二次函数的概念—知识讲解(提高)

二次函数的概念—知识讲解（提高）

撰稿：杜少波 审稿：张晓新

【学习目标】

1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念； 2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法； 3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围； 4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【要点梳理】 要点一、函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.

对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释：

对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；

（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；

（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.

要点二、函数的三种表示方法

表示函数的方法，常见的有以下三种：

（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.

（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释：

函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

对照表如下：

表示方法 列表法 解析式法 图象法 全面性 准确性 × ∨ × ∨ ∨ × 直观性 ∨ × ∨ 形象性 × × ∨ 要点三、二次函数的概念 2

一般地，形如y=ax+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.

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若b=0，则y=ax+c； 若c=0，则y=ax+bx； 若b=c=0，则y=ax.以上三种形式都是二次函数的特

2

殊形式，而y=ax+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

在二次函数的一般式y=ax+bx+c（a≠0）中，ax叫函数的二次项，bx叫函数的一次项，c叫常数项；a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项. 要点诠释：

2

（1）如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．

（2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含其前面的符号. 【典型例题】

类型一、函数的相关概念

2

21、下列说法正确的是（ ） Ａ.变量 Ｂ.变量 Ｃ.变量 Ｄ.变量

满足满足满足满足

，则，则，则

是的函数；

是的函数； 是的函数；

是的函数.

，则

【思路点拨】严格依照函数的概念进行判断. 【答案】A；

【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的的值，都有两个

值和它对应，不满足单值对应的条件，

所以不是函数.

【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是惟一确定的. 举一反三：

【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）

【答案】B.

2、求函数的自变量的取值范围.

【思路点拨】要使函数有意义，需【答案与解析】 解：要使函数

有意义，则需要

或解这个不等式组即可.

即或

解方程组得，自变量取值是或.

【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x的值.

3、如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为15米)的矩形菜园ABCD，设AB

2

的长为x米，则菜园的面积y(单位：米)与x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(写自变量的取值范围)．

【思路点拨】根据矩形的周长和一边AB的长表示出另一临边AD的长，再根据矩形的面积公式来求解. 【答案】y12x15x（0＜x＜15） 230x米， 2【解析】解：∵矩形的周长为30米，边AB长x米，∴AD=

∴矩形的面积y=x30x12=x15x（0＜x＜15） 22【总结升华】考虑到实际情况，对于自变量x来说，一定不能超过墙的长度.

举一反三：

【变式】圆的半径是1cm，假设半径增加xcm，圆的面积增加ycm2，则y与x的关系式为：_____ ___.

【答案】yx22x

类型二、函数的三种表示方法

4、问题情境

已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y2(x)(x＞0)． 探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数yx①填写下表，画出函数的图象：

ax1(x＞0)的图象性质． x

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

2

③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数yx1(x＞0)的最小值． x解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

【思路点拨】本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以一定要跟着题目教给我们的思路走. 【答案与解析】

解⑴①y的值依次是：函数yx1710551017，，，2，，，． 4322341(x0)的图象如图． x

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当0x1时，y随x增大而减小；当x1时,y随x增大而增大；当x1时函数yx最小值为2． ③yx1(x0)的x1 x2=(x)(12) x1211 )2x2xxxx=(x)(2=(x12)2 x11=0，即x1时，函数yx(x0)的最小值为2．

xx当x⑵当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为4a．

【总结升华】本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察

了列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法. 类型三、二次函数的概念

5、当m＝________时，函数是二次函数?

【思路点拨】关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为2，二是最高次项系数不能为0. 【答案】

1 2【解析】

依题意有 解之得， ∴．

故当时，函数是二次函数．

【总结升华】此题考察二次函数的定义. 举一反三：

【变式1】函数y(m3)x|m|13x1是二次函数，则m的值是( )．

A．3 B．-3 C．±2 D．±3 【答案】B.

【变式2】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：

（1）yx(x1) （2）y4x12x(1x)

【答案】（1）一般形式：y2x22x1，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1.

（2）一般形式：y8x212x，二次项系数为-8，一次项系数为-12，常数项为0.

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