第五节 自然界中的守恒定律
［学习目标］ 1。加深对动量守恒定律和能量守恒定律的理解，能运用这两个守恒定律解决一些简单的与生产、生活相关的实际问题。2。通过物理学中的守恒定律，体会自然界的和谐与统一．
［导学探究] 如图1所示,质量为2 kg的物体静止在与其之间动摩擦因数μ＝0.5的粗糙水平面上,现加一F＝20 N的水平恒力使之开始向右加速运动，求物体速度达到20 m/s时，需要的时间t和经过的位移s。（请分别利用牛顿运动定律、动量定理和动能定理计算，重力加速度g＝10 m/s）
2
图1
答案 对物体受力分析如图所示： 方法一：根据牛顿第二定律
F－μmg＝ma v＝at s＝错误!at2
解得t＝4 s,s＝40 m。
方法二：根据动量定理可得:（F－μmg）t＝mv－0 解得：t＝4 s.
根据动能定理可得：Fs－μmgs＝错误!mv－0 解得s＝40 m.
2
［知识梳理］ 解决力学问题的三个基本观点
1．力的观点：主要是牛顿运动定律和运动学公式相结合，常涉及物体的受力、加速度或匀变速运动的问题．
2．动量的观点：主要应用动量定理或动量守恒定律求解，常涉及物体的受力和时间问题，以及相互作用物体的问题．
3．能量的观点：在涉及单个物体的受力和位移问题时,常用动能定理分析；在涉及系统内能量的转化问题时，常用能量守恒定律．
一、滑块—木板模型
1．把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．
2．由于摩擦生热,机械能转化为内能，系统机械能不守恒，应由能量守恒求解问题． 3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多． 例1
如图2所示,C是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m,在木板的上表面有两块质量均为m的小木块A和B，它们与木板间的动摩擦因数均为μ。最初木板静止，A、B两木块同时以相向的水平初速度v0和2v0滑上长木板，木板足够长，A、B始终未滑离木板也未发生碰撞．求：
图2
（1)木块B的最小速度是多少？
(2)木块A从刚开始运动到A、B、C速度刚好相等的过程中，木块A所发生的位移是多少? 答案 （1）错误! （2)错误!,向左
解析 (1）由题知，B向右减速，A向左减速，此时C静止不动；A先减速到零后与C一起反向向右加速，B向右继续减速,三者共速时，B的速度最小． 取向右为正方向，根据动量守恒定律：
m·2v0－mv0＝5mv
解得B的最小速度v＝错误!
（2)A向左减速的过程,根据动能定理有 －μmgs1＝0－错误!mv0 向左的位移为s1＝错误!
2
A、C一起向右加速的过程，根据动能定理有 μmgs2＝错误!×4m（错误!)2
向右的位移为s2＝错误!
取向左为正方向，整个过程A发生的位移为
s＝s1－s2＝错误!
即此过程中A发生的位移向左，大小为错误!。 二、子弹打木块模型
1．子弹打木块的过程很短暂,认为该过程内力远大于外力,则系统动量守恒． 2．在子弹打木块过程中摩擦生热,系统机械能不守恒,机械能向内能转化． 3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多．
例2 如图3所示,在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出),若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：
图3
（1）子弹射入后，木块在地面上前进的距离； (2)射入的过程中，系统损失的机械能; (3）子弹在木块中打入的深度．
答案 （1）错误! （2)错误! （3)错误!
解析 因子弹未射出，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．
（1）设子弹射入木块后,二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒得：
mv＝(M＋m）v′ ①
二者一起沿地面滑动，前进的距离为s,由动能定理得： －μ（M＋m）gs＝0－错误!（M＋m）v′由①②两式解得：s＝错误!。 （2)射入过程中损失的机械能 ΔE＝错误!mv－错误!（M＋m)v′解得：ΔE＝错误!.
（3)设子弹在木块中打入的深度，即子弹相对于木块的位移为s相对，则ΔE＝μmgs相对 得：s相对＝错误!＝错误!. 三、弹簧类模型
1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒．
2．整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如:弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．
3．注意：弹簧压缩最短时,或弹簧拉伸最长时,弹簧连接的两物体速度相等,此时弹簧弹性势能最大．
例3 两物块A、B用轻弹簧相连,质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图4所示．B与C碰撞后二者会粘在一起运动．则在以后的运动中：
2
2
2
②
③
图4
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？ (2)系统中弹性势能的最大值是多少？ 答案 （1）3 m/s （2)12 J
解析 （1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由A、B、C三者组成的系统动量守恒得：（mA＋mB）v＝(mA＋mB＋mC）vABC， 解得vABC＝错误! m/s＝3 m/s.
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，则mBv＝(mB＋
mC）vBC得:
vBC＝错误! m/s＝2 m/s，
物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，
根据能量守恒定律，则Ep＝错误!（mB＋mC)vBC＋错误!mAv－错误!(mA＋mB＋mC)vABC＝错误!×(2＋4)×2 J＋错误!×2×6 J－错误!×（2＋2＋4）×3 J＝12 J.
针对训练 如图5所示，A、B两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是99m和100m,一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为( ）
2
2
2
2
2
2
图5
A.错误! C。错误! 答案 A
解析 子弹射入木块A的过程中，动量守恒，有mv0＝100mv1，子弹、A、B三者速度相等时，弹簧的弹性势能
最大，100mv1＝200mv2,弹性势能的最大值Ep＝错误!×100mv1－错误!×200mv2＝错误!。
2
2
B。错误! D.错误!
处理动量和能量结合问题时应注意：
(1）守恒条件：动量守恒条件是系统所受合外力为零，而机械能守恒条件是合外力做的功为零．
（2)分析重点:判断动量是否守恒研究系统的受力情况，而判断机械能是否守恒及能量的转化情况研究系统的做功情况．
(3）表达式：动量为矢量式，能量为标量式．
(4)注意：某一过程中系统动量守恒，但机械能不一定守恒,反之,机械能守恒的过程动量不一定守恒．
1．(多选）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块,若射击下层,子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图6所示，上述两种情况相比较( ）
图6
A．子弹对滑块做功一样多 B．子弹对滑块做的功不一样多 C．系统产生的热量一样多 D．系统产生的热量不一样多 答案 AC
解析 两次都没射出,则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v（M＋m）v共，得v共＝
共
,由动量守恒定律可得:mv＝
mM＋mv;子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能,故选项A正确；系统
损失的机械能转化为热量,故选项C正确．
2。如图7所示，木块A、B的质量均为2 kg，置于光滑水平面上，B与一轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，当A以4 m/s的速度向B撞击时，由于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能大小为（ ）
图7
A．4 J B．8 J C．16 J D．32 J 答案 B
解析 A、B在碰撞过程中动量守恒，碰后粘在一起共同压缩弹簧的过程中机械能守恒．由碰撞过程中动量守恒得：mAvA＝（mA＋mB）v，代入数据解得v＝错误!＝2 m/s，所以碰后A、B及弹簧组成的系统的机械能为错误!(mA＋mB）v＝8 J，当弹簧被压缩至最短时，系统的动能为0，只有弹性势能，由机械能守恒得此时弹簧的弹性势能为8 J.
2
3．如图8所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M的物块（视为质点）以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在木板上最多能滑行的距离为（ )
图8
A．L B。错误! C.错误! D。错误! 答案 D
解析 长木板固定时，由动能定理得：μMgL＝错误!Mv0，若长木板不固定有Mv0＝2Mv，μMgs＝错误!Mv0－错误!×2Mv,得s＝错误!，D项正确，A、B、C三项错误．
4．如图9所示，固定的光滑圆弧面与质量为6 kg的小车C的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2 kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2 kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点．现使滑块A从距小车的上表面高h＝1。25 m处由静止下滑,与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C上滑出．已知滑块A、B与小车C的动摩擦因数均为μ＝0。5,小车C与水平地面的摩擦忽略不计，取g＝10 m/s。求：
2
2
2
2
图9
(1)滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小； （2)小车C上表面的最短长度． 答案 （1）2.5 m/s （2)0。375 m
解析 （1）设滑块A滑到圆弧末端时的速度大小为v1,由机械能守恒定律得:mAgh＝错误!mAv1①
代入数据解得v1＝2gh＝5 m/s
2
②
设A、B碰后瞬间的共同速度为v2，滑块A与B碰撞瞬间与车C无关，滑块A与B组成的系统动量守恒,
mAv1＝(mA＋mB）v2
③
代入数据解得v2＝2。5 m/s ④
（2)设小车C上表面的最短长度为L，滑块A与B最终没有从小车C上滑出，三者最终速度相同设为v3，
根据动量守恒定律有: (mA＋mB)v2＝(mA＋mB＋mC)v3
⑤
根据能量守恒定律有：
μ（mA＋mB)gL＝错误!(mA＋mB)v22－错误!（mA＋mB＋mC）v错误!
⑥
联立⑤⑥式代入数据解得L＝0.375 m． ⑦
一、选择题（1～2题为单选题，3～4题为多选题)
1．如图1所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点．Q与轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于（ ）
图1
A．P的初动能 C．P的初动能的错误! 答案 B
解析 把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P和Q的速度相等时，弹簧的弹性势能最大．设小滑块P的初速度为v0，两滑块的质量均为m，则mv0＝2mv,v＝错误!
1222
所以弹簧具有的最大弹性势能Ep＝mv0－错误!×2mv＝错误!mv0＝错误!Ek0，故B正确．
22．如图2所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3 kg的薄板和质量m＝1 kg的物块都以v＝4 m/s的初速度相向运动，它们之间有摩擦，薄板足够长，当薄板的速度为2。7 m/s时，物块的运动情况是（ )
B．P的初动能的错误! D．P的初动能的错误!
图2
A．做减速运动
B．做加速运动
C．做匀速运动 D．以上运动都有可能
答案 A
解析 开始阶段，物块向左减速,薄板向右减速，当物块的速度为零时，设此时薄板的速度为
v1,规定向右为正方向,根据动量守恒定律得：（M－m)v＝Mv1
代入数据解得:v1≈2。67 m/s＜2.7 m/s，所以物块处于向左减速的过程中．
3．如图3所示，轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m的物体A相连,A放在光滑水平面上，有一质量与A相同的物体B,从离水平面高h处由静止开始沿光滑曲面滑下,与A相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B与A分开且沿原曲面上升．下列说法正确的是( ）
图3
A．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh B．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为
mgh2
C．B与A分开后能达到的最大高度为错误! D．B与A分开后能达到的最大高度不能计算 答案 BC
解析 根据机械能守恒定律可得B刚到达水平面的速度v0＝错误!，根据动量守恒定律可得A与B碰撞后的速度为v＝错误!v0,所以弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为Epm＝错误!·2mv2
＝错误!mgh，即A错误,B正确；当弹簧再次恢复原长时，A与B分开，B以大小为v的速度向左沿曲面上滑，根据机械能守恒定律可得mgh′＝错误!mv，B能达到的最大高度为h′＝错误!
2
h，即C正确，D错误．
4．如图4所示,用轻绳将两个弹性小球紧紧束缚在一起并发生微小的形变，现正在光滑水平面上以速度v0＝0.1 m/s向右做直线运动，已知两弹性小球质量分别为m1＝1 kg和m2＝2 kg.一段时间后轻绳突然自动断开，断开后两球仍沿原直线运动．经过t＝5。0 s两球的间距为s＝4.5 m，则下列说法正确的是（ ）
图4
A．刚分离时，a、b两球的速度方向相同 B．刚分离时，b球的速度大小为0。4 m/s C．刚分离时,a球的速度大小为0.7 m/s D．两球分开过程中释放的弹性势能为0.27 J 答案 CD
解析 在轻绳突然自动断开过程中，两球组成的系统动量守恒．设水平向右为正方向，断开后两球仍沿原直线运动，速度分别为v1和v2，设刚分离时，a、b两球的速度方向相同,由动量守恒定律，(m1＋m2）v0＝m1v1＋m2v2，根据题述，经过t＝5。0 s两球的间距为s＝4。5 m,有v1t－v2t＝s，联立解得：v1＝0。7 m/s,v2＝－0.2 m/s，负号说明b球的速度方向向左,选项A、B错误，C正确．由机械能守恒定律，两球分开过程中释放的弹性势能为Ep＝错误!m1v ，1＋错误!m2v错误!－错误!（m1＋m2）v错误!＝0。27 J，选项D正确． 二、非选择题
5．如图5所示,在光滑水平地面上的木块M紧挨轻弹簧靠墙放置．子弹m以速度v0沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来,然后木块压缩劲度系数未知弹簧至弹簧最短．已知子弹质量为m，木块质量M＝9m，弹簧最短时弹簧被压缩了Δx.劲度系数为k、形变12
量为x的弹簧的弹性势能可表示为Ep＝kx。求：
2
2
图5
（1)从子弹射入木块到刚相对于木块静止的过程中损失的机械能； (2)弹簧的劲度系数．
答案 (1）错误!mv0 （2）错误!
解析 (1）设子弹刚相对于木块静止时的速度为v，由动量守恒定律mv0＝（m＋M）v，解得v＝错误!。
设从子弹射入木块到刚好相对于木块静止的过程中损失的机械能为ΔE,由能量守恒定律 122
ΔE＝mv0－错误!（m＋M）v
2代入数据得ΔE＝错误!.
2
（2)设弹簧的劲度系数为k′，根据题述，弹簧最短时弹簧被压缩了Δx，其弹性势能可表示为Ep′＝错误!k′(Δx)，
木块压缩轻弹簧过程,由机械能守恒定律
错误!（m＋M）v＝Ep′，
2
2
解得弹簧的劲度系数k′＝错误!.
6．如图6所示，在光滑水平面上有一辆质量M＝8 kg的平板小车，车上有一个质量m＝1。9 kg的木块（木块可视为质点）,车与木块均处于静止状态．一颗质量m0＝0.1 kg的子弹以v0＝200 m/s的初速度水平向左飞，瞬间击中木块并留在其中．已知木块与小车平板之间的动摩擦因数μ＝0.5，g＝10 m/s.求:
2
图6
（1)子弹射入木块后瞬间子弹和木块的共同速度大小； (2)若木块不会从小车上落下,求三者的共同速度大小； (3）若是木块刚好不会从车上掉下,则小车的平板至少多长？ 答案 (1)10 m/s (2)2 m/s (3）8 m
解析 (1）子弹射入木块过程系统动量守恒，以水平向左为正,则由动量守恒有：m0v0＝（m0＋
m)v1,
解得：v1＝错误!＝错误! m/s＝10 m/s
(2)子弹、木块、小车组成的系统动量守恒，以水平向左为正方向，由动量守恒定律得: (m0＋m)v1＝(m0＋m＋M）v， 解得v＝错误!＝错误! m/s＝2 m/s
(3)子弹击中木块到木块相对小车静止过程，由能量守恒定律得：
错误!(m0＋m）v1＝μ(m0＋m）gL＋错误!(m0＋m＋M)v,
2
2
解得L＝8 m。
7．如图7所示，物体A置于静止在光滑水平面上的平板小车B的左端，在A的上方O点用细线悬挂一小球C（可视为质点），线长L＝0。8 m．现将小球C拉至水平无初速度释放，并在最低点与A物体发生水平正碰，碰撞后小球C反弹的最大高度为h＝0.2 m．已知A、B、C
的质量分别为mA＝4 kg、mB＝8 kg和mC＝1 kg，A、B间的动摩擦因数μ＝0。2，A、C碰撞时间极短,且只碰一次,取重力加速度g＝10 m/s.求：
2
图7
（1)小球C与物体A碰撞前瞬间受到细线的拉力大小； （2）A、C碰撞后瞬间A的速度大小；
（3)若物体A未从小车B上掉落，小车B的最小长度为多少？ 答案 （1）30 N （2)1.5 m/s （3)0。375 m(或错误! m) 解析 (1）小球碰撞前在竖直平面内做圆周运动 12
根据机械能守恒定律,得mCgL＝mCv0
2由牛顿第二定律，得F－mCg＝错误! 解得v0＝4 m/s，F＝30 N
（2）设水平向右为正方向，A、C碰撞后的速度大小分别为vA、vC，由能量守恒和动量守恒，得错误!mCvC＝mCgh
2
mCv0＝mAvA－mCvC
解得vC＝2 m/s,vA＝1。5 m/s
（3)设A在B上相对滑动的最终速度为v，相对位移为s,由动量守恒和能量守恒,得
mAvA＝(mA＋mB)v
μmAgs＝错误!mAvA2－错误!(mA＋mB）v2
解得s＝0.375 m
要使A不从B车上滑下，小车的最小长度为0。375 m(或错误! m）
8.如图8所示，一对杂技演员（都可视为质点)乘秋千从A点由静止出发绕O点下摆，演员处于A点时秋千绳处于水平位置，当摆到最低点B时,女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到A点．求男演员落地点C与O点的水平距离x.（已知男演员的质量m1和女演员的质量m2的关系为错误!＝2，秋千的质量不计，秋千的绳长为R,C点比O点低5R，不计空气阻力)
图8
答案 8R
解析 设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v0，由机械能守恒定律有（m1＋m2)gR＝
错误!（m1＋m2）v0
2
设刚分离时男演员速度的大小为v1，方向与v0相同，女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量守恒定律有（m1＋m2）v0＝m1v1－m2v2
分离后，男演员做平抛运动,设男演员从被推出到落到C点所需的时间为t，根据题中所给条件，由运动学规律得 4R＝错误!gt,x＝v1t
女演员刚好能回到A点,由机械能守恒定律得
2
m2gR＝错误!m2v22,已知m1＝2m2,解得x＝8R。
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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