专题 全等三角形的条件 知识点解析 一、三角形全等的条件 判定一般三角形全等的方法：有 、 、 、 等四种。（填简写） ★注意：要记住“三角(AAA)对应相等”或“两边一对角(SSA)对应相等”的两个三角形不一定全等． 二、全等判定方法的选择： 找夹角 （ ） （1）已知两边 找第三边 ( ) 边为角的对边时，找角 ( ) （2）已知一边一角 找夹角的另一边 ( ) 边为角的邻边时， 找夹边的另一角 ( ) 找边的对角 ( ) 找两角的夹边 ( ) （3） 已知两角 找任意一边 ( ) ★注意：读题时注意隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系； 三、归纳：做题技巧： 1）平行——角相等； 2）对顶角——角相等； 3）公共角——角相等； 4）角平分线——角相等； 5）垂直——角相等； 6）中点——边相等； 7）公共边——边相等； 8）折叠、旋转——角相等，边相等 四、全等三角形证明过程详细步骤★ 1、如图，OA＝OC，OB＝OD. 求证：AB∥DC. 证明：在△ABO和△CDO中， AOBCDOAOC, AOB__________, OBOD, ∴△ABO≌△CDO（ ）. ∴∠A＝ . ∴AB∥DC（ 相等，两直线平行）.
1 2. 如图，AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，BF＝DE. 求证：△ABE≌△CDF. 证明：∵AB∥DC， ∴∠1＝ . ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝ . ∵BF＝DE， ∴BE＝ . 在△ABE和△CDF中， 1AFBEC2D1______, BE______, AEB_______, ∴△ABE≌△CDF（ ）. 3. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：ΔABC≌ΔDEF。 证明：∵BE=CF （_____________） ∴BE+EC=CF+EC 即BC=EF 在ΔABC和ΔDEF中 AB=________ （________________） __________=DF（_______________） BC=__________ ∴ΔABC≌ΔDEF （_____________） BECFAD典型例题 题型一、全等三角形的判定条件 ⑴ 平移全等型 ⑵ 对称全等型 AF分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF 【例1】已知：如图ABAC，E、FEB
C 2 ⑶ 旋转全等型 △CBA. 【例2】已知：如图，AD∥BC，ADCB。求证：△ADC≌AD B C△ACE． 【例3】已知：如图，ABAC，ADAE，12。求证：△ABD≌A12 BC ED 【例4】已知：如图AC和BD相交于点O，OAOC，OBOD。求证：AB∥DC DC O AB题型二、利用全等证明线段间的和差关系 ☻解题小技巧：在一个图形中当有多个直角出现时，常常利用角度之间的互余关系（即：同角或等角的余角相等）来找角相等 【例1】已知：如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DEAG于E，BFAG于F． （1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：AFEFFB． AD BEFC
3 【变式1】如图，在Rt△ABC中，ABAC，BAC90，过点A的任一直线AN，BDAN于D，BDAN于E 求证：DEBDCE ADBENC 求证：DEADBE. B 【变式2】如图，在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E， ADC E 专题 三角形的尺规作图 知识点解析 作三角形的三种类型： ① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS 典型例题 【例1】作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 【例2】作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB。 求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB
aABP4 【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法： 【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m，n, ∠. 求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n. 【例5】已知两角及夹边作三角形 已知：如图，∠，∠，线段c . 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=c. 随堂练习 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（ ） A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角； D．不能确定 2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（ ） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角 C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（ ） A．三角形的两条边和它们的夹角 B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边； D．三角形的三个角 4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（ ） A．作一个角等于已知角 B．作一个角使它等于已知角的一半 C．在射线上取一线段等于已知线段 D．作一条直线的平行线或垂线
5 专题 利用三角形全等测距离 知识点解析 一、利用三角形全等测距离 目的：变不可测距离为可测距离。 依据：全等三角形的性质。 关键：构造全等三角形。 二、方法 （1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形。 三、步骤 利用已有的全等三角形，或者是构造出全等的三角形，利用全等三角形的性质把难以测量或不能直接测量的线段(或角)转化为易测的线段(或角)． 四、模型 典型例题 例1 如右图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D.使BC=CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上，若测得DE=30米，则AB的距离为多少，请你说明理由. 例2 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由； 随堂练习
6 1、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的是（ ） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 2、使两个直角三角形全等的条件是（ ） A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等 3、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是 （ ） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 4、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为（ ） A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 5、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠EOB的度数为（ ） A．60° B．70° C．75° D．85° 6、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 7、①两角及一边对应相等 ②两边及其夹角对应相等 ③两边及一边所对的角对应相等 ④两角及其夹 边对应相等；以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 8、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 9、如图，已知MBND，MBANDC，下列条件不能判定是△ABM≌△CDN的是（ ） A．MN B. ABCD C．AMCN D. AM∥CN 10、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断△ABC与△DEF全等的是（ ） A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 11、如图，点CF在BE上，ACBDFE，请补充一个条件，使BCEF，AD MNACBD△ABC≌△DEF,补充的条件是 . BCFE
7 12、如图，EF90，BC，AEAF，给出下列结论： ①CADBAD ②BECF ③△ACN≌△ABM ④CDDN其中正确的结论是_________ _________ 13、如图：AE=DE，BE=CE，AC和BD相交于点E，求证：AB=DC ANEMDBCF 14、已知：如图，CD，BACABD，求证：OCOD DOC AB 15、已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE． 求证：（1）AE＝CF （2）AF//CE 16、已知，如图：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：AF⊥CD
8 ABE CFD C，D在一条直线上。求证：BEAD 17、已知：如图△ABC和△ECD都是等边三角形，且B，EABCD B 18、如图，△OAB和△BD．求证：ACBD COD均为等腰直角三角形，AOBCOD90， 连接AC、CDAO 19、 如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D•两点，•使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．•你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？
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