三角函数与解三角形高考试题

三角函数与解三角形高考试题精选

一．解答题（共31小题）

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=

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+．

（a2﹣b2﹣c2）．

，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=（1）求tanC的值； （2）若a=

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

+

=

．

，求△ABC的面积．

C．

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．

6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值； （Ⅱ）求cos（2A+

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，b﹣c=2，cosA=

）的值．

8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，（Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=

，b=2，求△ABC的面积．

b）与=（cosA，sinB）平行．

9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为与a的值．

10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=（Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长．

，EA=2，∠ADC=

，∠BEC=

，求cosA

．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若△ABC的面积S=

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，求角A的大小．

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=（1）求tanC的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值．

，b2﹣a2=c2．

13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．

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16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2． （1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积．

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B； （2）若cosB=，求cosC的值．

19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=

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； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=sinA和c的值．

21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

，sin（A+B）=，ac=2，求

22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求

23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=

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； （2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

，求△ABC的面积．

24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ） 求

25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣

26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=（Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积．

27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c． （1）若sin（A+

28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，cosB+cosC=

，求边c的值．

第7页（共26页）

． （Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B．

b，sinB=sinC，

）的值．

，B=A+．

）=2cosA，求A的值． （2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．

29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．

30．在△ABC中，a=3，b=2（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求c的值．

，∠B=2∠A．

a•cosB．

第8页（共26页）

三角函数与解三角形高考试题精选

参与试题解析

一．解答题（共31小题）

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由

；

∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，∴

∴a+b=2c； （Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号； 又a，b＞0； ∴

；

=

；

；

，带入（1）得：

；

得：

+

．

∴由余弦定理，∴cosC的最小值为．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．

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（a2﹣b2﹣c2）．

【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，

又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA， 两式作比得：由

，∴a=2b． ，得

，

由余弦定理，得

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得

；

，代入asinA=4bsinB，得

．

由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角， ∴于是故

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=

，△ABC的面积为

，求△ABC的周长．

． ，

，

．

【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC=， ∴C=

；

（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•， ∴（a+b）2﹣3ab=7， ∵S=absinC=∴ab=6，

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ab=，

∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5，

∴△ABC的周长为5+

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=（1）求tanC的值； （2）若a=

，求△ABC的面积．

C．

．

【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=， ∴sinA=又

=

，

cosC+sinC，

cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

cosC=sinC， ；

得：cosC==

cosC=

，

，

=

整理得：则tanC=

（2）由tanC=∴sinC=∴sinB=

==，

∵a=，∴由正弦定理=得：c===，

则S△ABC=acsinB=×

××=．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB． 【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵∴由正弦定理得：

，

+

=

，

+=．

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∴

∵sin（A+B）=sinC．

=，

∴整理可得：sinAsinB=sinC，

（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=． sinA=，

+tanB=4．

6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．

【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7， 所以BC=

．

，则sinC=

=

=

，

＞2，

==

=1，

=，

（2）由正弦定理可得：∵AB＜BC，BC=

，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，

=

=

．

∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2×

=

．

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值； （Ⅱ）求cos（2A+

）的值．

，b﹣c=2，cosA=

【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=

，

，△ABC的面积为3，可得：

可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，

，解得sinC=

；

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（Ⅱ）cos（2A+

）=cos2Acos﹣sin2Asin==．

8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，（Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=

，b=2，求△ABC的面积．

b）与=（cosA，sinB）平行．

【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，所以asinB﹣所以tanA=（Ⅱ）a=

b）与=（cosA，sinB）平行，

sinBcosA=0，因为sinB≠0，

=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣

，可得A=

；

，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，

=

．

△ABC的面积为：

9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为与a的值．

【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为∴∴sinA=

=，

，

，

，求cosA

又∵sin2A+cos2A=1 ∴cosA=±， 由余弦定理可得a=

10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=（Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长．

，EA=2，∠ADC=

，∠BEC=

．

=2

或2

．

【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，

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在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE， 即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0， 解得CD=2或CD=﹣3，（舍去）， 在△CDE中，由正弦定理得

，

则sinα=即sin∠CED=

．

，

（Ⅱ）由题设知0＜α＜而∠AEB=

，

，由（Ⅰ）知cosα=，

∴cos∠AEB=cos（）=coscosα+sin，

sinα=，

在Rt△EAB中，cos∠AEB=故BE=

．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若△ABC的面积S=

，求角A的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB ∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B） ∵A，B是三角形中的角， ∴B=A﹣B， ∴A=2B；

（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=∴bcsinA=

，

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，

∴2bcsinA=a2，

∴2sinBsinC=sinA=sin2B， ∴sinC=cosB，

∴B+C=90°，或C=B+90°， ∴A=90°或A=45°．

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值． 【解答】解：（1）∵A=又b2﹣a2=c2．∴∴a2=b2﹣

=

，∴由余弦定理可得：

b=c．可得

，

，∴b2﹣a2=

bc﹣c2，

，b2﹣a2=c2．

bc﹣c2=c2．∴，即a=

．

∴cosC===．

∵C∈（0，π）， ∴sinC=∴tanC=或由A=

==2．

，b2﹣a2=c2．

．

可得：sin2B﹣sin2A=sin2C， ∴sin2B﹣=sin2C， ∴﹣cos2B=sin2C， ∴﹣sin∴﹣sin∴sin2C=sin2C， ∴tanC=2．

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=sin2C，

=sin2C，

（2）∵解得c=2∴

． =3．

=×=3，

13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8， ∴c=8﹣（a+b）=，

∴由余弦定理得：cosC===﹣；

（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， ∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC， ∴sinA+sinB=3sinC，

利用正弦定理化简得：a+b=3c， ∵a+b+c=8， ∴a+b=6①，

∵S=absinC=sinC， ∴ab=9②，

联立①②解得：a=b=3．

+sinB•=2sinC，

14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c，

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利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， ∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ∴b2=ac， ∴cosB=

=

≥

=，

当且仅当a=c时等号成立， ∴cosB的最小值为．

15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴a+c=2b，

由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， 则sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ∴b2=ac，

将c=2a代入得：b2=2a2，即b=∴由余弦定理得：cosB=

16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2． （1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积．

【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，

由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①， 在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，

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a， =

=．

由①②得：cosC=， 则C=60°，BD=

；

（2）∵cosC=，cosA=﹣， ∴sinC=sinA=

，

+×3×2×

=2

．

则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1，

∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，

∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB=

；

，

（2）由（1）可知sinB=∵S△ABC=ac•sinB=2， ∴ac=

，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×

×

=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2．

第18页（共26页）

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值． 【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）． ∴A=2B．

（II）解：cosB=，∴sinB=cosA=cos2B=2cos2B﹣1=

，sinA=

=

． =

．

+

×

=

．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=

19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=

；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得∴sinB=cosA，即sinB=sin（又B为钝角，∴∴B=

+A∈（

；

+A）=﹣2A）

﹣2A＞0，

+A） ，π），

==

，

+A，∴B﹣A=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+∴A∈（0，

），∴sinA+sinC=sinA+sin（

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣）2+， ∵A∈（0，

），∴0＜sinA＜，

第19页（共26页）

∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤

，]

∴sinA+sinC的取值范围为（

20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=sinA和c的值．

，sin（A+B）=，ac=2，求

【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=sin（A+B）=所以sinA+

，ac=2cosA=

，所以sinB=

，sinAcosB+cosAsinB=

，

，

①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，

sinA﹣16=0，

（舍去）；

由①可知sin（A+B）=sinC=，所以c=1．

，sinA=

，

由①②解得27sin2A﹣6解得sinA=

或者sinA=﹣

②由正弦定理，所以a=2

c，又ac=2

21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA． ∴=tanA， ∵由正弦定理：∴

=

，

，又tanA=

，

∵sinA≠0，

∴sinB=cosA．得证．

（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA， ∴sin2B=， ∵0＜B＜π，

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∴sinB=，

∵B为钝角， ∴B=

，

，

又∵cosA=sinB=∴A=

，

∴C=π﹣A﹣B=综上，A=C=

， ，B=

．

22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求

；

，求BD和AC的长．

（2）若AD=1，DC=

【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，

∵==2

∴BD=2DC， ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中，在△ADC中，∴

=

==

=．…6分

=

． ，∴sin∠B=，∴sin∠C=

；

（2）由（1）知，BD=2DC=2×

过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM=DN，

第21页（共26页）

∴==2，

∴AB=2AC，

令AC=x，则AB=2x， ∵∠BAD=∠DAC， ∴cos∠BAD=cos∠DAC， ∴由余弦定理可得：∴x=1， ∴AC=1， ∴BD的长为

，AC的长为1．

=

，

23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=

，求△ABC的面积．

【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC， 由正弦定理可得：代入可得（bk）2=2ak•ck， ∴b2=2ac， ∵a=b，∴a=2c，

＞0，

由余弦定理可得：cosB===．

（II）由（I）可得：b2=2ac， ∵B=90°，且a=

，

．

第22页（共26页）

∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=

∴S△ABC=

=1．

24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ） 求

．

（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B． 【解答】解：（Ⅰ）如图， 由正弦定理得：

，

∵AD平分∠BAC，BD=2DC， ∴

；

（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°， ∴

由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C， ∴tan∠B=

，即∠B=30°．

，

25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣

）的值．

sinC，利用正弦定理化简得：b=

c，

b，sinB=

sinC，

【解答】解：（Ⅰ）将sinB=代入a﹣c=∴cosA=（Ⅱ）∵cosA=

b，得：a﹣c=c，即a=2c，

=

=

；

，A为三角形内角，

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∴sinA==，

，

+

×=

．

∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=则cos（2A﹣

）=cos2Acos

+sin2Asin

=﹣×

26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=（Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=∴sinA=∵B=A+

．

）=cosA==×

， =3

． ，

=

，

，

，B=A+．

∴sinB=sin（A+由正弦定理知∴b=

•sinB=

（Ⅱ）∵sinB=∴cosB=﹣

，B=A+=﹣

，

＞

sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴S=a•b•sinC=×3×3

27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c． （1）若sin（A+

）=2cosA，求A的值．

×=

．

×（﹣）+×=，

（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值． 【解答】解：（1）因为所以

sinA=

，

第24页（共26页）

，

，

所以tanA=

所以A=60° （2）由

及a2=b2+c2﹣2bccosA 得a2=b2﹣c2

故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=

28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，cosB+cosC=

，求边c的值．

【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2； 代入3acosA=ccosB+bcosC； 得cosA=； （2）∵cosA= ∴sinA=

sinC ③

cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+又已知 cosB+cosC=cosC+

sinC=

代入 ③

，与cos2C+sin2C=1联立

解得 sinC=已知 a=1

正弦定理：c===

29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．

第25页（共26页）

a•cosB．

【解答】解：（1）∵bsinA=∵sinA≠0，∴sinB=B∈（0，π），

可知：cosB≠0，否则矛盾． ∴tanB=

，∴B=

． cosB，

a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，

（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，

由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB， ∴9=a2+c2﹣ac，

把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=∴

30．在△ABC中，a=3，b=2（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求c的值．

【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，利用正弦定理可得 解得cosA=

．

+c2﹣2×2

×c×

，

，即

=

，∠B=2∠A，

．

，∠B=2∠A．

．

，

（Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=即 c2﹣8c+15=0．

解方程求得 c=5，或 c=3．

当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°， △ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去． 当c=5时，求得cosB=

=，cosA=

=

，

∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件． 综上，c=5．

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