第３５卷第３期 ２０１５年８月 桂林理工大学学报 Ｖｏ１．３５ Ｎｏ．３ Ａｕｇ． ２０１５ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ 文章编号：１６７４—９０５７（２０１５）０３—０５０１—０７ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４—９０５７．２０１５．０３．０１ １ 共轭梁比拟方法及在变截面梁计算中的应用 王赞芝 ，王 晓 ，余佳代 ，邓年春 ，马瑞彦 ，江林雁 ，王 （１．广西科技大学土木建筑工程学院，广西柳州５４５００６；２．广西大学土木建筑工程学院，南宁，刘娥５３０００４； ６ ３．河北工程技术学院，石家庄０５００９１；４．中煤邯郸设计工程有限责任公司，河北邯郸５４５６１６；６．广西科技师范学院，广西来宾０５６０３１； ５．柳州铁道职业技术学院，广西柳州５４６１９９） 摘要：为了探寻变截面梁静动力特性和静动力反应的解法，从梁的弯矩与所受分布力关系的方程和梁的 挠度与弯矩／抗弯刚度关系的方程具有相似性出发，将待求解梁的弯矩／抗弯刚度当作与该梁共轭的虚梁的 虚荷载，进而根据静力等效的原则，将连续分布的虚荷载转换成虚集中力后计算虚集中力作用下虚梁的虚 剪力、虚弯矩。依据实梁与虚梁的对应关系，虚剪力与虚弯矩就是实梁的截面转角和挠度，得到了原来实 梁问题的解答。结果表明，该方法概念明确、计算工作量较小，可以推广应用于变截面连续梁与刚架等结 构的静动力反应分析。 关键词：共轭梁法；虚梁法；比拟法；变截面梁 中图分类号：ＴＵ３２３．３ 文献标志码：Ａ 变换法与比拟法是常用的解决数学物理问题 换成集中作用的虚荷载，这样，计算虚梁的内力 的方法。变换法中最简单、最熟知的方法是对数 就变得简单并且可以程式化，在计算复杂的变截 的运用，它可将数的乘除运算变换为加减运算， 面梁时该方法具有一定的优越性。 从而减轻了计算工作量。之后出现的复变函数的 保角变换方法、微积分方程的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换、Ｌａ— 能解决的问题变得可解，原来处理起来很复杂的 问题处理起来比较简单。比拟法常见的有水电比 １共轭梁比拟方法 一ｐｌａｃｅ变换、Ｈａｎｋｅｌ变换解法等，都能够将原来不 １．１ 实梁与虚梁微分方程的对应关系 般情况下，梁弯曲的微分方程为 拟（将液体的流体力学问题用电磁学方法解决）、 气液比拟（将液体的力学问题用气体实验方法解 一嘉 ） ］＝ ）。 （１） 当Ｉ（ｘ）不是常数时，方程（１）是变系数四阶常 决）¨Ｊ、塑性力学扭转比拟（将理想塑性材料的等 微分方程，因此只有特殊情况才能求出解析解 Ｊ， 截面直杆扭转问题用沙堆比拟） 。本文介绍的是 般采用近似的数值解法 。梁（真实的梁）与它的共轭梁（虚拟的梁）的比拟。 对于变截面梁，尽管方程（１）是变系数的，但弯 ｄ Ｍ Ｉ ， 共轭，本意指按一定的规律相配的一对，有对称 矩、剪力和荷载集度之间仍存在如下的关系：的含义，如共轭复数，它们关于 轴对称。可以 看出，通过共轭梁这种比拟，能将求实体梁挠度 一ｇ， Ｊ【 ＝（２） Ｑ， 的问题转化为求虚拟梁的弯矩问题。在此基础上 将连续分布的虚荷载，按照静力等效的原则，转 收稿日期：２０１４—０６—１１ 基金项目：国家自然科学基金项目（５１００９０３０） 作者简介：王赞芝（１９６４一），男，博士，副教授，结构工程专业，７６４６６９４６５＠ｑｑ．ｃｏｒｎ。 引文格式：王赞芝，王晓，余佳代，等．共轭梁比拟方法及在变截面梁计算中的应用［Ｊ］．桂林理工大学学报，２０１５，３５ （３）：５０１—５０７． ５０２ 桂林理工大学学报 ２０１５钽 另一方面，梁的变形和内力之间的关系为 翌 实梁 虚梁 ｊ ｄｘ２一 丝 ，一 ｄ （３） 【耋 比较式（２）与式（３），单纯从数学的形式上看，两组 微分方程是完全相似的，因而求解的步骤和方法也 完全相同。于是可以设想，如果将原来实际梁上所 图２实梁的自由端对应虚梁的固定端 Ｆｉｇ．２ Ｆｒｅｅ ｅｎｄ ｏｆ ｒｅａｌ ｂｅａｍ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔ ｉｆｘｅｄ ｅｎｄ ｏｆ ｖｉｒｔｕａｌ ｂｅａｍ ③铰支端 可以容易地看出，实梁的铰支端对应于虚梁 产生的 当作荷载集度，并用ｇ 表示之： Ｍｇ ＝ ， （４） 将它作用到某个虚设梁上，那么，根据式（２）可得 ，ｄ Ｍ’ ． 、 ＪＩＬ ｄ ：Ｑ・一 。 （５） 式中的Ｍ 、Ｑ 是虚梁的虚弯矩和虚剪力。比较式 （３）和式（５）可以看出，虚梁上的虚弯矩和虚剪力 分别就是实梁上的挠度和转角。通过这种比拟手 段，计算真实梁的挠度和转角可以转化为计算虚 梁的弯矩和剪力，这就是共轭梁比拟方法，并将 虚梁称为真实梁的共轭梁。 １．２ 实梁与虚梁边界条件的对应关系 实梁的边界，一般有固定端、自由端、铰支 端、中间铰支座、中间铰、弹性支座 等几种情 况，分别给出这些实梁的边界条件所对应的虚梁 的边界条件。 ①固定端 由式（２）、式（３）的对比可以看出，实梁固定 端的ＹＡ＝０对应虚梁Ｍ ＝０，实梁的Ｏａ＝０对应 虚梁的Ｑ ＝０，因此实梁的固定端对应虚梁的自 由端，如图ｌ所示。 ＿端 Ａ 实梁 虚梁 图１ 实梁的固定端对应虚梁的自由端 Ｆｉｇ．１ Ｆｉｘｅｄ ｅｎｄ ｏｆ ｒｅａｌ ｂｅａｍ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔ ｆｒｅｅ ｅｎｄ ｏｆ ｖｉｒｔｕａｌ ｂｅａｍ ②自由端 按与上述相似的理由，实梁的Ｙ ≠０和 ≠０ 对应于虚梁的 ≠０和ＱＡ≠０，因此实梁的自由 端对应于虚梁的固定端，如图２所示。 的铰支端，这使得运用共轭梁法分析简支梁时不 需要对边界条件进行转换，从而带来一定的便利， 如图３所示。 ———————— 生—— —————————— — Ａ 实梁 Ａ 虚梁 图３ 实梁的铰支座对应虚梁的铰支座 Ｆｉｇ．３ Ｊｏｉｎｔ ｅｎｄ ｏｆ ｒｅａｌ ｂｅａｍ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔ ｊｏｉｎｔ ｅｎｄ ｏｆ ｖｉｔｒｕａｌ ｂｅａｍ ④中间铰支座 在中间铰支座Ａ处，Ｙ ＝０，０Ａ≠０，０＾左：０＾右； 对应的虚梁的条件是 ：０，Ｑａ＂≠０，Ｑ 左＝Ｑ储。 这样，实梁的中间铰支座对应在Ａ点挠度不受约束 的“中间铰”，如图４所示。 ， 中间铰支座 ， ＞－＿———— ——— — Ａ Ａ 实梁 虚梁 图４实梁的中间铰支座对应虚梁的中间铰 Ｆｉｇ．４ Ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｊｏｉｎｔ ｓｕｐｐｏｒｔ ｏｆ ｒｅａｌ ｂｅａｍ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｊｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｒｔｕａｌ ｂｅａｍ ⑤中间铰（没有支座） 对于中间铰，实梁的ＹＡ左＝Ｙ晡和０ 左≠０Ａ右， 对应虚梁的 ： 和Ｑ ≠Ｑ ，所以实梁的 中间铰对应虚梁的“中间铰支座”，如图５所示。 ， 中间铰支座 ／ ———— ———— Ａ 图５实梁的中间铰对应虚梁的中间铰支座 Ｆｉｇ．５ Ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｊｏｉｎｔ ｏｆ ｒｅａｌ ｂｅａｍ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｊｏｉｎｔ ｓｕｐｐｏｒｔ ｏｆ ｖｉｔｒｕａｌ ｂｅａｍ 从以上分析可以看到，在分析实梁的自由端 时，并没有利用实梁的Ｍ ＝０，Ｑ ＝０；在分析中 间铰时，也没有利用实梁的ＭＡ＝０，Ｑ ＝０和Ｑ 左 ≠Ｑ 右。这是因为在运用共轭梁法求解实梁问题时 强调的是用求虚梁内力的方法来求实梁的位移， 第３期 王赞芝等：共轭梁比拟方法及在变截面梁计算中的应用 ５０３ 因此在此都是将实梁的位移边界条件转化为虚梁 的力的边界条件。 １．３运用共轭梁方法的算例 ⑤计算虚梁跨中虚弯矩 Ｍｌ ： × ｌ— 孥ｘ，ｔ ２．× １ Ｌ１ ２． 求解图６ａ所示变截面简支梁在均布荷载作用 下的挠度 Ｊ，分为如下几个步骤： ①作实梁的剪力图（图６ｂ）、弯矩图（图６ｃ）； ②在各截面将实梁弯矩除以实梁的抗弯刚度， 一（吾一 ） 一』 丁２ ５９２Ｅ 一２， ＥＩＪｆ ｎ ４１ｑ／４×（÷一 ） （＼ ２一ｔ）， ～ 如图６ｄ，这也就是虚梁的虚荷载分布图，是虚梁的 外力图； （ａ）变截面简支梁受均布荷载 （ｃ）实梁的弯矩 ‘ （ｄ）虚梁受到的虚荷载 图６共轭梁法示例 Ｆｉｇ．６ Ｅｘａｍｐｌｅ ｆｏｒ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｂｅａｍ ｍｅｔｈｏｄ ⑧根据上向对买梁和虚柒边界条件对，匝夫糸 的讨论，实梁两端简支，对应的虚梁也是两端简 支，这样图６ｄ中的虚梁也是简支梁； ④求出虚梁Ａ端的支座反力ＲＡ‘ Ｒ ： 丁ｑｌｘ－￣２ｄ ＋Ｊｆ ｘ １ ２ｄ ＝翁 。 ＋舄 。 ＝丝３２４Ｅ１十’ 盟１ ２９６Ｅ１＝盟１ ２９６Ｅ１，， （６）＼ ／ 虚梁的虚支反力 是实梁的端转角ＯＡ，即 ０Ａ＝ｒ４１３ｑ／２９６蔚； （７） （ 一 ）ｄ ４１ｑｌ ｑｌ １７ｑｌ 面一面一 丽 ＝２ ０ ７３ ６ＥＩ ＝ ６ ９１２Ｅ，ｌ’ （８） 虚梁的虚弯矩 对应实梁的挠度，因而实梁跨中 挠度 ｙ１： ６ ９１２Ｅ 旦 ，。。 （９）１．４共轭梁法解变截面梁问题的步骤 由算例可以看出，使用共轭梁法计算梁的变 形问题包括如下一些步骤：①根据实梁所受外力， 画出实梁的剪力图、弯矩图；②将实梁各截面的 弯矩除以相应位置处该梁的刚度，得到虚梁的虚 荷载；③根据上文实梁与虚梁边界条件的对应关 系，确定虚梁的边界条件；④计算出虚梁的支座 反力；⑤计算出虚梁的虚剪力、虚弯矩。 虚梁在端部的虚剪力就是实梁在端部的转角， 虚梁在跨中的虚弯矩就是实梁在跨中的挠度。 ２共轭梁法的应用 ２．１ 共轭梁方法的本质 在差分法中，虽然可以处理变截面梁与阶梯 轴等，但差分法处理阶梯轴是近似的，因为如果 将差分法的节点正好放在截面的突变处，则无法 决定在节点处到底取梁左侧的刚度还是取右侧的 刚度，因此即使可以通过增加分段个数来提高差 分法的精度，用差分法处理变截面梁本身仍然是 近似的。 而在共轭梁法中，由于沿梁的全长ｑ （ ）＝ 采用的是各截面实际的抗弯刚度，并未作 任何简化或假设，所以共轭梁方法得到的解答是 精确解答。 桂林理工大学学报 ２０１５年 共轭梁法在实质上与直接求解方程（１）是一样 的。直接求解方程（１）时，先积分方程（１）两次，得 到方程 Ｅｔ（ ） ：一 （ ）， （１０） 将上式变形为式（３）的第１式，再对式（３）的第１式 积分两次，即得梁的挠度表达式Ｙ（ ）。而在共轭梁 法中，也是先求出 （ ），然后形式上把 当 图７等效集中荷载 Ｆｉｇ．７ Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ ｌｏａｄｓ 成虚荷载ｇ （ ），再对ｇ （ ）积分两次。 也正因为共轭梁法本身是精确的，使得共轭梁 法没有简化计算过程，因此也没有减少计算工作 量。有时尽管ｑ（ ）很简单，但ｑ （ ）也很复杂，所 以采用共轭梁方法本身只是转变了解题观念，其本 身并不能给计算带来方便。 ２．２等效集中虚荷载 共轭梁法本身没有给计算带来便利，主要是 因为虚荷载ｑ （ ）较复杂，直接对ｑ （ ）进行两次 积分的工作量很大，要是进行实际工程中处理大型 复杂结构的计算，将显得复杂而凌乱。如果能按一 定的原则，将ｑ （ ）等效为集中力，则可免除复 杂的积分计算，从而显著减少计算工作量，提高 计算效率。 按照这一思路对共轭梁法进行改进：ｑ （ ）一 般呈曲线分布，将梁分为几个节段、ｎ＋１个节点，每 个节段长度分别为Ａ 、Ａ：、…、Ａ ，将连续分布于全 梁的虚荷载ｑ （ ）转换成仅存在于节点的集中荷 载，有些类似于有限元方法中对节间荷载的处理， 也类似于桁架结构设计时对桁架节间荷载的处 理 。 如图７所示，设分布虚荷载ｑ （ ）在节点Ａ、曰、 Ｃ三点上的值分别为ａ、６、Ｃ，则在两个相邻节间的 ｑ （ ）可用下列二次插值函数ｑ （ ）来拟合： （１『，（ ）＝Ｄｘ ＋Ｅ ＋Ｆ， （１１） 将 ＝０、 ＝Ａ 、 ＝Ａ ＋Ａ。及相应的函数值ａ、ｂ、 Ｃ分别代入式（１ １），以计算出式中的常数Ｄ、Ｅ、Ｆ，得 到拟合后的ｑ （ ）： ，、 Ａｌ（ｃ—ｂ）＋Ａ２（ａ—ｂ）２ ｑ２（ — 一 一 Ａ （ｃ—ｂ）＋２Ａ Ａ （ａ—ｂ）＋Ａ （ａ—ｂ） ———— ——～ （１２） 如果采用等间距划分节段，则Ａ。＝Ａ。＝…＝ Ａ ＝Ａ，式（１２）将得到简化；如果虚荷载ｇ （ ）在 某节间呈线性分布或在全粱呈折线分布，则只需在 这些节间线性插值，式（１２）也得到简化。 设两节段ＡＢ及ＢＣ上的分布荷载等效到Ａ、 、 Ｃ三点的集中虚荷载分别为 、 ＝ＯＬＢＡ ＋ 、 ＯｌＣＢ ，现取出其中一个节问ＡＢ进行分析，于是有 ＾—— ｛ｆ ∑Ｍ ＝０：Ａ．ＯＩＢＡ ：Ｉ～ ・ｑ（ ）ｄｘ， （２ ２—１３） 【∑Ｆ＝０： ＋ＯＬＢＡ ＝ｆ ｑ（ｘ）ｄｘ， 将式（１２）代入式（１３），整理后可以解得 ， Ａｌ［Ａ （６一ｃ）＋３Ａ Ａ２（Ⅱ＋６）＋２Ａ；（２ａ＋６）］ １２Ａ２（Ａ一＋Ａ２） ’（１４） ｌ Ａ ［Ａ （６一ｃ）＋Ａ，Ａ２（。＋５６）＋２ａ；ａ＋２ｂ）］ 【 一—————＿ｌ２ ———一。 注意到式（１４）中 ， 值不涉及坐标轴的 起始位置，据此可由对称性直接写出节问ＢＣ的等 效集中荷载。具体作法是将式（１４）左边的Ａ换成 Ｃ，右边的ａ与ｃ交换，Ａ 与Ａ 交换，并将由此得到 的两式变换上下位置得到： ａ）＋Ａ Ａ２（ｃ＋５ｂ）＋２Ａ （ｃ＋２ｂ）］ ｎ）＋ ２Ａｔ（ Ａ１。）＋ ３Ａ Ａ ，１ （ ＋ ）＋ Ｃ＋＋Ａｂ ＋２Ａ （（ ＋ ）］２ｃ＋ｂ）］ ’（１５） 节点Ｂ的总荷载ＯｔＢ ：ＯＬＢＡ ＋ ，则两个节间的 分布荷载ｑ （ ）在Ａ、Ｂ、Ｃ这３个节点的等效荷载为 Ａ。［Ａ （ｂ—ｃ）＋３Ａ Ａ （ｆｚ＋ｂ）＋２Ａ；（２ａ＋ｂ）］ ％ ————～— ———一， Ａ （ｂ—ｃ）＋Ａ１Ａ２（Ａ ＋Ａ２）（０＋４６＋ｃ）＋Ａｉ（ｂ—ａ） ———————— ■—————一 （１６） ２．３改进后的共轭梁方法 图８ａ为一变刚度简支梁，根据外荷载所得的剪 力图如图８ｂ所示，弯矩图如图８ｃ所示，图８ｄ是按 Ａ２ ～ —ｌＡ ２ ．—１ Ａ— 一２ ２ Ａ ／ ，Ｌ６— ６ 第３期 王赞芝等：共轭梁比拟方法及在变截面梁计算中的应用 ５０５ 照式（４）计算得到的作用于虚梁上的分布虚荷载 然地规定下列物理量的正、负号。 ｑ （ ）。将梁沿纵向划分为１１，段，每段长度分别为 ①荷载：凡荷载作用方向朝上者为正，这样图 Ａ 、Ａ：、…、Ａ 。显然，梁段划分愈细，计算精度愈 ８ａ中两个支座反力Ａ、Ｂ为正，外力Ｐ为负；②剪力：凡使截面左边合力向上者为正，这样 高，但计算工作量却要大一些。根据分布虚荷载 ｑ （ ）计算出的等效集中虚荷载Ｏｌ （图８ｅ），同时标 图８ｂ中集中力左侧的剪力为正；③弯矩：凡使顶部纤维受压者为正，这样图 出由其计算出的虚梁的两个虚支反力４ 、Ｂ ，再 ８ｃ中的弯矩为正； 根据图８ｅ画出虚梁的虚剪力图８ｆ、虚弯矩图８ｇ。 ④曲率：实梁的曲率定义为 ，也就是虚 按照“合乎情理和方便使用”的原则，可以自 梁的分布虚荷载ＯＬ （ ），一个正的曲率相应于方 向朝上的正荷载，由于图８ｃ中的弯矩是正的，所以 变刚度筒支梁 图８ｄ中的分布虚荷载Ｏ／ （ ）是负的，即正的弯矩 产生负的曲率； ⑤坡度（或斜率）：实梁挠曲线的坡度 是虚 ｏ ｅ （ｂ）剪力图Ｎ（ｘ） 梁的虚剪力 ，正的坡度相应于实梁的挠度从左 到右增加，图８ｆ中左半部分的坡度为正； ⑥挠度：实梁的挠度Ｙ 是虚梁的虚弯矩 ２．４算例 ，向 下的挠度Ｙ 为正挠度，与实梁正的弯矩相对应。 （ｃ）弯矩图 ） 已知条件见图９ａ，试求梁的挠度与端转角。 本例将梁全长等分为６段。 ①按图９ａ计算出梁的弯矩（图９ｂ）。 ②根据各截面处的刚度值Ｅ１（ ），得到实梁的 （ｄ）作用于虚梁上的分布虚弯矩ｇ ∽ 曲率 ＝ ９ｃ）。 ，也就是虚梁的虚荷载ｇ （ ）（图 十 十 （ｅ）等效集中虚荷载 （ Ｏ，１，２，…， 和虚支反力 ∥ ③按式（１６）计算７个节点处的等效集中虚荷 载 （ｉ＝０，１，…，６），如图９ｄ所示。 在图９ｄ中，ｏｔ０ ＝６９５．８３是据式（１６）中第１式 Ｌ——＿ ——Ｌ计算，其中ａ：一１ ８００，ｂ＝一７５０，ｃ：一４００，Ａ ＝ ｃ。虚剪力图 Ａ ＝Ａ； （ｉ：１，２，…，５）是据式（１６）中第２式计 算，例如计算Ｏｒ３ ＝２３０．８３时ａ＝一４００，ｂ＝一２２５， 一 ／ ① Ｉ Ｉ Ｃ＝一１２０；ＯＬ６ ＝７．５据式（１６）中第３式计算，这时 ａ＝一１２０，ｂ＝一５０，Ｃ＝０。 ④把此虚梁当成普通的简支梁，按式（１３）同 样的原理，根据图９ｄ计算出虚梁两端支点处的支 反力Ａ 和 ，得Ａ ＝１ ８１０．８３，Ｂ ＝５２０．８３， ＼ 这两个值也一并标在图中。 （ｇ）虚弯矩图 图８改进的共轭梁方法计算步骤 Ｆｉｇ．８ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｂｅａｍ ｍｅｔｈｏｄ ⑤用与画传统的剪力图同样的方法，画出图 ９ｄ所示虚梁的虚剪力图（图９ｅ）。 ⑥根据图９ｅ的虚剪力图，画出虚弯矩图（图 ９ｆ）。 桂林理工大学学报 ２０１５钜 端点 的情况与此类似。这是因为， 是将原来 分布在Ａ一１ 节间的分布荷载等效而来的，实际上 在这个虚梁的Ａ端并无这一集中虚荷载。也就是 说，在图９ｆ中，Ａ一１ 间的挠曲线本来不是直线， 而是曲线。对于曲线，在Ａ点切线斜率当然不同 于在Ａ一１ 段的切线斜率。 ３ 结束语 （ｂ）弯矩Ｍ（ｘ） ６９５ ８３ ８０８．３ ４ｌ４ ５８３ ２３０ ８３ ｌ２２９１６ ５１．６ ５ ／ｔ； （． （ｄ）等效集中虚荷载 （卢０卢ｏ，＇ｌ，２．，… 和虚支反力，６）和虚支反力 十 日ｉ ． 一 一 ＼ ｌＩ ／ｔ １ ｔ７－． ，— ７５ ，ｔ５虚密辐嘲 】３．３ｋ — …— 图９改进后的共轭梁法算例 Ｆｉｇ．９ Ｅｘａｍｐｌｅ ｆｏｒ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｂｅａｍ ｍｅｔｈｏｄ 这个虚梁的虚弯矩 ，就是实梁的挠度Ｙ。 因此此梁在节点２ 有最大挠度１ ４２１．６（单位）。 值得说明的是，在图８ｅ和图９ｄ的虚外力图 中，故意将虚支反力Ａ 画得向左偏离 一些，将 支反力Ｂ 向右偏离 ：或 一些。这样在图９ｅ 中，１ ８１０．８３表示的是梁在端点 的切线的斜率， 而１ １１５表示的是梁在Ａ一１ 这一段的平均斜率。 本文从方程（２）和方程（３）具有相似性出发， 提出共轭梁的概念，导出实梁的各种边界条件所 对应的虚梁的边界条件。总结了共轭梁法的本质， 在此基础上，对其作了改进，发展为计算变截面 梁挠度的改进的共轭梁方法。计算时，将变截面 梁分为若干节段，把实梁的而Ｍ当作共轭虚梁的虚 荷载ｑ ，作用在虚梁上的节间虚荷载拟合为二次 抛物线分布，按静力等效的原则将抛物线分布的虚 荷载ｑ 转换成若干个作用于虚梁结点上的等效集 中虚荷载ＯＬ ，然后计算虚集中力Ｏｌ 作用下虚梁各 个截面处的虚剪力、虚弯矩。依据实梁与虚梁的 对应关系，虚剪力与虚弯矩就是实梁的截面转角 和挠度，由此得到原来实梁问题的解答。 参考文献： ［１］许维德．流体力学［Ｍ］．北京：国防工业出版社，１９７９： １１２—２０７． ［２］Ｈｅｎｄｒｙ Ａ Ｗ．Ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ 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Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉｕｚｈｏｕ ５４５００６，Ｃｈｉ— ｎａ；２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ ５３０００４，Ｃｈｉｎａ；３．Ｈｅｂｅｉ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５００９１，Ｃｈｉｎａ；４．Ｈａｎｄａｎ Ｄｅｓｉｇｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｈｉｎａｃｏａｌ Ｃｏｍｐａｎｙ Ｌｉｍｉｔｅｄ，Ｈａｎｄａｎ ０５６０３ １，Ｃｈｉｎａ；５．Ｌｉｕｚｈｏｕ Ｒａｉｌｗａｙ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉｕｚｈｏｕ ５４５６１６，Ｃｈｉｎａ；６．Ｇｕａｎｇｘｉ Ｓｃｉｎｅｅｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｎｏｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｕｚｈｏｕ ５４６１９９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｅｅｋ ａ ｎｅｗ ｗａｙ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｓｔａｔｉｃ／ｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｉｎ ｓｔａｔｉｃ／ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ ａ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｒｏｓｓ—ｓｅｃｔｉｏｎ ｂｅａｍ，ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔ—ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｖｅ ｆｏｒｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｄｉｓｐｌａｃｅ— ｍｅｎｔ—ｒａｔｉｏ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔ ｔｏ ｌｆｅｘｕｒａｌ ｒｉｇｉｄｉｔｙ（ＲＭＦ）ｒｅｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ＲＭＦ ｏｆ ａ ｒｅａｌ ｂｅａｍ ｗａｓ ｔｒｅａｔｅｄ ａｓ ｖｉｒｔｕａｌ ｄｉｓｔｒｉｂ— ｕｔｉｖｅ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｖｉｒｔｕａｌ ｂｅａｍ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｓｔａｔｉｃａｌｌｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅ ｖｉｔｕａｌｒ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｖｅ ｆｏｒｃｅ ｗａｓ ｈｅｎｃｅ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｔｏ ｖｉｔｕａｌｒ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｆｏｒｃｅ，ｔｈｕｓ ｖｉｒｔｕａｌ ｓｈｅａｒ ｆｏｒｃｅｓ，ｖｉｔｒｕａｌ ｂｅｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔｓ ａｎ－ ｄｅｒ ｖｉｒｔｕａｌ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｆｏｒｃｅ ｃａｎ ｂｅ ｅａｓｉｌｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｎａｌｏｇｉｃａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｖｉｒｔｕａｌ ｓｈｅａｒ ｆｏｒｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｖｉｒｔｕａｌ ｂｅｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｓｅｃｔｉｏｎ ｒｏｔａｔｉｏｎ ａｎｇｌｅｓ ａｎｄ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｂｅａｍ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｈａｓ ｂｏｔｈ ｃｌｅａｒ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｃｏｓｔ，ａｎｄ ｃａｎ ａｌｓｏ ｂｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｓｏｌ— ｖｉｎｇ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅａｍｓ ａｎｄ ｒｉｇｉｄ ｆｒａｍｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｂｅａｍ ｍｅｔｈｏｄ；ｖｉｔｒｕａｌ ｂｅａｍ ｍｅｔｈｏｄ；ａｎａｌｏｇｕｅ ｍｅｔｈｏｄｓ；ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｒｏｓｓ・ｓｅｃｔｉｏｎ ｂｅａｍｓ
