置。在设置“Turn quantization on”前选择“√”，如图（11）所示。

图（12 ）中显示了量化后的部分系数值。注意在这里系数仍是用小数表示的，不同于量化前的系数，现在其二进制表示的位数已满足量化要求。

图（11） 量化参数设置

设计的FIR滤波器在量化后滤波器的性能会有所改变，其幅频响应、相频响应也有所变化。量化在带来实现方便的同时也带来了量化噪声，图（ ）显示了量化带来的噪声分析。

图（12） 量化后的噪声分析

（6）导出滤波器系数

为导出设计好的滤波器系数，选择FDATool菜单的“File”→“Export...”，打开导出(Export)对话框，如图（13）所示。在该窗口中，选择导出到工作区(Workspace)。这时滤波器系数就存入到一个一维变量Num中了，不过这时Num中的元素是以小数形式出现的： Num =-0.0742 0.0234 0.1133 0.0117 -0.1758 -0.0977 0.3594 0.8281 0.8281 0.3594 -0.0977 -0.1758 0.0117 0.1133 0.0234 -0.0742

图（13）导出系数对话框

现在若要在FIR滤波器模型中使用这些数据，还需要将它们转化为整数：在MATLAB主窗口的命令窗口中键入：

>>Num*(2^8)

得到：>>Num*(2^8) ans=

Columns 1 through 10

-19 6 29 3 -45 Columns 11 through 16

-25 -45 3 29 6 -19

计算出的系数可用于FIR滤波器设计中。

-25 92 212 212 92

4. DDS信号发生器

DDS为直接数字频率合成技术，最初由美国学者J.Tierney等人于1971年提出，它是一种新颖的全数字实现技术，由于其具有频率转换时间短，频率分辨率高，相位噪声低以及在频率转变时保持相位连续等优点，在现代通信、雷达、航天航空等众多领域得到广泛应用。 DDS的基本结构如图（14）所示。

相位字输入同步寄存器数据线位宽NN频率字输入同步N寄存器M寄存器M正弦ROM查找表D/A正弦信号输出相位调制器clk系统时钟相位累加器 图（14） DDS的基本结构

一个基本的DDS结构主要由相位累加器、相位调制器、正弦ROM查找表和D/A构成。图中的相位累加器、相位调制器、正弦ROM查找表是DDS结构中的数字部分，由于具有数控频率合成的功能，又合称为NCO(Numerically Controlled Oscillators)。

相位累加器是整个DDS的核心，在这里完成相位累加功能。相位累加器的输入是相位增量，又由于与输出频率fout是简单的线性关系,故相位累加器的输入又可称为频率字输入，频率字输入在图(14)中还经过了一组同步寄存器，使得当频率字改变时不会干扰相位累加器的正常工作。

相位调制器接收相位累加器的相位输出，在这里加上一个相位偏移值，主要用于信号的相位调制，如PSK(相移键控)等。在不使用时可以去掉该部分，或者加一个固定的相位字输入。相位字输入也需要用同步寄存器保持同步。需要注意的是，相位字输入的数据宽度M与频率字输入N往往是不相等的，M正弦ROM查找表完成的查表转换，也可以理解成相位到幅度的转换，它的输入是相位调制器的输出，事实上就是ROM的地址值；输出送往D/A，转化成模拟信号。由于相位调制器的输出数据位宽M也是ROM的地址位宽，因此在实际的DDS结构中N往往很大，而M总为10位左右。M太大会导致ROM容量的成倍上升，而输出精度受D/A位数的未有很大改善。因此，在实际应用中，对于ROM容量的缩小，人们提出了很多解决方法。

5.SignalTap Ⅱ逻辑分析仪

随着FPGA设计任务复杂性的不断提高，FPGA设计调试工作的难度也越来越大，在设计验证中投入的时间和花费也会不断增加。为了让产品更快投入市场，设计者必须尽可能减少设计验证时间，这就需要一套功能强大且容易使用的验证工具。Altera SignalTap Ⅱ逻辑分析仪可以用来对Altera FPGA内部信号状态进行评估，帮助设计者很快发现设计中存在问题的原因。

Quartus Ⅱ软件中的SignalTap Ⅱ逻辑分析仪是非插入式的，可升级，易于操作且对Quartus Ⅱ用户免费。SignalTap Ⅱ逻辑分析仪允许设计者在设计中用探针的方式探查内部信号状态，帮助设计者调试FPGA设计。

SignalTap Ⅱ逻辑分析仪支持下面的器件系列：Stratix Ⅱ、Stratix、Stratix GX、Cyclone Ⅱ、Cyclone、APEX Ⅱ、APEX 20KE、APEX 20KC、APEX 20K、Excalibur和Mercury。 在设计中嵌入SignalTap Ⅱ逻辑分析仪有两种方法：第一种方法是建立一个SignalTap Ⅱ文件(.stp)，然后定义STP文件的详细内容；第二种方法是用MegaWizard Plug-InManager建立并配置STP文件，然后用MegaWizard实例化一个HDL输出模块。

6.FIR滤波器IP核使用

QuartusII中提供了高性能FIR滤波器的IP core供设计人员使用。用户界面如图（15）所示。

图（15） FIR IP核设置界面

FIR IP核有丰富的控制信号，详细说明如下：

7. 实验结果

用VHDL语言设计分布式算法FIR滤波器，并设置DDS信号源的频率和相位控制字，使得输入到FIR滤波器的激励信号相当于：s(t)sin(100t)sin(200t)，即频率分别为50Hz和100Hz的两路正弦波的和信号，则经FIR滤波器滤波后，通过嵌入式逻辑分析仪监测到的信号波形如图（16）所示。

图（16） 滤波结果1

图（16）中filterin端口是DDS信号源的输入信号，filterout端口为FIR滤波器的输出信号。从滤波结果可以看出信号滤波前后的时域波形有了很大的不同，原始信号中的两个频

率分量经滤波后只留下一个单频的正弦波分量。而当改变频率和相位控制字，使得DDS信号源的输出信号相当于s(t)sin(96t)sin(48t)，即频率为24Hz和48Hz两个正弦波的和信号，通过嵌入式逻辑分析仪监测到的信号波形如图（17）所示。

图（17） 滤波结果2

从图（17）中可以直观地看出信号时域输出波形在滤波前后没有发生什么变化，原始信号中两个频率分量依然存在。建立相同数据在MATLAB中仿真，可得到一致结果，验证了设计的正确性。