【数学解析】山西实验中学2018-2019学年高二第二学期期中考试

 山西省实验中学 2018－2019学年度第二学期期中考试 高二 理科数学 一、选择题：本题共10小，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 1i2i3i（ A．-10i 【答案】B 【难度】易 【考点】复数的运算 ） C．-10 D．10 B．10i 2. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，ˆ0.85x85.71，yi）2，n） （i＝1，…，，用最小二乘法建立的回归方程为y则下列结论中不正确的是（ ）A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心x,y C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D 【难度】易 【考点】线性回归 3. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量（ ） 表1 表2 表3 表4 A．成绩 【答案】D B．视力 C．智商 D．阅读量 【难度】易 【考点】性检验 - 1 --1- -1- exex4. 函数fx的图象大致为（ ） x2 A． 【答案】B 【难度】中 B． C． D． 【考点】函数的图像 35. 函数fxx3bx3b在（0,1）内有极小值，则（ ） A．0b1 【答案】A B．b1 C．b0 D．b1 2【难度】易 【考点】导数与极值 2【解析】fx3x3b，由于在0,1内有极小值，0b1，0b1. 6. 根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0 ˆbxa，则（ ） 得到的回归方程为yA．a0,b0 【答案】A 【难度】易 【考点】线性回归 7. 已知函数fxxR的导函数是fx， 且f2＝5，fx＞3，则不等式fx3x1的解集是（ ）A．,3 【答案】C 【难度】中 【考点】fx30，令gxfx3x10，gxfx30，所以gx在R上为增函数 - 2 - B．a0,b0 C．a0,b0 D．a0,b0 B．3, C．,2 D．2, g2f2610，x2. -2- -2- 8. 为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，ˆaˆbxˆ，已知根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为yxi110i225，yi1600，b=4。该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） i110A．160 【答案】C 【难度】易 B．163 C．166 D．170 【考点】线性回归 22x6，x39. 函数fx，若a4x2dx，则fa（ ） 2fx3，x3A．42 B．23 2 C．26 2 D．162 【答案】A 【难度】易 【考点】定积分的运算 110. 若存在x0,使得mxx2xlnxx30，则正实数m的取值范围是（ ） 2A．0,4 【答案】D B．4, C．0,4 D．4, 【难度】难 【考点】导数与最值 【解析】fx1mxx2xlnxx30， 2令fxmxmlnx11lnxm1x0， 解为函数ylnx与函数ym1x的交点， x1， 当0x1时，fx0，所以函数fx在0,1上为减函数； 当x1时，fx0，所以函数fx在1,上为增函数， - 3 --3- -3- 1当x1时，fx有最小值f1m2， 21根据题意，f1m20，m4. 2 第Ⅱ卷（非选择题60分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11. 若a为实数，且【答案】4 【难度】易 【考点】复数的运算 12. 抛物线y2x24x与x轴所围成的封闭区域的面积为_____________． 8【答案】 3【难度】易 【考点】定积分 2ai3i，则a＝_________． 1i 13. 周长为10cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_____________． 【答案】500 27【难度】易 【考点】导数与最值 14. 设x3axb0，b均为实数，其中a，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______________（写出所有正确条件的编号）。 ①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b＞2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2 【答案】①③ ④ ⑤ 【难度】中 【考点】导数与零点 【解析】①x33x30，令f(x)x33x3，f(x)3x23 令f(x)0，解得x1 极大值为f(1)1，极小值为f(1)5，只有一个零点 ②极大值为f(1)5，极小值为f(1)0，有两个零点 ③b0时，极大值为f(1)2b0，极小值为f(1)2b0，只有一个零点 ④x320，f(x)x32单调递增，显然一个零点 ⑤x3x20，f(x)x3x2单调递增，显然一个零点 - 4 --4- -4- 三、解答题：共44分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分10分） 2x设函数fxxeex． （1）求曲线y＝fx在点（2，f2）处的切线方程； （2）证明fx在R上是增函数． 【答案】（1）y(e1)x4（2）见解析 【难度】中 【考点】导数与切线、导数与单调性 【解析】（1）f(x)xe2xex，定义域为R f(x)e2x(1x)e f(2)22e，f(2)e1 切线方程为y(22e)(e1)(x2)，化简得y(e1)x4 （2）令g(x)f(x)e2x(1x)e， g(x)e2x(2x) 令g(x)0，解得x2 当x2时，g(x)0，g(x)单调递减 当x2时，g(x)0，g(x)单调递增 则g(x)在x2处取极小值，且极小值唯一 则g(x)ming(2)e10 即f(x)0恒成立 则f(x)在R上是增函数 - 5 --5- -5- 16. （本小题满分10分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： （1）记A表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99％的把握认为箱产量与养殖方法有关。 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 附： nadbc2 K2abcdacbd 【答案】（1）0.62（2）见解析 【难度】中 【考点】频率分布直方图，性检验 【解析】根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得： P(A)(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62； （2）根据题意，补全列联表可得： 旧养殖法 新养殖法 总计 2箱产量50kg 62 34 96 箱产量50kg 38 66 104 总计 100 100 200 200(62663834)215.7056.635 则有K10010096104 - 6 --6- -6- 17. （本小题满分12分） 某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目在全国的收视情况抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据（单位：千人），并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损。 东部 西部 2 9 1 8 0 8 9 3 ■ 3 9 7 （1）求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率； （2）该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间y（单位小时）与年龄x（单位：岁）并制作了如下对照表： 年龄x 学习成语知识周均时间y 20 2.5 30 3 40 4 50 4.5 根据表中数据，试求y关于x的线性回归方程，并预测年龄为50岁的观众学习成语知识的周均时间。 ˆ参考公式：bxi1nixyiyixi1nx2ˆybx ，a【答案】（1）0.8（2）见解析 【难度】易 【考点】古典概型、线性回归方程 【解析】设被污损的数字为a，则a有10种情况． 令8890919283839790a99，则a8， 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况， 84其概率为； 105（2）由表中数据得x35，y3.5，bxyii1nninxynx2xi1252510353.5721a ，54001035210020iy721x． 10020x55时，y4.9小时． 可预测年龄为55观众周均学习成语知识时间为4.9小时． - 7 --7- -7- 18. （本小题满分12分） 1已知函数fxaxlnx x（1）讨论fx的单调性； （2）若函数fx存在两个极值点x1,x2x1x2，证明：【答案】见解析 【难度】难 【考点】导数与单调性、导数与极值 【解析】（1）f(x)1axlnx，定义域为0, xfx1x2x1x2a。 ax2x1f(x) x2令g(x)ax2x1 ①当a0时，g(x)x1 令g(x)0，解得x1 ∴在0,1上，g(x)0,f(x)0，则f(x)单调递减 在1,上，g(x)0,f(x)0，则f(x)单调递增 ②当a0时，14a 1当0，即a时，g(x)0，f(x)在0,单调递减 4当0，即0a1114a114a 时，令g(x)0，解得x1,x242a2ag(x)0时，x(x1,x2)，f(x)单调递增 g(x)0时，x(0,x1),(x2,)，f(x)单调递减 ③当a0时，14a0恒成立 令g(x)0，解得x1114a114a,x2，其中x10,x20 2a2a∴在x(0,x1)时，g(x)0，f(x)单调递减 在xx1,，g(x)0，f(x)单调递增 综上所述，当a0时， f(x)在0,1单调递减， f(x)在1,单调递增 当a1时，f(x)在0,单调递减 41114a114a时，f(x)在(,)单调递增 42a2a - 8 -当0a -8- -8- 在(0,114a114a),(,)单调递减 2a2a当a0时，f(x)在(0,114a114a,)单调递减，在单调递增 2a2a114a114a,x2均大于0， 2a2a111由（1）可知0a，且x1x2,x1x2 4aaf(x1)f(x2)11a，可变型为lnx1lnx2 x1x2x1x2（2）由题可知，x1将x1114a114a114a0 ,x2代入，可得14aln2a2a114a1令t14a,a0,，则t0,1 4httln(1t)ln(1t) 111t22ht110 1t1t1t21t2∴h(t)单调递减 在0,1上，h(t)h(0)0，原式得证 - 9 --9- -9-