2018年天津文数高考试题

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式V=1Sh，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高． 3一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合A={1,2,3,4}，B={−1,0,2,3}，C={xR|−1x2}，则(A（A）{−1,1} （C）{−1,0,1}

（B）{0,1} （D）{2,3,4}

B)C=

x+y5，2x−y4，（2）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为

−x+y1，y0，（A）6 （C）21

（B）19 （D）45

（3）设xR，则“x38”是“|x|2”的

（A）充分而不必要条件 （C）充要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

7111（5）已知a=log3,b=()3,c=log1，则a,b,c的大小关系为

2453（A）abc （B）bac （6）将函数y=sin(2x+)的图象向右平移

（C）cba

（D）cab

5,]上单调递增 44（C）在区间[,]上单调递增

42（A）在区间[−

个单位长度，所得图象对应的函数 10（B）在区间[−,0]上单调递减

4（D）在区间[,]上单调递减

2

x2y2（7）已知双曲线2−2=1(a0,b0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,Bab两点．设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6,则双曲线的方程为

x2y2（A）−=1

39x2y2（C）−=1

412

x2y2（B）−=1

93x2y2（D）−=1

124

OM的（8）在如图的平面图形中，已知OM=1,ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BC·值为

（A）−15 （C）−6

（B）−9 （D）0

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）i是虚数单位，复数

6+7i=__________． 1+2i（10）已知函数f(x)=exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′（1）的值为__________．

（11）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．

（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

（13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+

1的最小值为__________． 8b2x+2x+a−2，x0，（14）已知a∈R，函数f(x)=2若对任意x∈［–3，+），f(x)≤x恒成立，则a的取

−x+2x−2a，x0．值范围是__________．

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

（16）（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos(B–（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．

（17）（本小题满分13分）

AB=2，如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AD=23，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

π)． 6

（18）（本小题满分13分）

设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．

（19）（本小题满分14分）

5x2y2设椭圆2+2=1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=13．

3ab（I）求椭圆的方程；

（II）设直线l:y=kx(k0)与椭圆交于P,Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．

（20）（本小题满分14分）

设函数f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)，其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列． （I）若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （II）若d=3，求f(x)的极值；

（III）若曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−63有三个互异的公共点，求d的取值范围．

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）C （5）D

（2）C （6）A

（3）A （7）A

（4）B （8）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9）4–i

（10）e （13）

1 4

1（11）

31（14）［，2］

8（12）x2+y2−2x=0 三、解答题

（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式

等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 所以，事件M发生的概率为P（M）=

5． 21（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理

abπ，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B−)，=sinAsinB6πππ得asinB=acos(B−)，即sinB=cos(B−)，可得tanB=3．又因为B(0，π)，可得B=．

663（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=

π，有b2=a2+c2−2accosB=7，故b=7． 33243π由bsinA=acos(B−)，可得sinA=．因为a6777

1 cos2A=2cos2A−1=．7所以，sin(2A−B)=sin2AcosB−cos2AsinB=4311333 −=．727214（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间

想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．

（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．

（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=AD2+AM2=13．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=AD2+AN2=13．

1MN132=在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cosDMN=．

DM26所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为13． 26（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=3．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．

在Rt△CAD中，CD=AC2+AD2=4． 在Rt△CMD中，sinCDM=CM3． =CD43． 4（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本

方法和运算求解能力．满分13分．

所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为（I）解：设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2−q−2=0．

因为q0，可得q=2，故bn=2n−11−2n．所以，Tn==2n−1．

1−2设等差数列{an}的公差为d．由b4=a3+a5，可得a1+3d=4．由b5=a4+2a6，可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1，故an=n，所以，Sn=（II）解：由（I），有T1+T2+由Sn+(T1+T2+1n(n+1)． 23+Tn=(2+2+2(1−2n)+2)−n=−n=2n+1−n−2.

1−2n+Tn)=an+4bn可得

n(n+1)+2n+1−n−2=n+2n+1， 2整理得n2−3n−4=0,解得n=−1（舍），或n=4．所以n的值为4．

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．

c25（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得2=，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由

a9|AB|=a2+b2=13,从而a=3,b=2． x2y2所以，椭圆的方程为+=1．

94（II）解：设点P的坐标为(x1,y1)，点M的坐标为(x2,y2)，由题意，x2x10， 点Q的坐标为(−x1,−y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|=2|PQ|， 从而x2−x1=2[x1−(−x1)]，即x2=5x1．

2x+3y=6,6AB易知直线的方程为2x+3y=6，由方程组消去y，可得x2=．由方程组

y=kx,3k+2x2y26+2yx=消去，可得．由x2=5x1，可得9k+4=5(3k+2)，两边平方，整=1,4919k2+4y=kx,2理得18k+25k+8=0，解得k=−81，或k=−． 928112时，x2=−90，不合题意，舍去；当k=−时，x2=12，x1=，符合题意． 9251所以，k的值为−．

2当k=−

（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查

函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，满分14分．

（Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故f(x)=3x2−1，因此f(0)=0，f(0)=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=f(0)(x−0)，故所求切线方程为x+y=0． （Ⅱ）解：由已知可得

f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2． 故f(x)=3x2−6t2x+3t22−9．令f(x)=0，解得x=t2−3，或x=t2+3． 当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：

x (−∞，t2−3) + ↗ t2−3 0 极大值 (t2−3，t2+3) − ↘ t2+3 0 极小值 (t2+3，+∞) + ↗ f(x) f(x) 所以函数f(x)的极大值为f(t2−3)=(−3)3−9×(−3)=63；函数f(x)的极小值为f(t2+3)=(3)3−9×(3)=−63．

（Ⅲ）解：曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−63有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2 −d)+(x−t2)+ 63=0有三个互异的实数解，令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+63=0．

设函数g(x)=x3+(1−d2)x+63，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−63有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点．

g'(x)=3x3+(1−d2)．

当d2≤1时，g'(x)≥0，这时g(x)在R上单调递增，不合题意．

22d−1d−1当d2>1时，g'(x)=0，解得x1=−，x2=．

33易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增． g(x)的极大值g(x1)=g(−d−123(d−1)+63>0． )=932232

g(x)的极小值g(x2)=g(23(d−1)d−1+63． )=−

932232若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意．

若g(x2)0,即(d−1)27，也就是|d|10，此时|d|x2，g(|d|)=|d|+630,且

232−2|d|x1,g(−2|d|)=−6|d|3−2|d|+63−6210+630，从而由g(x)的单调性，可知函数

y=g(x)在区间(−2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点，符合题意．

所以，d的取值范围是(−,−10)(10,+)．