人教版高中物理选修3-4同步学习 第11章 机械振动 2简谐运动的描述81

2 简谐运动的描述

记一记

简谐运动的描述知识体系

4个参量——振幅、周期、频率、相位 1个方程——简谐运动的振动方程 2个性质——简谐运动的同期性和对称性 辨一辨

1.振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移,它是矢量．(×) 2．简谐运动的快慢可以用频率和振幅来描述．(×)

3．做简谐运动的质点先后通过同一点,速度、加速度、位移都是相同的．(×)

4．振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处,运动到另一侧最大位移处所用的时间．(×) 115．按x＝5sin8πt＋πcm的规律振动的弹簧振子的振动周期为 s．(√) 44 想一想

1.振幅就是振动物体离开平衡位置的最大位移吗？为什么？

提示：不是．振幅是一个标量,它是指物体离开平衡位置的最大距离．它既没有负值,也无方向,而最

大位移既有大小,也有方向,所以振幅不同于最大位移．

2．简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？ 提示：不一定,还可以用余弦函数表示．

π3π3．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4asin4πbt＋,x2＝2asin4πbt＋.则它们的振幅之比22与各自的频率分别是多少？

A14a2ω4πb

提示：它们的振幅之比＝＝；它们的频率相同,都是f＝＝＝2b.

A22a12π2π思考感悟： 练一练

1．如图所示,弹簧振子在AB间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间距离是20 cm,从A到B运动时间是2 s,则( )

A．从O→B→O振子做了一次全振动 B．振动周期为2 s,振幅是10 cm

C．从B开始经过6 s,振子通过的路程是60 cm D．从O开始经过3 s,振子处在平衡位置

解析：振子从O→B→O只完成半个全振动,A项错误；从A→B振子也只是半个全振动,半个全振动是1

2 s,所以振动周期是4 s,B项错误；t＝6 s＝1T,所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm,C项正确；

2从O开始经过3 s,振子处在最大位移处A或B,D项错误．

答案：C

2．一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过A、B两点,历时1 s,质点通过B点后,再经过1 s,第二次通过B点,在这2 s内,质点的总路程是12 cm,则质点振动的周期和振幅分别为( )

A．2 s 6 cm B．4 s 6 cm C．4 s 9 cm D．2 s 8 cm

解析：简谐运动的质点,先后以同样大小的速度通过A、B两点,则可判定这两点关于平衡位置O点对1

称,所以质点由A到O时间与由O到B的时间相等,那么从平衡位置O到B点的时间t1＝ s．通过B点后

21

再经过t＝1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点,则有从B点到最大位移的时间t2＝ s,因

212

此,质点振动的周期是T＝4(t1＋t2)＝4 s．质点总路程的一半,即为振幅．所以振幅为 cm＝6 cm.

2

答案：B

3．一个物体做简谐运动时,周期是T,振幅是A,那么物体( ) T

A．在任意内通过的路程一定等于A

4T

B．在任意内通过的路程一定等于2A

23T

C．在任意内通过的路程一定等于3A

4D．在任意T内通过的路程一定等于2A

T

解析：物体做简谐运动,是变加速直线运动,在任意内通过的路程不一定等于A,故A错误；物体做

4T3T

简谐运动,在任意内通过的路程一定等于2A,故B正确；物体做简谐运动,在任意内通过的路程不一定等24于3A,故C错误；物体做简谐运动,在一个周期内完成一次全振动,位移为零,路程为4A,故D错误．

答案：B

4．(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图象,下列说法正确的是( )

A．振动周期是2×10 s

B．第2个10 s内物体的位移变化是－10 cm C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm

1－2

解析：振动周期是完成一次全振动所用的时间,所以周期是4×10 s．又f＝,所以f＝25 Hz,则A

T项错误,C项正确；位移正、负最大值的大小表示物体的振幅,所以振幅A＝10 cm,则D项正确；第2个10

－2

－2

－2

s的初位置是10 cm,末位置是0,Δx＝－10 cm,故B项正确．

答案：BCD

要点一 描述简谐运动的物理量及其关系

1．(多选)一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图象如图所示,由图可知( ) A．质点振动的频率是4 Hz B．质点振动的振幅是2 cm C．t＝3 s时,质点的速度最大 D．t＝3 s时,质点的振幅为零

解析：由题图可以直接看出振幅为2 cm,周期为4 s,所以频率为0.25 Hz,A项错误,B项正确．t＝3 s时,质点经过平衡位置,速度最大,C项正确．振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小,与质点的位

移有着本质的区别,t＝3 s时,质点的位移为零,但振幅仍为2 cm,D项错误．

答案：BC

2．如图所示,振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动,从振子第一次到达P点时开始计时,则( )

A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期 B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期 C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期

D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期

解析：从经过某点开始计时,则再经过该点两次所用的时间为一个周期,B项正确,A、C两项错误；振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期,D项错误．

答案：B

要点二 简谐运动的表达式

π3.物体A做简谐运动的振动位移为xA＝3cos100t＋m,物体B做简谐运动的振动位移为xB＝2π5cos100t＋m.比较A、B的运动( )

6

A．振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 m B．周期是标量,A、B周期相等为100 s C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB D．A振动的频率fA大于B振动的频率fB

2π2π解析：振幅是标量,A、B的振幅分别是3 m、5 m,A项错误．周期是标量,A、B的周期T＝＝ s

ω100＝6.28×10 s,B项错误．因为ωA＝ωB,故fA＝fB,C项正确,D项错误．

答案：C

－2

4．有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时(t＝0)具有正的最大位移,则它的振动方程是( )

π－3

A．x＝8×10sin4πt＋m

2π－3

B．x＝8×10sin4πt－m

23－1

C．x＝8×10sinπt＋πm

2π4－1

D．x＝8×10sint＋m

2π

2ππ

解析：ω＝＝4π rad/s,当t＝0时,具有正的最大位移,则x＝A,所以初相φ＝,表达式为x＝

T2π－3

8×10sin4πt＋m,A项正确．

2

答案：A

5．如图所示为A、B两质点做简谐运动的位移—时间图象．请根据图象回答．

(1)A的振幅是________cm,周期是________s；B的振幅是________cm,周期是________s； (2)写出A质点的位移随时间变化的关系式； (3)在t＝0.05 s时A质点的位移是多少？

解析：(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm,周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm,周期是0.8 s. 2π

(2)t＝0时刻A质点从平衡位置开始沿正方向振动,由T＝0.4 s,得ω＝＝5π.则简谐运动的表

T达式为xA＝0.5sin 5πt cm.

22

cm＝ cm. 24

(3)将t＝0.05 s代入A的表达式中得：xA＝0.5sin(5π×0.05) cm＝0.5×

答案：(1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)xA＝0.5sin 5πt cm

2

cm 4

(3)

要点三 简谐运动的周期性和对称性

6．一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s(如图所示)．过B点后再经过t＝0.5 s,质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是( )

A．0.5 s B．1 s C．2 s D．4 s

解析：根据题意,由振动的对称性可知：A、B的中点(设为O)为平衡位置,A、B两点对称分布于O点1

两侧,如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达

211

右方最大位移处(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以,质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25 s＋0.25

24s＝0.5 s．所以T＝2 s.

答案：C

7．如图所示,一质点沿水平直线做简谐运动,先后以相同速度通过a、b两点,经历时间tab＝1 s,过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm,该质点的振动周期为________,振幅为________．

解析：简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动,因为通过a、b两点时的速度相同,所以a、b连线

的中点O必是振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性可知,质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同,即tba＝tab＝1 s,质点从a点经左方极端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经右方极端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等,即tada＝tbcb＝t′＝1 s．综上所述,质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s．由图和简谐运动的对称性可知,质点在一个周期内通过的路程为s＝s

2ab＋2bc＋2ad＝2(ab＋2bc)＝2×8 cm＝16 cm,所以质点的振幅为A＝＝4 cm.

4

答案：4 s 4 cm

基础达标

1．(多选)如图所示,弹簧振子以O为平衡位置,在BC间振动,则( ) A．从B→O→C→O→B为一次全振动 B．从O→B→O→C→B为一次全振动 C．从C→O→B→O→C为一次全振动 D．OB的大小不一定等于OC

解析：O为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B起始经O、C、O、B路程为振幅的4倍,A项正确；若从O起始经B、O、C、B路程为振幅的5倍,超过一次全振动,B项错误；若从C起始经O、B、O、C路程为振幅的4倍,C项正确；因弹簧振子在BC间振动．OB与OC大小都等于振幅,故D项错误．

答案：AC

2．一质点做简谐运动,振幅是4 cm、频率是2.5 Hz,某时刻该质点从平衡位置起向正方向运动,经2.5 s质点的位移和路程分别是( )

A．4 cm,24 cm B．－4 cm,100 cm C．0,100 cm D．4 cm,100 cm

111

解析：周期T＝＝ s＝0.4 s,t＝2.5 s＝6T,质点在2.5 s时到达正向最大位移处,故位移为4 cm,

f2.54路程为6×4A＋A＝25A＝100 cm.

答案：D

3．如图所示,在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O,把振子拉到A点,OA＝1 cm,然后释放振子,经过0.2 s 振子第1次到达O点,如果把振子拉到A′点,OA′＝2 cm,则释放振子后,振子第1次到达O点所需的时间为( )

A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s

解析：简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关,与振幅无关,两种情况下振子第1次到达平衡1

位置所需的时间都是振动周期的,它们相等,故A项正确．

4

答案：A

4．一质点做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是( ) A．质点振动频率是4 Hz

B．在10 s内质点经过的路程是20 cm C．第4 s末质点的速度是零

D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻,质点位移大小相等,方向相同

解析：由振动图象可知,质点振动的周期为4 s,频率为0.25 Hz,故A选项错误；振幅为2 cm,每个周期质点经过的路程为4A,10 s为2.5个周期,经过的路程为2.5×4A＝20 cm,B选项正确．第4 s末质点在平衡位置,速度最大,故C选项错误．在t＝1 s和t＝3 s两时刻,质点分别在正最大位移和负最大位移处,大小相等、方向相反,故D选项错误．

答案：B

5．(多选)一个弹簧振子的振幅是A,若在Δt的时间内物体运动的路程是s,则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)( )

T

A．Δt＝2T,s＝8A B．Δt＝,s＝2A

2TT

C．Δt＝,s＝2A D．Δt＝,s>A

44

解析：因每个全振动所通过的路程为4A,每半个周期所通过的路程为2A,故A、B正确,C错误；又因T

振幅为振子的最大位移,简谐运动是变加速运动,故时间内s有可能大于A,故D正确．

4

答案：ABD

A

6．一个做简谐运动的弹簧振子,周期为T,振幅为A,设振子第一次从平衡位置运动到x＝处所经历

2A

的时间为t1,第一次从最大位移处运动到x＝所经历的时间为t2,关于t1与t2,以下说法正确的是( )

2

A．t1＝t2 B．t1t2 D．无法判断

解析：用图象法,画出x­t图象,从图象上,我们可以很直观地看出：t1答案：B

ππ7．(多选)有两个简谐运动,其表达式分别是x1＝4sin100πt＋cm,x2＝5sin100πt＋cm,下列63说法正确的是( )

A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致

2π解析：它们的振幅分别是4 cm、5 cm,故不同,A项错误；ω都是100π rad/s,所以周期T＝都

ω

πππ是0.02 s,B项正确；由Δφ＝100πt＋－100πt＋＝得相位差恒定,C项正确；Δφ≠0,即振

366动步调不一致,D项不正确．

答案：BC

8．周期为T＝2 s的简谐运动,在半分钟内通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )

A．15次,2 cm B．30次,1 cm C．15次,1 cm D．60次,2 cm

解析：振子完成一次全振动经过轨迹上每个位置两次(最大位移处除外),而每次全振动振子通过的路程为4个振幅．

答案：B

9．一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图象如图所示,由图可知( ) A．质点振动的频率是4 Hz,振幅是2 cm B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm C．0～3 s内,质点通过的路程为6 cm D．t＝3 s时,质点的振幅为零

解析：由题图可以直接看出振幅为2 cm,周期为4 s,所以频率为0.25 Hz,故A项错误；质点在1 s13

即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅,故B项错误；因为t＝0时质点在最大位移处,0～3 s为前T,44质点通过的路程为3A＝6 cm,故C项正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离,与质点的位移有着本质的区别,t＝3 s时,质点的位移为零,但振幅仍为2 cm,故D项错误．

答案：C

能力达标

10.质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O.质点经过a点(xa＝－5 cm)和b点(xb＝5 cm)时速度相同,所用时间tab＝0.2 s；质点继续运动由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4 s．则该质点做简谐运动的频率为( )

A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz

解析：由题意可知：a、b点在O点的两侧,关于O点对称,质点由a点到b点所用时间tab＝0.2 s,由b点回到a点所用最短时间tba＝0.4 s,表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动,振幅大于5 cm,TT1设周期为T,由简谐运动的对称性可知,质点由b点回到a点的时间为,即＝0.4 s,T＝0.8 s,频率f＝＝

22T1

Hz＝1.25 Hz,B项正确． 0.8

答案：B

11．如图甲是演示简谐运动图象的装置,当盛沙漏斗下的木板N被匀速地拉出时,从摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系,板上的直线OO1代表时间轴．图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线,若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2＝2v1,则板N1、N2上曲线所代表的振动周期T1和T2的关系为( )

A．T2＝T1 B．T2＝2T1 1

C．T2＝4T1 D．T2＝T1

4

解析：由题图可知,薄木板被匀速拉出的距离相同,且v2＝2v1,则木板N1上时间轴单位长度代表的时1

间t1是木板N2上时间轴单位长度的时间t2的两倍,由图线可知,T1＝t1,T2＝t2,因而得出T1＝4T2,D项正确．

2

答案：D

12．根据如图所示的某振子的振动图象,完成下列问题： (1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移． ①t1＝0.5 s；②t2＝1.5 s.

(2)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式并指出振动的初相位的大小．

解析：(1)由题图知,x＝Acos ωt＝10cos＝1.5 s时,x2＝－52 cm.

2πtcm＝10cosπt cm,则t＝0.5 s时,x＝52 cm；t

112

24

πππ(2)x＝10sint＋ cm,初相位φ＝.

222答案：(1)52 cm －52 cm πππ(2)x＝10sint＋ cm 222

13．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s1

内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0),经过周期振子有负向最大加速4度．

(1)求振子的振幅和周期；

(2)在图中作出该振子的位移—时间图象； (3)写出振子的振动方程．

解析：(1)xBC＝20 cm,t＝2 s,n＝10,

xBC20 cm

由题意可知：A＝＝＝10 cm,

22t2 s

T＝＝＝0.2 s. n10

1

(2)从振子经过平衡位置开始计时,经过周期振子有负向最大加速度,可知振子此时在正向最大位移

4处．所以位移—时间图象如图所示．

(3)由A＝10 cm,T＝0.2 s, 2π

得ω＝＝10π rad/s

T

得振子的振动方程为x＝10sin 10πt cm. 答案：(1)10 cm 0.2 s (2)见解析图 (3)x＝10sin 10πt cm