2021-2022学年浙江省绍兴市某校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A.
B. C. D.
2. 若三角形的两条边长分别为6𝑐𝑚和10𝑐𝑚，则它的第三边长不可能为( ) A.5𝑐𝑚
3. 下列语句不是命题的是（ ） A.两直线平行，同位角相等 C.若|𝑎|=|𝑏|，则𝑎2=𝑏2
4. 等腰三角形的两边长分别为6和12，则这个三角形的周长为（ ） A.18
5. 下列式子：其中是不等式的有 （ ）
①3<5；②4𝑥+5>0；③𝑥=3；④𝑥2+𝑥；⑤𝑥≠−4；⑥𝑥+2≥𝑥+1． A.2个
6. 某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（ ）
B.3个
C.4个
D.5个
B.24
C.30
D.24或30
B.作直线𝐴𝐵垂直于直线𝐶𝐷 D.同角的补角相等
B.8𝑐𝑚
C.10𝑐𝑚
D.17𝑐𝑚
A.1
B.2
C.3 D.4
7. 下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点𝑃作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A.①
8. 直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（ ）
试卷第1页，总16页
B.② C.③ D.④
A.5
B.2.5 C.3.5 D.4.5
9. 如图，折叠长方形的一边𝐴𝐷，使点𝐷落在𝐵𝐶边的点𝐹处，已知𝐴𝐵＝8𝑐𝑚，𝐵𝐶＝10𝑐𝑚，则𝐸𝐹＝（ ）
A.4 𝑐𝑚
10. 如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=90∘，连结𝐶𝐸交𝐴𝐷于点𝐹，连结𝐵𝐷交𝐶𝐸于点𝐺，连结𝐵𝐸．下列结论中，正确的结论有（ ） ①𝐶𝐸=𝐵𝐷；
②△𝐴𝐷𝐶是等腰直角三角形； ③∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐵； ④𝑆四边形𝐵𝐶𝐷𝐸=2𝐵𝐷⋅𝐶𝐸；
1
B.3 𝑐𝑚 C.5𝑐𝑚 D.6𝑐𝑚
⑤𝐵𝐶2+𝐷𝐸2=𝐵𝐸2+𝐶𝐷2．A.1个
B.2个
C.3个
二、填空题（每小题3分，共30分）
D.4个
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，∠𝐴=65∘，则∠𝐵=________．
命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________．
一副分别含有30∘和45∘的直角三角板，拼成如图，则∠𝐵𝐹𝐷的度数是________．
试卷第2页，总16页
如图，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷是底边上的高，若𝐴𝐵=5𝑐𝑚，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，则
𝐴𝐷=________𝑐𝑚．
一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为________．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐶𝐷=5，则点𝐷到𝐴𝐵的距离为
________．
如图，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=120，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，线段𝐴𝐵垂直平分线交𝐵𝐶于𝑀，交𝐴𝐵于𝐸，𝐴𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝑁，交𝐴𝐶于点𝐹，则
𝑀𝑁=________．
如图，已知∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷𝐶𝐵，则需添加的一个条件是________可使△𝐴𝐶𝐵≅△𝐷𝐵𝐶．（只写一个即可，不添加辅助线）．
如图，在等边△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶，𝐵𝐶边上各取一点𝑃，𝑄，使𝐴𝑃=𝐶𝑄，𝐴𝑄，𝐵𝑃相交于点𝑂，则∠𝐵𝑂𝑄=________度．
试卷第3页，总16页
如图，直线𝑎，𝑏相交于点𝑂，∠1＝50∘，点𝐴是直线𝑎上的一个定点，点𝐵在直线𝑏上运动，若以点𝑂，𝐴，𝐵为顶点的三角形是等腰三角形，则∠𝑂𝐴𝐵的度数是________．
三、解答题（共50分）
解不等式（组）并把解表示在数轴上 （1）3𝑥+2>14；
（2）
-≤1．
已知，如图，点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，∠𝐵＝∠𝐶，𝐴𝐵＝𝐴𝐶．求证：△𝐴𝐸𝐵≅△𝐴𝐷𝐶．
如图，𝐴𝐵 // 𝐶𝐷，△𝐸𝐹𝐺的顶点𝐹，𝐺分别落在直线𝐴𝐵，𝐶𝐷上，𝐺𝐸交𝐴𝐵于点𝐻，𝐺𝐸平分∠𝐹𝐺𝐷．若∠𝐸𝐹𝐺＝90∘，∠𝐸＝35∘，求∠𝐸𝐹𝐵的度数．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶，𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，𝐷𝐸 // 𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点 𝐸．
（1）求证：𝐷𝐸＝𝐶𝐸．
（2）若∠𝐶𝐷𝐸＝25∘，求∠𝐴的度数．
试卷第4页，总16页
已知：如图，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，𝐵𝐸＝𝐷𝐸，𝐵𝐶＝𝐷𝐴．
（1）求证：△𝐵𝐶𝐸≅△𝐷𝐴𝐸；
（2）判断𝐷𝐹与𝐵𝐶的位置关系，并说明理由．
如图，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐶，且𝐵𝐶＝𝐶𝐷＝4𝑐𝑚，𝐴𝐵＝1𝑐𝑚，点𝑃以每秒0.5𝑐𝑚的速度从点𝐵开始沿射线𝐵𝐶运动，同时点𝑄在线段𝐶𝐷上由点𝐶向终点𝐷运动．设运动时间为𝑡秒．
（1）当𝑡＝2时，𝐵𝑃＝ 1 𝑐𝑚，𝐶𝑃＝ 3 𝑐𝑚．
（2）如图①，当点𝑃与点𝑄经过几秒时，使得△𝐴𝐵𝑃与△𝑃𝐶𝑄全等？此时，点𝑄的速度是多少？
（3）如图②，是否存在点𝑃，使得△𝐴𝐷𝑃是等腰三角形？若存在，请直接写出𝑡的值，若不存在，请说明理由．
试卷第5页，总16页
参与试题解析
2021-2022学年浙江省绍兴市某校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 【答案】 B
【考点】 轴对称图形 【解析】
结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【解答】
𝐴、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 𝐵、是轴对称图形，本选项符合题意； 𝐶、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 𝐷、不是轴对称图形，本选项不符合题意． 2. 【答案】 D
【考点】
三角形三边关系 【解析】
直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【解答】
解：∵ 三角形的两条边长分别为6𝑐𝑚和10𝑐𝑚， ∴ 第三边长的取值范围是：4<𝑥<16， ∴ 它的第三边长不可能为17𝑐𝑚． 故选𝐷． 3. 【答案】 B
【考点】 命题与定理 【解析】
判断一件事情的语句叫做命题． 【解答】
解：𝐴、正确，是定理；
𝐵、错误，作直线𝐴𝐵垂直于直线𝐶𝐷是描述了一种作图的过程，故不是命题； 𝐶、正确，是判断语句； 𝐷、正确，是判断语句． 故选𝐵． 4. 【答案】 C
试卷第6页，总16页
【考点】
等腰三角形的判定与性质 三角形三边关系 【解析】
题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【解答】
解：(1)当三边是6，6，12时，6+6=12，不符合三角形的三边关系，应舍去； (2)当三边是6，12，12时，符合三角形的三边关系，此时周长是30； 所以这个三角形的周长是30． 故选：𝐶． 5. 【答案】 C
【考点】 不等式的定义 【解析】
根据不等式的概念：用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可． 【解答】
解：①3<5；②4𝑥+5>0；⑤𝑥≠−4；⑥𝑥+2≥𝑥+1是不等式， ∴ 共4个不等式． 故选𝐶． 6. 【答案】 B
【考点】
全等三角形的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 7. 【答案】 C
【考点】
作图—基本作图 【解析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点𝑃作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【解答】
①作一个角等于已知角的方法正确； ②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误； ④过直线外一点𝑃作已知直线的垂线的作法正确．
试卷第7页，总16页
8. 【答案】 B
【考点】
直角三角形斜边上的中线 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9. 【答案】 C
【考点】
翻折变换（折叠问题） 矩形的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 10. 【答案】 C
【考点】 三角形综合题 【解析】
根据等腰直角三角形的性质可得𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，然后求出∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，再利用“边角边”证明△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸全等，根据全等三角形对应边相等可得𝐶𝐸=𝐵𝐷，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，从而求出∠𝐵𝐶𝐺+∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐶=90∘，再求出∠𝐵𝐺𝐶=90∘，从而得到𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出𝐵𝐶2+𝐷𝐸2，𝐵𝐸2+𝐶𝐷2，得到⑤正确；再求出
𝐴𝐸 // 𝐶𝐷时，∠𝐴𝐷𝐶=90∘，判断出②错误；∠𝐴𝐸𝐶与∠𝐵𝐴𝐸不一定相等判断出③错误． 【解答】
解：∵ ，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，
∵ ∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷=90∘+∠𝐶𝐴𝐷， ∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=90∘+∠𝐶𝐴𝐷， ∴ ∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，
𝐴𝐵=𝐴𝐶
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，
𝐴𝐷=𝐴𝐸
∴ △𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝐶𝐸=𝐵𝐷，故①正确； ∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，
∴ ∠𝐵𝐶𝐺+∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐶=90∘，
在△𝐵𝐶𝐺中，∠𝐵𝐺𝐶=180∘−(∠𝐵𝐶𝐺+∠𝐶𝐵𝐺)=180∘−90∘=90∘，
试卷第8页，总16页
∴ 𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，
∴ 𝑆四边形𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐵𝐷⋅𝐶𝐸，故④正确；
21
由勾股定理，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐺中，𝐵𝐶2=𝐵𝐺2+𝐶𝐺2， 在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐺中，𝐷𝐸2=𝐷𝐺2+𝐸𝐺2，
∴ 𝐵𝐶2+𝐷𝐸2=𝐵𝐺2+𝐶𝐺2+𝐷𝐺2+𝐸𝐺2， 在𝑅𝑡△𝐵𝐺𝐸中，𝐵𝐸2=𝐵𝐺2+𝐸𝐺2， 在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐺中，𝐶𝐷2=𝐶𝐺2+𝐷𝐺2，
∴ 𝐵𝐸2+𝐶𝐷2=𝐵𝐺2+𝐶𝐺2+𝐷𝐺2+𝐸𝐺2， ∴ 𝐵𝐶2+𝐷𝐸2=𝐵𝐸2+𝐶𝐷2，故⑤正确； 只有𝐴𝐸 // 𝐶𝐷时，∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐷𝐶𝐸， ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐵𝐷𝐶=90∘， 无法说明𝐴𝐸 // 𝐶𝐷，故②错误； ∵ △𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸， ∴ ∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶，
∵ ∠𝐴𝐸𝐶与∠𝐴𝐸𝐵相等无法证明，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐵不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①④⑤共3个． 故选𝐶
二、填空题（每小题3分，共30分） 【答案】 25∘
【考点】
直角三角形的性质 【解析】
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】
解：∵ ∠𝐶=90∘，∠𝐴=65∘， ∴ ∠𝐵=90∘−65∘=25∘． 故答案为：25∘． 【答案】
两个角相等的三角形是等腰三角形 【考点】 命题与定理 【解析】
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．
故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形. 【答案】 15∘
【考点】
三角形的外角性质
试卷第9页，总16页
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 4 【考点】 勾股定理 【解析】
先根据等腰三角形的性质求出𝐵𝐷的长，再根据勾股定理解答即可． 【解答】
解：根据等腰三角形的三线合一可得：𝐵𝐷=2𝐵𝐶=2×6=3𝑐𝑚，在直角△𝐴𝐵𝐷中， 由勾股定理得：𝐴𝐵2=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2，
所以，𝐴𝐷=√𝐴𝐵2−𝐵𝐷2=√52−32=4𝑐𝑚． 故答案为：4． 【答案】 13或√119 【考点】 勾股定理 【解析】
只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可求得第三边． 【解答】
①12和5均为直角边，则第三边为√122+52=13． ②12为斜边，5为直角边，则第三边为√122−52=√119． 【答案】 5
【考点】
角平分线的性质 【解析】
直接根据角平分线的性质定理即可得出结论． 【解答】
解：过𝐷点作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，则𝐷𝐸即为所求， ∵ ∠𝐶=90∘，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，
∴ 𝐶𝐷=𝐷𝐸（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵ 𝐶𝐷=5，
1
1
试卷第10页，总16页
∴ 𝐷𝐸=5．
故答案为：5．【答案】 2𝑐𝑚
【考点】
等腰三角形的判定与性质 线段垂直平分线的性质 【解析】
作辅助线，构建等腰三角形𝐴𝐵𝑀和直角三角形𝐴𝑀𝐶，由等腰△𝐴𝐵𝐶和∠𝐴=120得两底角为30∘，再由垂直平分线的性质得𝐴𝑀=𝐵𝑀，从而依次求得∠𝑀𝐴𝐵=30∘和∠𝑀𝐴𝐶=90∘，根据30∘所对的直角边是斜边的一半及中位线定理的推论得𝐴𝑀=𝐵𝑀=𝑀𝑁=𝑁𝐶，则可知所求的𝑀𝑁=3𝐵𝐶，代入得结论． 【解答】
解：如图，连接𝐴𝑀， ∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴ ∠𝐵=∠𝐶， ∵ ∠𝐵𝐴𝐶=120∘， ∴ ∠𝐵=∠𝐶=30∘，
∵ 𝑀𝐸是线段𝐴𝐵的垂直平分线， ∴ 𝐴𝑀=𝐵𝑀，
∴ ∠𝑀𝐴𝐵=∠𝐵=30∘，
∴ ∠𝑀𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝑀𝐴𝐵=120∘−30∘=90∘， 在𝑅𝑡△𝑀𝐴𝐶中，∠𝐶=30∘， ∴ 𝑀𝐶=2𝐴𝑀，
∵ 𝐹𝑁是𝐴𝐶的垂直平分线， ∴ ∠𝑁𝐹𝐶=90∘，𝐴𝐹=𝐹𝐶， ∴ ∠𝑁𝐹𝐶=∠𝑀𝐴𝐶=90∘， ∴ 𝐴𝑀 // 𝐹𝑁， ∴ 𝑀𝑁=𝑁𝐶=𝑀𝐶，
21
1
∴ 𝐴𝑀=𝐵𝑀=𝑀𝑁=𝑁𝐶， ∴ 𝑀𝑁=𝐵𝐶，
31
∵ 𝐵𝐶=6𝑐𝑚，
∴ 𝑀𝑁=2𝑐𝑚．【答案】
试卷第11页，总16页
𝐴𝐵＝𝐷𝐶或∠𝐴𝐶𝐵𝐶＝∠𝐷𝐵𝐶或∠𝐴＝∠𝐷 【考点】
全等三角形的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 60
【考点】
全等三角形的性质与判定 等边三角形的性质 【解析】
根据全等三角形的判定定理𝑆𝐴𝑆证得△𝐴𝐵𝑃≅△𝐶𝐴𝑄，则对应角∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐴𝑄，所以由三角形外角的性质求得∠𝐵𝑂𝑄=∠𝐵𝐴𝑂+∠𝑂𝐴𝑃=∠𝐵𝐴𝑃=60∘． 【解答】
解：在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶=60∘． ∵ 在△𝐴𝐵𝑃与△𝐶𝐴𝑄中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶，{∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶， 𝐴𝑃=𝐶𝑄，∴ △𝐴𝐵𝑃≅△𝐶𝐴𝑄(𝑆𝐴𝑆)， ∴ ∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐴𝑄．
∵ ∠𝐵𝑂𝑄=∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐴𝐵𝑃，
∴ ∠𝐵𝑂𝑄=∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐶𝐴𝑄=∠𝐵𝐴𝐶=60∘． 故答案为：60． 【答案】
50∘或65∘或80∘或25∘ 【考点】
等腰三角形的判定 【解析】
根据△𝑂𝐴𝐵为等腰三角形，分三种情况讨论：①当𝑂𝐵＝𝐴𝐵时，②当𝑂𝐴＝𝐴𝐵时，③当𝑂𝐴＝𝑂𝐵时，分别求得符合的点𝐵，即可得解． 【解答】
要使△𝑂𝐴𝐵为等腰三角形分三种情况讨论： ①当𝑂𝐵1＝𝐴𝐵1时，∠𝑂𝐴𝐵＝∠1＝50∘；
②当𝑂𝐴＝𝐴𝐵2时，∠𝑂𝐴𝐵＝180∘−2×50∘＝80∘； ③当𝑂𝐴＝𝑂𝐵3时，∠𝑂𝐴𝐵＝∠𝑂𝐵𝐴=2(180∘−50∘)＝65∘； 当𝑂𝐴＝𝑂𝐵4时，∠𝑂𝐴𝐵＝∠𝑂𝐵𝐴=2∠1＝25∘； 综上所述，∠𝑂𝐴𝐵的度数是50∘或65∘或80∘或25∘， 三、解答题（共50分） 【答案】
11
试卷第12页，总16页
3𝑥+2>14， 2𝑥>14−2， 3𝑥>12， 𝑥>4，
表示在数轴上为：
两边同时乘6得：3(7+𝑥)−2(2𝑥+3)≤6， 去括号得：3+6𝑥−4𝑥−2≤8， 移项，合并同类项得−𝑥≤5， 解得𝑥≥−5， 表示在数轴上为：
．
【考点】
解一元一次不等式
在数轴上表示不等式的解集 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
证明：在△𝐴𝐸𝐵和△𝐴𝐷𝐶中，
，
∴ △𝐴𝐸𝐵≅△𝐴𝐷𝐶(𝐴𝑆𝐴)． 【考点】
全等三角形的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
∵ ∠𝐸𝐹𝐺＝90∘，∠𝐸＝35∘， ∴ ∠𝐹𝐺𝐻＝55∘，
∵ 𝐺𝐸平分∠𝐹𝐺𝐷，𝐴𝐵 // 𝐶𝐷， ∴ ∠𝐹𝐻𝐺＝∠𝐻𝐺𝐷＝∠𝐹𝐺𝐻＝55∘， ∵ ∠𝐹𝐻𝐺是△𝐸𝐹𝐻的外角， ∴ ∠𝐸𝐹𝐵＝55∘−35∘＝20∘． 【考点】 平行线的性质
试卷第13页，总16页
【解析】
依据三角形内角和定理可得∠𝐹𝐺𝐻＝55∘，再根据𝐺𝐸平分∠𝐹𝐺𝐷，𝐴𝐵 // 𝐶𝐷，即可得到∠𝐹𝐻𝐺＝∠𝐻𝐺𝐷＝∠𝐹𝐺𝐻＝55∘，再根据∠𝐹𝐻𝐺是△𝐸𝐹𝐻的外角，即可得出∠𝐸𝐹𝐵＝55∘−35∘＝20∘． 【解答】
∵ ∠𝐸𝐹𝐺＝90∘，∠𝐸＝35∘， ∴ ∠𝐹𝐺𝐻＝55∘，
∵ 𝐺𝐸平分∠𝐹𝐺𝐷，𝐴𝐵 // 𝐶𝐷， ∴ ∠𝐹𝐻𝐺＝∠𝐻𝐺𝐷＝∠𝐹𝐺𝐻＝55∘， ∵ ∠𝐹𝐻𝐺是△𝐸𝐹𝐻的外角， ∴ ∠𝐸𝐹𝐵＝55∘−35∘＝20∘． 【答案】
证明：∵ 𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵， ∴ ∠𝐵𝐶𝐷＝∠𝐸𝐶𝐷， ∵ 𝐷𝐸 // 𝐵𝐶，
∴ ∠𝐸𝐷𝐶＝∠𝐵𝐶𝐷， ∴ ∠𝐸𝐷𝐶＝∠𝐸𝐶𝐷， ∴ 𝐷𝐸＝𝐶𝐸．
∵ ∠𝐸𝐶𝐷＝∠𝐸𝐷𝐶＝25∘， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵＝2∠𝐸𝐶𝐷＝50∘， ∵ 𝐴𝐵＝𝐴𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐶𝐵＝50∘，
∴ ∠𝐴＝180∘−50∘−50∘＝80∘． 【考点】 平行线的性质
等腰三角形的判定与性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
∵ 𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，
∴ ∠𝐵𝐸𝐶＝∠𝐷𝐸𝐴＝90∘， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸与𝑅𝑡△𝐷𝐴𝐸中，
，
∴ 𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸≅𝑅𝑡△𝐷𝐴𝐸(𝐻𝐿)；
𝐷𝐹⊥𝐵𝐶．
理由如下：∵ 由（1）知，△𝐵𝐶𝐸≅△𝐷𝐴𝐸， ∴ ∠𝐵＝∠𝐷．
∵ ∠𝐷+∠𝐷𝐴𝐸＝90∘，∠𝐷𝐴𝐸＝∠𝐵𝐴𝐹， ∴ ∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐵＝90∘， ∴ ∠𝐵𝐹𝐴＝90∘， 即𝐷𝐹⊥𝐵𝐶．
试卷第14页，总16页
【考点】
全等三角形的性质与判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
𝑡＝2时，𝐵𝑃＝0.5×2＝1𝑐𝑚， ∵ 𝐵𝐶＝4𝑐𝑚，
∴ 𝑃𝐶＝𝐵𝐶−𝐵𝑃＝4−1＝3𝑐𝑚， 故答案为1，3．
①如图②中．当𝐵𝑃＝𝑃𝐶＝2𝑐𝑚，𝐴𝐵＝𝐶𝑄＝1𝑐𝑚时，
∵ ∠𝐴𝐵𝑃＝∠𝑃𝐶𝑄＝90∘， ∴ △𝐴𝐵𝑃≅△𝑄𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝑡=2
0.5=4𝑠， ∴ 𝑉𝑄=14=0.25𝑐𝑚/𝑠．
②当𝐴𝐵＝𝐶𝑃＝1𝑐𝑚，𝐶𝑄＝𝐵𝑃＝3𝑐𝑚，则△𝐴𝐵𝑃≅△𝑃𝐶𝑄(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝑡=
30.5
=6，𝑉𝑄=3=1
6
2
𝑐𝑚/𝑠．
如图②中，作𝐴𝐻⊥𝐶𝐷于𝐻．
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐻中，∵ 𝐴𝐻＝𝐵𝐶＝4，𝐷𝐻＝𝐶𝐷−𝐶𝐻＝𝐶𝐷−𝐴𝐵＝3， ∴ 𝐴𝐷=√𝐴𝐻2+𝐷𝐻2=5，
∵ 𝑃𝐴=√𝐴𝐵2+𝐵𝑃2=√1+1
1
4𝑡2，𝐷𝑃=√𝐶𝐷2+𝑃𝐶2=√16+(4−2𝑡)2，①当𝐴𝐷＝𝑃𝐷时，√16+(4−12𝑡)2=5，解得𝑡＝2或14（舍弃），
②当𝐴𝐷＝𝐴𝑃时，√1+1
4𝑡2=5，解得𝑡＝4√6或−4√6（都不符合题意舍弃）．③当𝑃𝐴＝𝑃𝐷时，√1+1
4𝑡2=√16+(4−1
2𝑡)2， 解得𝑡=
314
，
综上所述，满足条件的𝑡的值为2或31
4． 【考点】
试卷第15页，总16页
三角形综合题 【解析】
（1）根据路程与速度的关系解决问题即可．
（2）分两种情形：①△𝐴𝐵𝑃≅△𝑄𝐶𝑃，②△𝐴𝐵𝑃≅△𝑃𝐶𝑄，分别构建方程解决问题即可．
（3）分三种情形：①𝐴𝐷＝𝐷𝑃．②𝐴𝐷＝𝐴𝑃．③𝑃𝐴＝𝑃𝐷，分别构建方程即可解决问题． 【解答】
𝑡＝2时，𝐵𝑃＝0.5×2＝1𝑐𝑚， ∵ 𝐵𝐶＝4𝑐𝑚，
∴ 𝑃𝐶＝𝐵𝐶−𝐵𝑃＝4−1＝3𝑐𝑚， 故答案为1，3．
①如图②中．当𝐵𝑃＝𝑃𝐶＝2𝑐𝑚，𝐴𝐵＝𝐶𝑄＝1𝑐𝑚时，
∵ ∠𝐴𝐵𝑃＝∠𝑃𝐶𝑄＝90∘， ∴ △𝐴𝐵𝑃≅△𝑄𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝑡=2
0.5=4𝑠， ∴ 𝑉𝑄=14=0.25𝑐𝑚/𝑠．
②当𝐴𝐵＝𝐶𝑃＝1𝑐𝑚，𝐶𝑄＝𝐵𝑃＝3𝑐𝑚，则△𝐴𝐵𝑃≅△𝑃𝐶𝑄(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝑡=3
3
1
0.5=6，𝑉𝑄=6=2𝑐𝑚/𝑠．
如图②中，作𝐴𝐻⊥𝐶𝐷于𝐻．
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐻中，∵ 𝐴𝐻＝𝐵𝐶＝4，𝐷𝐻＝𝐶𝐷−𝐶𝐻＝𝐶𝐷−𝐴𝐵＝3， ∴ 𝐴𝐷=√𝐴𝐻2+𝐷𝐻2=5，
∵ 𝑃𝐴=√𝐴𝐵2+𝐵𝑃2=√1+1
1
4
𝑡2，𝐷𝑃=√𝐶𝐷2+𝑃𝐶2=√16+(4−2
𝑡)2，①当𝐴𝐷＝𝑃𝐷时，√16+(4−1
2
𝑡)2=5，解得𝑡＝2或14（舍弃），
②当𝐴𝐷＝𝐴𝑃时，√1+1
4𝑡2=5，解得𝑡＝4√6或−4√6（都不符合题意舍弃）．③当𝑃𝐴＝𝑃𝐷时，√1+1
1
4𝑡2=√16+(4−2𝑡)2， 解得𝑡=
314
，
综上所述，满足条件的𝑡的值为2或31
4．
试卷第16页，总16页
