【课时训练】函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是( ) A．f(x)＝x C．f(x)＝cos x 【答案】D
1
【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f(－x)＝e－x＝x≠－f(x)，
e故不是；对于C，f(－x)＝cos(－x)＝cos x≠－f(x)，故不是；对于D，f(－x)＝e－e＝－(e－e)＝－f(x)，是奇函数，故选D.
2．(2018江南十校联考)设函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( ) A．f(x)是奇函数 C．f(x)的值域为R 【答案】D
【解析】因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f ′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误．
3．(2018兰州模拟)已知函数f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋
2
－xB．f(x)＝e D．f(x)＝e－e
x－xxxx－xB．f(x)在R上单调递增 D．f(x)是周期函数
b的值是( )
1A．－
31C．－
2【答案】B
1
【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b31
＝.故选B. 3
4．(2018四川遂宁一模)已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x，则f(2 019)＝( )
A．－2 C．－98 【答案】B
【解析】由f(x＋4)＝f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)， 又f(3)＝f(－1)，且f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.
5．(2018湖南师范大学附属中学月考)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)都是偶函数，且f(1)＝1，则f(－1)＋f(7)＝( )
A．0 C．2 【答案】C
1
2
1
B． 31D． 2
B．2 D．98
B．1 D．3
【解析】∵y＝f(－x)为偶函数，
∴f(－(－x))＝f(－x)，∴f(－x)＝f(x)，
∴y＝f(x)为偶函数，∴当x＝1时，有f(－1)＝f(1)＝1.
又y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(x－2)＝f(x＋2)．
则f(x)＝f(x＋4)，∴函数y＝f(x)为周期函数，且周期为4.∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝1.故f(－1)＋f(7)＝2.故选C.
6．(2019吉林东北师大附中第一次摸底)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)【解析】因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f(－25)＝f(－1)1)＝f(1)．故选D.7．(2018安徽十大名校年联考)设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，7
且当033A． 54C． 3【答案】D
577755【解析】因为函数以4为周期，所以f＝f－4＝f－＝－f＝ln ，所以ef()33333355
＝eln ＝.故选D.
33
8．(2018江西九江七校联考)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝( )
A．0 C．－8 【答案】B
【解析】由题意可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f [(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴
B．－4 D．－16 3
B． 45D． 3
f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.故选B.
二、填空题
9．(2018山东菏泽模拟)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当025x时，f(x)＝9，则f－＋f(2)＝________.
2
【答案】－3
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
5111∴f－＝f－－2＝f－＝－f. 2222
15x又当0225又f(2)＝f(0)＝0，∴f－＋f(2)＝－3.
2
10．(2018广东珠海二中、斗门一中联考)若函数f(x)＝ax＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)＝________.
【答案】5
【解析】∵函数f(x)＝ax＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数， ∴－1－a＋2a＝0，即a＝1.
∵f(x)＝f(－x)，∴ax＋bx＋1＝ax－bx＋1，∴b＝0，即f(x)＝x＋1. 则f(2a－b)＝f(2)＝5.
11．(2018山东泰安模拟)已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时， f(x)＝x＋1，则当x<0时， f(x)＝________.
【答案】－－x－1
【解析】∵f(x)为奇函数，且x>0时， f(x)＝x＋1，∴当x<0时，即－x>0，有 f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x<0时， f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.
12．(2018山东烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋2x.若f(2－a)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－2,1)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时， f(x)＝－x＋2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数．由f(2－a)＞f(a)，得2－a＞a，解得－2＜a＜1.
2
2
2
2
2
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2
2
2
2
三、解答题
－x＋2x，x>0，
13．(2018云南民族中学月考)已知函数f(x)＝0，x＝0，
x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；
3
2
是奇函数．
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 【解】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时， f(x)＝x＋2x＝x＋mx，所以
2
2
2
2
m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
a－2>－1，
结合f(x)的图象(如图所示)知
a－2≤1，
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
14．(2018天津六校期中联考)已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意
x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 【解】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 1
∴f(－1)＝f(1)＝0.
2
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 又由(2)知， f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)4
