江苏省常州市金坛区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

江苏省常州市金坛区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分） 1. 下列方程中，没有实数根的是( )

A.  3𝑥2+8𝑥=0

B.  𝑥2+4𝑥=10 C.  𝑥2−2𝑥+3=0 D.  (𝑥−2)(𝑥−3)=12

2. 用配方法解一元二次方程2𝑥2−12𝑥−9=5，则方程可变形为( )

A. 2(𝑥−6)2=43 B. (𝑥−6)2=43 C. 2(𝑥−3)2=16 D. (𝑥−3)2=16

3. 如果代数式𝑥2+4𝑥+4的值是16，则x的值一定是( )

A. −2 B. 2√3，−2√3 C. 2，−6 D. 30，−34

4. 如图，空地上(空地足够大)有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用

旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900𝑚2.若设𝐴𝐷=𝑥𝑚，则可列方程( )

A. (50−2)𝑥=900 C. (50−𝑥)𝑥=900

𝑥

B. (60−𝑥)𝑥=900 D. (40−𝑥)𝑥=900

5. 已知点A，B，C在⊙𝑂上，则下列命题为真命题的是( )

A. 若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B. 若四边形OABC是平行四边形，则∠𝐴𝐵𝐶=120° C. 若∠𝐴𝐵𝐶=120°，则弦AC平分半径OB D. 若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC

6. 用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为( )

A. 1cm B. 2cm C. 𝜋𝑐𝑚 D. 2𝜋𝑐𝑚

C，D在⊙𝑂上，AB是⊙𝑂的切线，A为切点，OC的延长线交AB于点B，∠𝐴𝐵𝑂=45°，7. 如图，点A，

则∠𝐷的度数是( )

A. 22.5° B. 20° C. 30° D. 45°

8. 如图，AB是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐶𝐷𝐵=30°，𝐶𝐷=2√3，则阴影部

分图形的面积为( )

A. 4𝜋 B. 2𝜋 C. 𝜋

D. 3

2𝜋

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 9. 方程𝑥2=2𝑥的解是_______________．

10. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程𝑥2−7𝑥+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是

________．

11. 已知关于x的方程2𝑥2+𝑎𝑥+𝑎−2=0.当该方程的一个根为1时，则a的值为______，该方程

的另一根为______．

12. 若关于x的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2+2𝑘𝑥+𝑘+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

是______．

13. 设a、b是方程𝑥2−𝑥−2019=0的两个实数根，则3𝑎+3𝑏的值为______． 14. 如图，正方形ABCD边长为2，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E，

则阴影部分面积为(结果保留𝜋) ______ ．

A、B、C为⊙𝑂上的三个点，15. 如图所示，若∠𝐶=40°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数为______．

16. 如图，四边形ABCD内接于⊙𝑂，AB为⊙𝑂的直径，C为弧BD的中点，

若∠𝐷𝐴𝐵=40°，则∠𝐴𝐷𝐶=______．

17. 已知△𝐴𝐵𝐶的三边长𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5，则它的内切圆半径是______．

18. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=6，点D是AC边的中点，点P是BC边上一点，

若△𝐵𝐷𝑃为等腰三角形，则线段BP的长度等于______．

三、计算题（本大题共1小题，共16.0分） 19. 解方程：

(1)(2𝑥+3)2−81=0． (2)𝑥2−4𝑥−5=0．

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

20. 如图是一张长10dm，宽6dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，

然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒．

(1)无盖方盒盒底的长为______dm，宽为______𝑑𝑚(用含x的式子表示)；

(2)若要制作一个底面积是32𝑑𝑚2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．

21. 在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物“福娃”平均每天可

售出20套，每件盈利40元．为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？

22. 已知PA，PB分别与⊙𝑂相切于点A，B，∠𝐴𝑃𝐵=80°，C为⊙𝑂上一点．

(Ⅰ)如图①，求∠𝐴𝐶𝐵的大小；

(Ⅱ)如图②，AE为⊙𝑂的直径，AE与BC相交于点𝐷.若𝐴𝐵=𝐴𝐷，求∠𝐸𝐴𝐶的大小．

23. 如图，点D为⊙𝑂上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐶𝐵𝐷．

(1)判断直线CD和⊙𝑂的位置关系，并说明理由；

(2)过点B作⊙𝑂的切线BE交直线CD于点E，若𝐵𝐸=5，𝐶𝐷=8，求⊙𝑂的半径．

24. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，BC为⊙𝑂直径，延长AC至D，过D作⊙𝑂

切线，切点为E，且∠𝐷=90°，连接𝐵𝐸.𝐷𝐸=12， (1)若𝐶𝐷=4，求⊙𝑂的半径； (2)若𝐴𝐷+𝐶𝐷=30，求AC的长．

25. 如图．⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，直径𝐴𝐷=4，

∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐶.求AC的长．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：

本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的符号与方程解的个数之间的关系是解题的关键．根据根的判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论． 解：𝐴.在方程3𝑥2+8𝑥=0中，△=82−4×3×0=>0， ∴该方程有两个不相等的实数根；

B.在方程𝑥2+4𝑥=10中，△=42−4×1×(−10)=56>0， ∴该方程有两个不相等的实数根；

C.在方程𝑥2−2𝑥+3=0中，△=(−2)2−4×1×3=−8<0， ∴该方程没有实数根；

D.方程(𝑥−2)(𝑥−3)=12可变形为𝑥2−5𝑥−6=0，△=(−5)2−4×1×(−6)=49>0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选C．

2.答案：D

解析：解：∵2𝑥2−12𝑥−9=5， ∴2𝑥2−12𝑥=14， 𝑥2−6𝑥=7，

则𝑥2−6𝑥+9=7+9，即(𝑥−3)2=16， 故选：D．

先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 本题考查了配方法解一元二次方程的运用．

3.答案：C

解析：解：由题知𝑥2+4𝑥+4=16，∴𝑥2+4𝑥−12=0， ∴(𝑥−2)(𝑥+6)=0，

∴𝑥1=2，𝑥2=−6.故选C．

由原题可列方程，然后根据方程形式，用因式分解法进行求解即可．

本题考查因式分解法解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题关键．

4.答案：B

解析：

考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设𝐴𝐷=𝑥𝑚，则𝐴𝐵=(60−𝑥)𝑚，根据矩形面积公式列出方程． 解：设𝐴𝐷=𝑥𝑚，则𝐴𝐵=(60−𝑥)𝑚， 由题意，得(60−𝑥)𝑥=900． 故选B．

5.答案：B

解析：解：A、如图，

若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题； B、若四边形OABC是平行四边形， 则𝐴𝐵=𝑂𝐶，𝑂𝐴=𝐵𝐶， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶，

∴𝐴𝐵=𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝐵𝐶=𝑂𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐶=60°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=120°，是真命题； C、如图，

若∠𝐴𝐵𝐶=120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题； D、如图，

若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题； 故选：B．

根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

6.答案：A

解析：解：由题意知：底面周长=2𝜋𝑐𝑚，底面半径=2𝜋÷2𝜋=1𝑐𝑚． 故选：A．

由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长=2𝜋，底面半径=2𝜋÷2𝜋得出即可． 此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．

7.答案：A

解析：

本题考查了圆的切线性质、圆心角和圆周的关系及解直角三角形的知识，属于基础题．

先根据切线的性质判断出𝑂𝐴⊥𝐴𝐵，进而求出∠𝑂的度数，然后根据圆心角和圆周角的关系求出∠𝐴𝐷𝐶的度数．

解：∵直线AB是⊙𝑂的切线，A为切点， ∴𝑂𝐴⊥𝐴𝐵， ∵∠𝐴𝐵𝑂=45°，

∴∠𝑂=90°−45°=45°， 又∵点D在⊙𝑂上，

∴∠𝐴𝐷𝐶=2∠𝑂=2×45°=22.5°． 故选A．

11

8.答案：D

解析：解：如图，假设线段CD、AB交于点E，

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴𝐶𝐸=𝐸𝐷=√3， 又∵∠𝐶𝐷𝐵=30°，

∴∠𝐶𝑂𝐸=2∠𝐶𝐷𝐵=60°，∠𝑂𝐶𝐸=30°， ∴𝑂𝐸=𝐶𝐸⋅𝑐𝑜𝑡60°=√3×

√33

=1，𝑂𝐶=2𝑂𝐸=2，

60𝜋×𝑂𝐶2

360

∴𝑆阴影=𝑆扇形𝑂𝐶𝐵−𝑆△𝐶𝑂𝐸+𝑆△𝐵𝐸𝐷=故选：D．

−𝑂𝐸×𝐸𝐶+𝐵𝐸⋅𝐸𝐷=

2

2

112𝜋3

−

√32

+

√32

=

2𝜋3

．

根据垂径定理求得𝐶𝐸=𝐸𝐷=√3，然后由圆周角定理知∠𝐶𝑂𝐸=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入𝑆阴影=𝑆扇形𝑂𝐶𝐵−𝑆△𝐶𝑂𝐸+𝑆△𝐵𝐸𝐷．

本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．

9.答案：𝑥1=0，𝑥2=2

解析：

本题考查了用因式分解法求一元二次方程的解，能正确分解因式是解题的关键.先移项，然后可提取x，根据分解因式求解．

解：𝑥2=2𝑥，移项得：𝑥2−2𝑥=0，

分解因式得：𝑥(𝑥−2)=0，解得：𝑥1=0，𝑥2=2． 故答案为𝑥1=0，𝑥2=2．

10.答案：12

解析：

【分析】此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确得出方程的根是解题关键．首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．

【解答】解：𝑥2−7𝑥+10=0， (𝑥−2)(𝑥−5)=0， 解得𝑥1=2，𝑥2=5，

当腰为2，底为5时，不符合三角形的三边关系，故舍去， 故等腰三角形的腰长只能为5，底边长为2， 则其周长为5+5+2=12． 故答案为12．

11.答案：0 −1

解析：解：设方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系得：𝑥+1=−2，𝑥⋅1=解得：𝑥=−1，𝑎=0， 故答案为：0；−1．

设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：𝑥+1=−2，𝑥⋅1=

𝑎

𝑎−22

𝑎

𝑎−22

，

，求出即可．

本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎、b、c为常数，𝑎≠0)的两个根，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑎．

𝑏

𝑐

12.答案：𝑘<2且𝑘≠1

解析：解：∵关于x的一元二次方程𝑘𝑥2−𝑥+1=0有实数根， ∴𝑘−1≠0且△=(2𝑘)2−4(𝑘−1)(𝑘+3)>0， 解得：𝑘<2且𝑘≠1， 故答案为：𝑘<2且𝑘≠1．

根据二次项系数非零及根的判别式△>0且𝑘−1≠0，求出即可．

本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△>0，找出

33

3

关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

13.答案：3

解析：

𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根时，本题考查了根与系数的关系：𝑥1⋅𝑥2=．

𝑎

由根与系数的关系可得𝑎+𝑏=1，再将3𝑎+3𝑏变形为3(𝑎+𝑏)，然后把𝑎+𝑏=1代入计算即可． 解：∵𝑎、b是方程𝑥2−𝑥−2019=0的两个实数根， ∴𝑎+𝑏=1，

∴3𝑎+3𝑏=3(𝑎+𝑏)=3×1=3． 故答案为3．

𝑐

𝑏

14.答案：2−4

解析：

本题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式：设圆心角是𝑛°，圆的半径为R的扇形面积为S，则𝑆扇形=

𝑛𝜋𝑅2360

3𝜋

．

首先连接OE，然后求出EO长，再计算出𝑆梯形𝐶𝐷𝐸𝑂和𝑆扇形𝐶𝑂𝐸，再求差即可得到阴影部分的面积． 解：连接OE，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐶𝐵𝐷=45°，

∵正方形ABCD边长为2， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐸=1， ∴∠𝐵𝑂𝐸=90°， ∴𝑆阴=𝑆梯形𝐶𝐷𝐸𝑂−𝑆扇形COE

=2×(1+2)×1−360𝜋×12=2−4， 故答案为2−4．

3

𝜋

1903𝜋

15.答案：80°

解析：解：∵𝐴、B、C为⊙𝑂上的三个点，∠𝐶=40°，

∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐶=80°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)； 故答案是：80°．

利用圆周角定理(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)解答．

本题考查了圆周角定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

16.答案：110°

解析：解：连接AC， ∵点C为弧BD的中点， ∴∠𝐶𝐴𝐵=2∠𝐷𝐴𝐵=20°， ∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∵∠𝐷𝐴𝐵=40°， ∴∠𝐷𝐶𝐵=140°，

∴∠𝐷𝐶𝐴=140°−90°=50°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=180°−20°−50°=110°， 故答案为：110°．

连接AC，根据圆周角定理得到∠𝐶𝐴𝐵=2∠𝐷𝐴𝐵=20°，∠𝐴𝐶𝐵=90°，计算即可．

本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角是解题的关键．

1

1

17.答案：1

解析：

根据勾股定理的逆定理求出△𝐴𝐶𝐵是直角三角形，设△𝐴𝐵𝐶的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则𝑂𝐸=𝑂𝐹=𝑂𝐷=𝑅，根据𝑆△𝐴𝐶𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐶+𝑆△𝐴𝑂𝐵+𝑆△𝐵𝑂𝐶代入即可求出答案．

本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于R的方程，题目比较典型，难度适中．

解：

∵𝑎=3，𝑏=4，𝑐=5， ∴𝑎2+𝑏2=𝑐2， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，

设△𝐴𝐵𝐶的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则𝑂𝐸=𝑂𝐹=𝑂𝐷=𝑅， ∵𝑆△𝐴𝐶𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐶+𝑆△𝐴𝑂𝐵+𝑆△𝐵𝑂𝐶，

∴×𝐴𝐶×𝐵𝐶=×𝐴𝐶×𝑂𝐸+×𝐴𝐵×𝑂𝐹+×𝐵𝐶×𝑂𝐷，

2

2

2

2

1

1

1

1

∴3×4=4𝑅+5𝑅+3𝑅， 解得：𝑅=1． 故答案为：1．

18.答案：3√2或√5

解析：解：如图，当𝑃𝐷=𝑃𝐵时，连接PA交BD于点H，作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝑃𝐹⊥𝐴𝐵于F．

∵𝐴𝐷=𝐷𝐶=3.𝐴𝐵=3， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∵𝑃𝐵=𝑃𝐷， ∴𝑃𝐴垂直平分线段BD，

∴∠𝑃𝐴𝐵=∠𝑃𝐴𝐷， ∴𝑃𝐸=𝑃𝐹，

∵⋅𝐴𝐵⋅𝑃𝐹+⋅𝐴𝐶⋅𝑃𝐸=⋅𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，

2

2

2

1

1

1

∴𝑃𝐸=𝑃𝐹=2，

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷𝐴中，∵𝐴𝐵=𝐴𝐷=3， ∴𝐵𝐷=3√2，𝐵𝐻=𝐷𝐻=𝐴𝐻=∵∠𝑃𝐴𝐸=∠𝐴𝑃𝐸=45°， ∴𝑃𝐸=𝐴𝐸=2，

√

∴𝑃𝐴=2√2，𝑃𝐻=𝑃𝐴−𝐴𝐻=，

223√2， 2

在𝑅𝑡△𝑃𝐵𝐻中，𝑃𝐵=√𝐵𝐻2+𝑃𝐻2=√(3√2)2+(√2)2=√5．

22当𝐵𝐷=𝐵𝑃′时，𝐵𝑃′=3√2，

综上所述，满足条件的BP的值为3√2或√5． 故答案为3√2或√5．

分两种情形：①当𝑃𝐷=𝑃𝐵时．②当𝐵𝐷=𝐵𝑃′时分别求解；

本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

19.答案：解：(1)(2𝑥+3)2=81，

2𝑥+3=±9，

即2𝑥+3=9或2𝑥+3=−9， 所以𝑥1=3，𝑥2=−6； (2)(𝑥−5)(𝑥+1)=0， 𝑥−5=0或𝑥+1=0， 所以𝑥1=5，𝑥2=−1．

解析：本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程． (1)先变形为(2𝑥+3)2=81，然后利用直接开平方法解方程； (2)利用因式分解法解方程．

20.答案：解：(1)(10−2𝑥) ，(6−2𝑥) ；

(2)根据题意得：(10−2𝑥)(6−2𝑥)=32， 解得：𝑥1=1，𝑥2=7(不合题意，舍去)． 答：剪去的正方形边长为1dm．

解析：解：(1)无盖方盒盒底的长为(10−2𝑥)𝑑𝑚，宽为(6−2𝑥)𝑑𝑚． 故答案为：(10−2𝑥)；(6−2𝑥)． (2)见答案，

(1)由矩形纸板的长宽结合剪去的正方形的边长，即可找出无盖方盒盒底的长和宽；

(2)根据矩形的面积公式结合纸盒的底面积是32𝑑𝑚2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21.答案：解：设每套降价x元，

由题意得：(40−𝑥)(20+2𝑥)=1200 即2𝑥2−60𝑥+400=0， ∴𝑥2−30𝑥+200=0， ∴(𝑥−10)(𝑥−20)=0， 解得：𝑥=10或𝑥=20， 为了减少库存，所以𝑥=20． 每套应降价20元．

解析：设每套降价x元，那么就多卖出2x套，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解．

本题考查理解题意的能力，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解．

22.答案：解：(Ⅰ)连接OA、OB，

∵𝑃𝐴，PB是⊙𝑂的切线， ∴∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°，

∴∠𝐴𝑂𝐵=360°−90°−90°−80°=100°， 由圆周角定理得，∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴𝑂𝐵=50°； (Ⅱ)连接CE，

1

∵𝐴𝐸为⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐶𝐸=90°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=50°，

∴∠𝐵𝐶𝐸=90°−50°=40°， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐸=40°， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，

∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵=70°， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐶𝐵=20°．

解析：本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

(Ⅰ)连接OA、OB，根据切线的性质得到∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°，根据四边形内角和等于360°计算； (Ⅱ)连接CE，根据圆周角定理得到∠𝐴𝐶𝐸=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算．

23.答案：解：(1)直线CD和⊙𝑂的位置关系是相切，理由如下：

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°， ∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐷𝐵𝐴=90°， ∵∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐶𝐵𝐷， ∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐶𝐷𝐴=90°， ∵𝑂𝐷=𝑂𝐴， ∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐷𝑂， ∴∠𝐶𝐷𝐴+∠𝐴𝐷𝑂=90°， 即∠𝐶𝐷𝑂=90°， ∴𝑂𝐷⊥𝐶𝐸，

∴直线CD是⊙𝑂的切线；

(2)∵𝐶𝐷是⊙𝑂的切线，BE是⊙𝑂的切线， ∴𝐷𝐸=𝐵𝐸=5，∠𝐶𝐵𝐸=90°=∠𝐶𝐷𝑂， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐷+𝐷𝐸=13，

∴𝐵𝐶=√𝐶𝐸2−𝐵𝐸2=√132−52=12， ∵∠𝐶=∠𝐶，∴△𝐶𝑂𝐷∽△𝐶𝐸𝐵， ∴

𝑂𝐶𝐶𝐸

=

𝐶𝐷

，即13=12， 𝐵𝐶

263

𝑂𝐶8

解得：𝑂𝐶=，

103

∴𝑂𝐵=𝐵𝐶−𝑂𝐶=

10

，

即⊙𝑂的半径为3．

解析：本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强．

(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐷𝐵𝐴=90°，求出∠𝐶𝐷𝐴+∠𝐴𝐷𝑂=90°，根据切线的判定推出即可；

(2)由切线长定理得出𝐷𝐸=𝐵𝐸=5，得出𝐶𝐸=𝐶𝐷+𝐷𝐸=13，由勾股定理得出𝐵𝐶=√𝐶𝐸2−𝐵𝐸2=12，证明△𝐶𝑂𝐷∽△𝐶𝐸𝐵，得出𝐶𝐸=𝐵𝐶，求出𝑂𝐶=

𝑂𝐶

𝐶𝐷

263

，得出OB的长即可．

24.答案：(1)解：连接OE，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐷于H，

∵𝐷𝐸是⊙𝑂的切线， ∴𝑂𝐸⊥𝐷𝐸． 又∵∠𝐷=90°， ∴四边形OHDE是矩形， 设⊙𝑂的半径为r， 在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐻中， 𝑂𝐶2=𝐶𝐻2+𝑂𝐻2， ∴𝑟2=(𝑟−4)2+144， ∴半径𝑟=20．

(2)解：∵𝑂𝐻⊥𝐴𝐷， ∴𝐴𝐻=𝐶𝐻．

又∵𝐴𝐷+𝐶𝐷=30，即：(𝐴𝐻+𝐻𝐷)+(𝐻𝐷−𝐶𝐻)=30． ∴2𝐻𝐷=30，𝐻𝐷=15，即𝑂𝐸=𝐻𝐷=𝑂𝐶=15， ∴在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐻中，𝐶𝐻=√𝑂𝐶2−𝑂𝐻2=√152−122=9． ∴𝐴𝐶=2𝐶𝐻=18．

解析：(1)连接OE，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐷于H，构造矩形OHDE，在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐻中，利用勾股定理得到𝑂𝐶2=𝐶𝐻2+𝑂𝐻2=(𝑂𝐸−𝐶𝐷)2+𝐷𝐸2=(𝑂𝐶−4)2+144，借助于方程求得OC的长度即可； (2)由已知条件和图中线段间的数量关系推知(𝐴𝐻+𝐻𝐷)+(𝐻𝐷−𝐶𝐻)=30，即𝐻𝐷=15，由矩形的性质得到：𝑂𝐸=𝐻𝐷=𝑂𝐶=15，故在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐻中，利用勾股定理求得CH的长度，则𝐴𝐶=2𝐶𝐻． 考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．

25.答案：解：连接CD，

由圆周角定理得，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶， ∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐴， ∵𝐴𝐷是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐶𝐷=90°，

∴△𝐴𝐷𝐶是等腰直角三角形， ∴𝐴𝐶=

解析：连接CD，根据圆周角定理得到∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶，根据等腰三角形的判定定理得到𝐶𝐷=𝐶𝐴，根据等腰直角三角形的性质计算．

本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． √2𝐴𝐷2

=2√2．