万有引力定律知识要点

1．开普勒行星运动三定律简介

第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；

第三定律：行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比，即

r3=k 2T开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟答的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。

2．万有引力定律及其应用

(1)定律的表述：宇宙间的一切物体都是相互吸引的两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。 （2)公式：F＝G

m1m2r2(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物

,其中G6.671011Nm2/kg2，称为为有引力恒量。

体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．可将其视为质量集中于球心的质点。

注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力． (4)万有引力与重力的关系

由于地球自转对地表物体重力的影响。

如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为

F=

GmM 2R2

而物体随地球一起绕地轴自转所常的向心力为 F向=mRcos·w

方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。

由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即

GmM≈mg 2R这是一个分析天体圆运动问题时的重要的辅助公式。 在高空有：

GmMmg 可得到 2(Rh)GMg 2(Rh)特别地在地面附近一般可近似认为万有引力等于重力即可得黄金代换式：4、万有引力定律的应用

万有引力定律在中学物理范围内的应用主要是应用于处理天体运动问题，对于天体运动建立一个理想模型，即所有卫星或行星绕中心天体的运动都是匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，据此即可列出方程定量的分析。

实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。GMg 2R 1、由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有

GmM42v22

=ma向 =m =mrw =mr2 2rrT由此可知：绕地球做匀速圆周运动的卫星各个参量随轨道半径r的变化情况。 2、天体表面附近重力近似等于万有引力

GmMmg R2

1、万有引力定律的基本应用 挖补法的应用

【例1】如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．

解 完整的均质球体对球外质点m的引力

这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点

/

的引力F2之和，即F=F1+F2．因半径为R/2的小球质量M为4R4RMM33232R4/3331M， 8则F2GM/mdR/22GMm8dR/22

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

F1FF2GMmd2GMm8dR/22GMm7d28dR2R28ddR/222

说明 （1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任

何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式FGMm却只能适用于两个质点或均匀球r2体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力． （2）如果题中的球穴挖在大球的正，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力F1FF2GMmd2GM/md2GMmd2GmM/8d2G7Mm8d2 上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．

超重失重卫星的加速问题

【例2】某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝½g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时，求此时卫星距

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地球表面有多远？（地球半径R＝6.4×10km,g取10m/s） 解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的

//

重力为mg，据牛顿第二定律．N－mg=ma……①

MmMm/

在h高处mg＝G……② 在地球表面处mg=……③ G22RhR把②③代入①得NmgR2hR2mg4

ma ∴hR1=1.92×10 km.

Nma说明:在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．

2、中心天体质量和密度的计算

原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力． G

mMr2=m

42T2r，由此可得：M=

42r3GT23r2MM；ρ===（R为行星的半径）

43GT2R3VR3由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径则可得行星的密度

总结与提高 2、讨论天体运动规律的基本思路 基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 GMmr2v222mm2rmm2fr rT2在天体表面附近重力近似等于万有引力得到 GmMGMmgg → R2R2 3、有关同步卫星的空间问题

0

【例3】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一

00

平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经98和北纬α＝40，已知地球半径R、地球自转周期T,地球表面重力加速度g（视为常数）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

解析：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动

Mm的角速度．由万有引力定律和牛顿定律有G2mr2，式中G为万有引力恒量，因同步

rMm卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=2π/T；因G2mg，得

R2

GM=gR．

设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定律得：Lr2R22rRcos 所求的时间为t＝L/c． 由以上

3各

R2gT24式得

tR2gT22R2Rcos34c2

4、双星问题

【例4】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。 解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。 （1）根据万有引力定律FM12R1M22R2及LR1R2 可得：R1M2M1L，，2L

M1M2M1M2（2）同理，还有GM1M2L222M1R1M2R2

TT22所以，周期为T42L2R1GM242L2R2L 2LGM1GM1M22R2GM1，v2LM1M2TG

LM1M2（3）根据线速度公式v1

2R1M2T