高考数学 三角函数与解三角形(解析版)

《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》

三角函数与解三角形

1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.对三角恒等变换的考查，五年一考，对三角恒等变换与三角函数图象和性质的综合考查，五年五考，渐渐稳定为解答题，难度为中等.

2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．对解三角形的考查，做到了五年五考，近三年为填空题，且设计两空.

一．选择题

1．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】将函数f(x)2sin(2x6)2向左平移个单位后得函

62g(x)g(x)数，则在0,上的取值范围是（ ）

3A．[2,2]

2．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知

，

，则

B．[3,4]

C．[0,3]

D．[0,4]

A． B．

C． D．

3．【浙江省金华十校2019届高三上期末】把函数的图象向左平移个单位，

1

得到函数的图象，则m的最小值是

A．

B． C． D．

二.填空题

4．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，请计算该圆直径的最大值为________步.

5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为a，b，有正切值为_ __ ．

，则a＋b＝__，其中直角三角形的较小的锐角 的

6．【浙江省宁波市2019届高三上期末】将函数

的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，

再向左平移个单位长度得到的图像，则_____；若函数在区间上单调递增，

则实数的取值范围是_ __.

7．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，

c.若a2c2b22ac，则B________；若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为

________.

2

8．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．

9．【浙江省台州市2019届高三4月调研】在

中，

是

边上的中线，∠ABD＝.（1）若

，

则∠CAD＝______；（2）若

，则的面积为______.

10.【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】在中，角，和所对的边长为，和，面

积为

，且为钝角，则__；的取值范围是___．

11．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】在锐角中，内角所对的边分别是，，

，则

__________．的取值范围是__________．

12. 【浙江省2019届高考模拟卷（二)】在中，角的对边分别为，，，，

则

____，___．

13. 【浙江省2019届高考模拟卷（三)】在知

，

，

，则

__________；

中，角所对的边，点为边上的中点，已

__________．

14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】在中，内角，，所对的边分别

为，，.已知

，则的值为__________，若，，则的面积等于_________.

15．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】己知函数

3

是由向

左平移

个单位得到的，则__________．

16.【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】在中，角，则

所对的边分别为的面积为______．

，

，，且外接圆半径为，则______，若

17.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末联考】在

，

，则

__，

面积的最大值为___.

中，内角所对的边分别是.若

18．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】在ABC中，A，B，C内角所对的边分别为a，b，

c，已知b2且ccosBbcosC4asinBsinC，则c的最小值为_____．

三.解答题

19．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知函数

（Ⅰ）求函数的单调增区间；

（Ⅱ）若，，求的值.

【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）.

20．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知函数（Ｉ）求

的单调递增区间；

，.

（Ⅱ）若关于的方程

在上有解，求实数的取值范围.

4

21．【浙江省宁波市2019届高三上期末】如图所示，已知

是半径为1，圆心角为的扇形，是坐标

原点，落在轴非负半轴上，点在第一象限，是扇形弧上的一点，是扇形的内接矩形.

（1）当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，求点的纵坐标； （2）当在扇形弧上运动时，求矩形

22．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】如图，在单位圆上，AOB＝(

)， BOC

面积的最大值.

＝ ，且△AOC的面积等于．

（ I）求 sin 的值； （ II）求 2cos(

5

)sin)

23．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数（Ⅰ）求函数

的单调递减区间；

.

（Ⅱ）求方程

在区间内的所有实根之和.

24．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知函数．

Ⅰ求的值；

Ⅱ已知锐角

，，，，求边长a．

6

25．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】如图，在中，已知点在边上，，

，，．

（1）求（2）求

的值； 的长.

26．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知函数f(x)sin(x)0,0小正周期为，且cos2cos0. （1）求和f()的值；

的最223（2）若f()(0)，求sin．

25

27.【浙江省台州市2019届高三上期末】已知函数

．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若范围．

7

，且，求的取值

28.【浙江省2019届高考模拟卷（一)】已知函数f(x)sin（1）求该函数图象的对称轴；

xxxcos3cos2. 333（2）在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b2ac,求f(B)的取值范围.

29.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知函数

.

（1）已知角的顶点和原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值；

（2）若

，，求的值.

30.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知函数.

（1）求函数在上的值域；

（2）若，求.

8

答 案

《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》

三角函数与解三角形

1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.对三角恒等变换的考查，五年一考，对三角恒等变换与三角函数图象和性质的综合考查，五年五考，渐渐稳定为解答题，难度为中等.

2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．对解三角形的考查，做到了五年五考，近三年为填空题，且设计两空.

一．选择题

1．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】将函数f(x)2sin(2x数g(x)，则g(x)在0,A．[2,2] 【答案】D 【解析】

因为函数f(x)2sin(2x6)2向左平移个单位后得函

62上的取值范围是（ ） 3B．[3,4]

C．[0,3]

D．[0,4]

6)2向左平移个单位后得函数g(x)，所以

6g(x)2sin[2(x)]22sin(2x)2，

66632Qx0,(2x)[,]sin(2x)[1,1]g(x)[0,4]，故本题选D.

662639

2．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知，，则

A． B．【答案】D 【解析】 已知

C． D．

，，，，

则故选：D．

，

3．【浙江省金华十校2019届高三上期末】把函数的图象向左平移个单位，

得到函数的图象，则m的最小值是

A． B． C． D．

【答案】B 【解析】 把函数

的图象向左平移

个单位，

得到，

，

由，得，

，

10

当时，m最小，此时，

故选：B． 二.填空题

4．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，请计算该圆直径的最大值为________步. 【答案】6 【解析】 如图所示：ABAC2BC217，设三角形ABC内切圆的半径为r步，

SABCSABOSAOCSOBC，由圆的切线性质可知：过圆切点的半径垂直过该切点的切线，所以有

1111815BCACABrACrCBrr=3，所以该圆直径的最大值为6步. 222215+8+175．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为a，b，有正切值为_ __ ．

，则a＋b＝__，其中直角三角形的较小的锐角 的

【答案】7 【解析】

11

由得到，又a，b均为正数，所以a＋b＝7，不妨设

a故答案为7，.

6．【浙江省宁波市2019届高三上期末】将函数的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，

再向左平移个单位长度得到的图像，则_____；若函数在区间上单调递增，

则实数的取值范围是_ __.

【答案】【解析】 将函数

的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得的图象；再向左平移

个单位长度得到的图象．

若函数在区间上单调递增，

则，求得，则实数的取值范围是，

故答案为，．

7．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，

c.若a2c2b22ac，则B________；若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为

________. 【答案】

； 8. 412

【解析】

由余弦定理可知：b2a2c22accosB，而a2c2b22ac，所以有

cosB2QB(0,)B. 24QsinA2sinBsinCsin(BC)2sinBsinC所以有

sinBcosCcosBsinC2sinBsinCtanBtanC2tanBtanC，

因为tanAtan(BC)tanBtanC，所以tanAtanBtanCtanAtanBtanC，

1tanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC…22tanAtanBtanC，tanAtanBtanCx0，

8或x„0（舍去），即tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当x22x，解得x…tanA4,tanBtanC4,tanBtanC2，

即tanB22,tanC22,tanA4，或tanC22,tanB22,tanA4,此时角A，

B，C为锐角，所以tanAtanBtanC的最小值为8.

8．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____． 【答案】 【解析】

∵AB＝6，AD＝5，BD＝3， 在△ABD中，余弦定理cosB，

∴sinB．

正弦定理：，

可得：AC．

故答案为：，．

13

9．【浙江省台州市2019届高三4月调研】在中，是边上的中线，∠ABD＝.（1）若，

则∠CAD＝______；（2）若，则的面积为______.

【答案】 【解析】

（1）在三角形ABD中，由余弦定理得

所以

，所以

，

所以，

又为中点，所以，

所以三角形ADC为等边三角形， 所以

；

（2），所以，设，

14

在△ABD中，，即，

又在△ABC中，，即，

联立两式解得，

所以，

解得，

10.【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】在

中，角，和所对的边长为，和，面

积为，且为钝角，则__；的取值范围是___．

【答案】 【解析】 因为

，

所以

即，

因为为钝角，所以，

由正弦定理知

因为为钝角，

15

所以,即

所以

所以，即的取值范围是.

11．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】在锐角中，内角所对的边分别是，，

，则__________．的取值范围是__________．

【答案】【解析】

由正弦定理，可得，则.

由，可得， ，

所以.

由是锐角三角形，可得，，则，

所以，.

所以.

12. 【浙江省2019届高考模拟卷（二)】在中，角的对边分别为，，，，

则____，___．

【答案】【解析】

16

∵，

∴为锐角，且，

∴．

由正弦定理得，

∴．

故答案为，．

13. 【浙江省2019届高考模拟卷（三)】在知

，

，

，则

__________；

中，角所对的边，点为边上的中点，已

__________．

【答案】 【解析】 在

中，

=，同理可得-，

又=(+)，平方得=，

所以，

故答案为(1). (2).

14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】在中，内角，，所对的边分别

为，，.已知，则的值为__________，若，，则的面积等于_________.

17

【答案】【解析】 因为

16

，所以，因此

因为，所以

因为()=,所以的面积等于

15．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】己知函数左平移

个单位得到的，则

__________．

是由向

【答案】【解析】 函数

是由向左平移个单位得到的，

，

故答案为：．

16.【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】在中，角，则

所对的边分别为的面积为______．

，，，且外接圆半径为，则______，若

【答案】3 【解析】

，且

外接圆半径为，

由正弦定理，

18

可得

，

由余弦定理可得：

，

，

，解得：

，

．

故答案为：3，．

17.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末联考】在

，

，则

__，

面积的最大值为___.

中，内角所对的边分别是.若

【答案】1 【解析】 因为

，所以由正弦定理可得

，所以

;

所以，当，即时，三角形面积最大.

故答案为(1). 1 (2).

18．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】在ABC中，A，B，C内角所对的边分别为a，b，

c，已知b2且ccosBbcosC4asinBsinC，则c的最小值为_____．

【答案】

1 2【解析】

∵ccosBbcosC4asinBsinC，

∴sinCcosBsinBcosC4sinAsinBsinC， ∴sin(BC)sinA4sinAsinBsinC，∵sinA0， ∴sinBsinC11，∴sinC， 44sinB19

bcsinC8sin2C， ，即c2sinBsinCsinB111当sinB1时，sinCmin.当sinC时，则c的最小值为．

4421故答案为：.

2由正弦定理可得三.解答题

19．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知函数

（Ⅰ）求函数的单调增区间；

（Ⅱ）若，，求的值.

【答案】（Ⅰ）【解析】 （Ⅰ）

；（Ⅱ）.

，

由，得

函数的单调增区间是().

（Ⅱ）由 ，得，

因为，所以，

所以，

所以

20

20．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知函数（Ｉ）求

的单调递增区间；

，.

（Ⅱ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.

【答案】（Ｉ）【解析】 （Ｉ）因为

；（Ⅱ）.

由，得

所以的单调增区间为

（Ⅱ）因为，所以，

所以

因为方程在上有解，所以

21．【浙江省宁波市2019届高三上期末】如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是坐标

原点，落在轴非负半轴上，点在第一象限，是扇形弧上的一点，是扇形的内接矩形.

（1）当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，求点的纵坐标； （2）当在扇形弧上运动时，求矩形

面积的最大值.

21

【答案】（1）（2）【解析】

（1）根据题意：当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，所以，

的纵坐标为；

（2）设，矩形的面积设为，

则.

，

.

，当且仅当取得最大值.

22．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】如图，在单位圆上，AOB＝()， BOC

＝ ，且△AOC的面积等于．

（ I）求 sin 的值；

22

（ II）求 2cos()sin)

【答案】(1) sin【解析】 （I）

(2)

，

∴，

∴，

=

（II）∵=，

∴==.

23．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数（Ⅰ）求函数

的单调递减区间；

.

（Ⅱ）求方程在区间内的所有实根之和.

【答案】（Ⅰ）【解析】 （Ⅰ）

，.（Ⅱ）.

，

23

由单调递减可知，递增，

故，，即.

∴函数的单调递增区间是，.

（Ⅱ）由，得.

由在上递增，在上递减，且，

得，方程在上有两不等实根，，且满足.

∴.

24．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知函数．

Ⅰ求的值；

Ⅱ已知锐角，，，，求边长a．

【答案】Ⅰ0；Ⅱ【解析】

，

Ⅰ，

Ⅱ由，可得：，

由，可得

24

可得：，可得：，

由于：，，

可得：，，

可得：，

可得：．

中，已知点在边

上，

，

25．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】如图，在

，，．

（1）求（2）求

的值； 的长.

【答案】（1）（2） 【解析】 （1）在

中，

，

，

所以．

同理可得，．

所以

25

．

（2）在中，由正弦定理得，．

又，所以．

在中，由余弦定理得，

．

26．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知函数f(x)sin(x)0,0小正周期为，且cos2cos0. （1）求和f()的值；

的最223（2）若f()(0)，求sin．

25【答案】（1）2，【解析】

3433；（2） 2102πf(x)sin(x)0,0π，∴2． （1）∵函数 的最小正周期为

22再根据cos2cos2cos1cos0，∴cos1（舍去），或cos1， 2∴3，故f(x)sin(2x3)，

故f()sin(32)3. 2)（2）∵f()sin(3233，∴为钝角， 25226

故cos(4)1sin2()， 335故sinasina3143343sincoscos. sin333333525210．

27.【浙江省台州市2019届高三上期末】已知函数

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若范围．

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为【解析】 （Ⅰ）

，

Z. （Ⅱ）

，且，求的取值

.

所以，解得，.

所以函数的单调递增区间为，.

（Ⅱ）因为，所以.所以.

又因为而又因为

，所以，所以

，即，所以

，即

. ．

.

28.【浙江省2019届高考模拟卷（一)】已知函数f(x)sin（1）求该函数图象的对称轴；

xxxcos3cos2. 3332（2）在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bac,求f(B)的取值范围.

27

【答案】（1）x(【解析】

33k1]. （2）(3,1),kz；

224（1）f(x)1sin2x3(1cos2x)1sin2x3cos2x3sin(2x)3

2323232323322x2x3k1)1即k(kz)得x(),kz 33332243k1即对称轴为x(),kz 6分

24由sin(（2）由已知b2ac，

a2c2b2a2c2ac2acac1cosB，2ac2ac2ac212B5cosB1，0B，23333932Bsin()1，2333sin(

2B33)1，3322即f(B)的值域为(3,13]. 14分 2.

29.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知函数

（1）已知角的顶点和原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）【解析】

（1）∵角的终边过点

(2)

，

∴．

∴．

28

（2）∵，

∴，

∴．

又，

∴，

∴，

∴.

30.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知函数.

（1）求函数在上的值域；

（2）若，求.

【答案】（1）【解析】 （1）因为x

（2）

,

∴，

当时，最大为，

29

当时，最小为1，

所以在的值域为；

（2）因为即，

所以.

∴.

，

30