对数与对数函数专题

基础梳理

1．对数的概念 (1)对数的定义

如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)几种常见对数

对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质

①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)． (2)对数的重要公式

logaN

①换底公式：logbN＝logb(a，b均大于零且不等于1)；

a

特点 底数为a(a＞0且a≠1) 底数为10 底数为e 记法 logaN lg N ln_N 1

②logab＝loga，推广logab·logbc·lo＝logad.

b(3)对数的运算法则

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么

M

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaN＝logaM－logaN； n

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④log amMn＝mlogaM.

3．对数函数的图象与性质

a＞1 0＜a＜1 图象 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0) 性质 当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0 是(0，＋∞)上的增函数 4.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 一种思想

对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范

解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点

1画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，a，－1.

四种方法

对数值的大小比较方法

(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．

考向一 对数式的化简与求值

当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0 是(0，＋∞)上的减函数 log

【例1】►求值：(1)log3；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；

21324

(3)2lg 49－3lg 8＋lg 245.

11

【训练1】 (1)若2a＝5b＝10，求a＋b的值． (2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．

考向二 对数值的大小比较

【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，1－

设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )． A．c＜a＜b C．b＜c＜a

1

【训练2】 (2010·全国)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－2，则( )． A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a

考向三 对数函数性质的应用

【例3】►已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围． 【训练3】 已知f(x)＝log4(4x－1) (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性；

1

(3)求f(x)在区间2，2上的值域．



1x

2，x≤1，

【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x

1－logx，x＞1，2

－

B．c＜b＜a D．a＜b＜c

的取值范围是________． 课堂检测

1．2 log510＋log50.25＝( )．

A．0 B．1 C．2 D．4

2．已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是( )． A．a＜b＜c C．b＜a＜c

B．a＜c＜b D．c＜a＜b

3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )． A．(0，＋∞) C．(1，＋∞)

B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)

4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )． A．(－∞，1] 3

C.0，2 

4

B.－1，3 D．[1,2)

2

5．若loga3>1，则a的取值范围是________．

课时作业(十二)

一、选择题

1．(2011年济南市4月高三模拟)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是( )

2．(2012年河北正定中学高三第2次月考)已知0A．mA．(，＋∞)

25

C．(－∞，)

2

－

B．mB．(3，＋∞) D．(－∞，2)

21x， x≤1，

4．(2011年辽宁高考)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范

1－2logx， x>1，2

围是( )

A．[－1,2] C．[1，＋∞) 11A．f()3211

C．f()23

B．[0,2] D．[0，＋∞) 11

B．f()5．设函数 f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝ f(x)，且当x≥1时， f(x)＝lnx，则有( )

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 二、填空题

7．函数y＝log0.54x2－3x的定义域是________．

8．若函数f(x)＝loga－1(a＋3－ax)在(0,3)上单调递增，则a∈________.

9．设 f(x)＝log3(x＋6)的反函数为f1(x)，若[f1(m)＋6]·[f1(n)＋6]＝27，则f(m＋n)＝

－

－

－

________.

三、解答题

10．(1)计算：2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－lg2＋1； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m

＋n

的值．

11．若 f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)． (1)求 f(log2x)的最小值及对应的x值； (2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)