专题限时集训(六)
[第6讲 解三角形]
(时间：10分钟＋35分钟)
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1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，|AC|＝2|AB|＝2|AD|＝4，则|BD|＝( ) A.3 B．2 C.6 D．3
2．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sinA的值是( )
33A. B. 16143333C. D. 1614
3．若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，2) D．(1,2)
4．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
1．△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1，则sinAsinBsinC＝( ) 1331A. B. C. D. 4242
2．在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
4
A. B．43－3 3
2
C．1 D.
3
4．如图6－1，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )
图6－1 A.
33 B. 3666C. D. 36
5．11号台风“南玛都”于8月31日凌晨减弱为热带低压后登陆晋江，如图6－2，位于港口O正东方向20海里B处的渔船回港避风时出现故障，位于港口南偏西30°，距港口10海里C处的油轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔
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船，则油轮到达B处需要________小时．
图6－2 6．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________． 7.如图6－3，港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？
图6－3
∠ABC3
8．如图6－4，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝
23
43
2DC，BD＝.
3
(1)求BC的长；
(2)求△DBC的面积．
图6－4
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专题限时集训(六)
【基础演练】
1．C 【解析】 如图，设BD＝x，然后在△ABD，△ACD中分别使用余弦定理，利用cos∠ADB＋cos∠ADC＝0建立关于x的方程．
设BD＝DC＝x，根据余弦定理，得4＝4＋x2－4xcos∠ADB，16＝4＋x2－4xcos∠ADC，两个方程相加得20＝8＋2x2，解得x＝6.
3
2．D 【解析】 根据余弦定理得b＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理
sinA＝
733
，解得sinA＝. sin60°14
3．C 【解析】 由三角形有两解的充要条件得asin60°<3＝，代入数据得＝，解得AC＝6.sin45°sin60°sin∠ACBsin∠ABC
【提升训练】
11
1．D 【解析】 根据三角形面积公式和正弦定理S＝absinC＝2RsinA·2RsinB·sinC＝
221
2R2sinAsinBsinC，代入数据得sinAsinBsinC＝.
2
ππ
－A>sinB，2．C 【解析】 由于A为锐角，故－A也为锐角，而cosA>sinB即sin22πππ
由正弦函数的单调性得－A>B，即A＋B<，从而C>，故△ABC为钝角三角形．
222
3．A 【解析】 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，② 4
将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝.故选A.
3
4．D 【解析】 设BD＝2，则AB＝AD＝3，BC＝4，由余弦定理得
AD2＋BD2－AB23＋4－33
cos∠ADB＝＝＝，
2×AD×BD2×3×23∴sin∠BDC＝1－cos2∠BDC＝42
由正弦定理得＝，
sin∠BDCsinC
161－＝. 33
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1166
即sinC＝sin∠BDC＝×＝.
22365.BC＝
7
【解析】 在△OBC中，OC＝10，OB＝20，∠BOC＝120°，根据余弦定理得3
11077－＝107，故需要的时间是102＋202－2×10×20×＝(小时)． 2303
6．27 【解析】 因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，
所以A＋C＝120°， 由正弦定理，有
ABBCAC3
＝＝＝＝2， sinCsinAsinBsin60°
所以AB＝2sinC，BC＝2sinA.
所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(1200－A)＋4sinA. ＝2(sin120°cosA－cos120°sinA)＋4sinA ＝3cosA＋5sinA
35，cosφ＝＝27sin(A＋φ)，其中sinφ＝
2727所以AB＋2BC的最大值为27.
BD2＋CD2－BC21
7．【解答】 在△BDC中，由余弦定理知cos∠CDB＝＝－，
2BD·CD743
sin∠CDB＝.
7
πππ53
∠CDB－＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝∴sin∠ACD＝sin， 33314在△ACD中，由正弦定理知 ADCD
＝⇒AD＝15，
sin∠ACDsinA
∴轮船距港口A还有15海里． ∠ABC3
8．【解答】 (1)因为sin＝，
2311
所以cos∠ABC＝1－2×＝.
33在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b， 4
则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－a， ①
3在△ABC和△DBC中，由余弦定理可得 1b2＋－4
3
cos∠ ADB＝，
163
b316b2＋－a2
3
cos∠BDC＝.
83b3
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因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，
161b2＋－4b2＋－a2
33
所以有＝－，所以3b2－a2＝－6.
16383
bb33由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.
122
(2)由(1)得△ABC的面积为×2×3×＝22，
2322所以△DBC的面积为.
3
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