2020-2021学年宁波市北仑区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.

已知5𝑎=4𝑏(𝑏≠0)，则

𝑎−𝑏𝑏1

的值为( )

A. 4

2.

1

B. −4 C. 5

1

D. −5

1

正三角形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是( )

A. 30°

3.

B. 60° C. 90° D. 120°

下列成语描述的事件为随机事件的是( )

A. 缘木求鱼

4.

B. 水落石出 C. 瓮中捉鳖 D. 守株待兔

一个正多边形的每个外角都是72°，这个正多边形的边数是( )

A. 9

5.

B. 10

3

C. 6 D. 5

如图，已知直线𝑦=4𝑥−6与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴、𝐵两点，𝑃是𝑃𝐵.则△𝑃𝐴𝐵以𝐶(0,1)为圆心、半径为1的圆上的一动点，连结𝑃𝐴、面积的最大值是( )．

A. 21 B. 33 C. 2 D. 42

6.

如图，𝐴(12,0)，𝐵(0,9)分别是平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦坐标轴上的点，经过点𝑂且与𝐴𝐵相切的动圆与𝑥轴、𝑦轴分别相交与点𝑃、𝑄，则线段𝑃𝑄长度的最小值是( )

21

A. 6√2

7.

B. 10 C. 7.2 D. 6√3

抛物线𝑦=𝑥2先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，则新的抛物线解析式是( )

A. 𝑦=(𝑥−5)2+3 C. 𝑦=(𝑥−5)2−3

8.

B. 𝑦=(𝑥+5)2−3 D. 𝑦=(𝑥+5)2+3

如图，点𝐴、𝐵、𝐶在⊙𝑂上，∠𝐴𝑂𝐵=30°，则∠𝐴𝐶𝐵的度数是( )

A. 10° B. 15° C. 40° D. 70°

9.

𝑏、𝑐为常数)上部分点的横坐标𝑥，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0,𝑎、纵坐标𝑦的对应值如下表：

𝑥 𝑦 …… …… −3 5 2−2 4 −1 9 20 4 1 𝑚 5

2 0 …… …… 则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线𝑥=−1；②𝑚=2；③当−4<𝑥<2时，𝑦<0；④方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−4=0的两根分别是𝑥1=−2，𝑥2=0，其中正确的个数有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10. 已知点𝐴(−1,1)及点𝐵(2,3)，𝑃是𝑥轴上一动点，连接𝑃𝐴，𝑃𝐵，则𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值是( )

A. √13

B. 3√2 C. 5 D. 4

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶是直角，𝐴𝐵=12𝑐𝑚，∠𝐴𝐵𝐶=11. 如图，

60°，将△𝐴𝐵𝐶以点𝐵为中心顺时针旋转，使点𝐶旋转到𝐴𝐵的延长线上的点𝐷处，则𝐴𝐶边扫过的图形(阴影部分)的面积是

∠𝐷𝐴𝐵=130°，𝑃是半径𝑂𝐶12. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，连接𝑂𝐶，

上的一个动点，连接𝑃𝐷、𝑃𝐵，则∠𝐷𝑃𝐵可能为______ 度.(写出一个值即可)

13. 如图是根据某校学生为玉树地震灾区捐款的情况制作的统计图，已知该校学生数为1000人，由

图可知该校学生共捐款______ 元．

𝐴𝐸与𝐵𝐶相交于点𝐷，∠𝐵=∠𝐶=90°，𝐷𝐶=60𝑚，14. 如图是测量河宽的示意图，测得𝐵𝐷=120𝑚，

𝐸𝐶=50𝑚，求得河宽𝐴𝐵=______𝑚.

𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6，𝐵𝐷是斜边𝐴𝐶上的中线，𝐶𝐸⊥𝐷𝐵，15. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，

则𝐶𝐸= ______ ．

16. 如图，以平行四边形一边𝐵𝐶为直径的圆恰好与对边𝐴𝐷相切于点𝐴，则∠𝐴𝐵𝐶= ______ °.

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17. 如图，小红想测量离𝐴处30𝑚的大树的高度，她站在𝐴处仰望树顶𝐵，仰角为30°(即∠𝐵𝐷𝐸=30°)，

已知小红身高1.52𝑚.求大树的高度．

四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）

18. 如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有−1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转

盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形).(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率； (2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”.用列表法(或画树

状图)，求两人“不谋而合”的概率．

19. 如图，已知在平面直角坐标系中，𝐴(0,−1)、𝐵(−2,0)、𝐶(4,0) (1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；

(2)在𝑦轴上是否存在一个点𝐷，使得△𝐴𝐵𝐷是以𝐴𝐵为底的等腰三角形，若存在，求出点𝐷坐标；若不

存，说明理由．

(3)有一个𝑃(−4,𝑎)，使得𝑆△𝑃𝐴𝐵=𝑆△𝐴𝐵𝐶，请你求出𝑎的值．

20. 已知二次函数的图象经过(−2,−5)，(0,3)，(2,3)三点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)列表描点画出这个二次函数的图象．

𝑥 𝑦 … … ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ … …

21. 如图，𝑀为线段𝐴𝐵的中点，𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点𝐶，∠𝐷𝑀𝐸=∠𝐴=∠𝐵=𝛼，且𝐷𝑀交𝐴𝐶于𝐹，𝑀𝐸交

𝐵𝐶于𝐺.(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连结𝐹𝐺，如果𝛼=45°，

，𝐴𝐹=3，求𝐹𝐺的长．

22. 在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为𝑦1、𝑦2(单位：件/时)，𝑦1、𝑦2与工作时

𝑦1的图象为折线𝑂𝐴𝐵𝐶，𝑦2的图象是过𝑂、𝐵、𝐶三间𝑥(小时)之间大致满足如图所示的函数关系，

点的抛物线一部分．

(1)根据图象回答：󰀃试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间𝑥(小时)的取值范围是______；󰀃调说

明线段𝐴𝐵的实际意义是______．

(2)求出调试过程中，当6≤𝑥≤8(3)时，生产甲种产品的效率𝑦1(件/时)与工作时间𝑥(小时)之间的

函数关系式．

(3)调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品𝑚小时，再以图中乙的最大效率生产乙

产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量𝑍(件)与生产甲所用时间𝑚(小时)之间的函数关系式．

23. 如图，𝐶𝐷是⊙𝑂的直径，点𝐴是⊙𝑂外一点，𝐴𝐷与⊙𝑂相切于点𝐷，

点𝐵是⊙𝑂上一点(点𝐵不与点𝐶，𝐷重合)，连接𝐴𝑂，𝐴𝐵，𝐵𝐶． (1)当𝐵𝐶与𝐴𝑂满足什么位置关系时，𝐴𝐵是⊙𝑂的切线？请说明理由； (2)在(1)的条件下，当∠𝐷𝐴𝑂=______度时，四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是平行四边形．

24. 如图，𝐴、𝐵是⊙𝑂上的两个定点，𝑃是⊙𝑂上的动点(𝑃不与𝐴、𝐵重合)、我们称∠𝐴𝑃𝐵是⊙𝑂上

关于点𝐴、𝐵的滑动角．

(1)已知∠𝐴𝑃𝐵是⊙𝑂上关于点𝐴、𝐵的滑动角， ①若𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，则∠𝐴𝑃𝐵=______°；

②若⊙𝑂的半径是1，𝐴𝐵=√2，求∠𝐴𝑃𝐵的度数；

(2)已知𝑂2是⊙𝑂1外一点，𝐵两点，∠𝐴𝑃𝐵是⊙𝑂1上关于点𝐴、以𝑂2为圆心作一个圆与⊙𝑂1相交于𝐴、

𝐵的滑动角，直线𝑃𝐴、𝑃𝐵分别交⊙𝑂2于𝑀、𝑁(点𝑀与点𝐴、点𝑁与点𝐵均不重合)，连接𝐴𝑁，试探索∠𝐴𝑃𝐵与∠𝑀𝐴𝑁、∠𝐴𝑁𝐵之间的数量关系．

参及解析

1.答案：𝐷

解析：解：∵5𝑎=4𝑏，

∴等式两边都除以5𝑏，得5𝑏=5𝑏， 即𝑏=5， ∴

𝑎−𝑏𝑏𝑎𝑎

4

5𝑎

4𝑏

𝑏

=𝑏−𝑏 =−1

𝑏𝑎

=5−1 =−5， 故选：𝐷．

根据比例的性质和已知条件求出𝑏=5，再求出答案即可．

本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果𝑏=𝑑，那么𝑎𝑑=𝑏𝑐．

𝑎

𝑐

𝑎

4

1

4

2.答案：𝐷

解析：解：∵360°÷3=120°，

∴该图形绕中心至少旋转120°后能和原来的图案互相重合． 故选：𝐷．

根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．

本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．

3.答案：𝐷

解析：解：𝐴、缘木求鱼，是不可能事件； B、水落石出，是必然事件； C、瓮中捉鳖，是必然事件； D、守株待兔，是随机事件； 故选：𝐷．

根据事件发生的可能性大小判断，得到答案．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4.答案：𝐷

解析：

正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 解：这个正多边形的边数：360°÷72°=5． 故选D．

5.答案：𝐵

解析：解：∵直线𝑦=4𝑥−6与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴、𝐵两点， ∴𝐴点的坐标为(8,0)，𝐵点的坐标为(0,−6)，

即𝑂𝐴=8，𝑂𝐵=6，由勾股定理得：𝐴𝐵=√62+82=10， 过𝐶作𝐶𝑀⊥𝐴𝐵于𝑀，连接𝐴𝐶，

×𝐴𝐵×𝐶𝑀=2×𝑂𝐴×𝑂𝐶+2×𝑂𝐴×𝑂𝐵，则由三角形面积公式得： 2∴10×𝐶𝑀=8×1+6×8， ∴𝐶𝑀=

285

1

1

1

3

，

3

285

∴圆𝐶上点到直线𝑦=4𝑥−6的最大距离是1+∴△𝑃𝐴𝐵面积的最大值是2×10×故选：𝐵．

1

335

=

335

，

=33，

𝐵的坐标，求出𝐴、根据勾股定理求出𝐴𝐵，求出点𝐶到𝐴𝐵的距离，即可求出圆𝐶上点到𝐴𝐵的最大距离，根据面积公式求出即可．

本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线𝐴𝐵的最大距离，属于中档题目．

6.答案：𝐶

解析：解：如图，设𝑄𝑃的中点为𝐹，圆𝐹与𝐴𝐵的切点为𝐷，连接𝐹𝐷、𝑂𝐹、𝑂𝐷，则𝐹𝐷⊥𝐴𝐵．

∵𝐴(12,0)、𝐵(0,9)， ∴𝐴𝑂=12，𝐵𝑂=9， ∴𝐴𝐵=15，

∴∠𝐴𝑂𝐵=90°，𝐹𝑂+𝐹𝐷=𝑃𝑄， ∴𝐹𝑂+𝐹𝐷≥𝑂𝐷，

当点𝐹、𝑂、𝐷共线时，𝑃𝑄有最小值，此时𝑃𝑄=𝑂𝐷， ∴𝑂𝐷=

𝑂𝐴⋅𝑂𝐵𝐴𝐵

=

12×915

=7.2．

故选：𝐶．

设𝑄𝑃的中点为𝐹，圆𝐹与𝐴𝐵的切点为𝐷，连接𝐹𝐷，连接𝑂𝐹，𝑂𝐷，则有𝐹𝐷⊥𝐴𝐵；由勾股定理的逆定△𝐴𝐵𝑂是直角三角形，𝐹𝑂+𝐹𝐷=𝑃𝑄，𝐹𝑂+𝐹𝐷≥𝑂𝐷；理知，由三角形的三边关系知，只有当点𝐹、𝑂、𝐷共线时，𝐹𝑂+𝐹𝐷=𝑃𝑄有最小值，最小值为𝑂𝐷的长，即当点𝐹在直角三角形𝐴𝐵𝑂的斜边𝐴𝐵的高𝑂𝐷上时，𝑃𝑄=𝑂𝐷有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时𝑂𝐷=

𝑂𝐴⋅𝑂𝐵𝐴𝐵

=7.2．

本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．

7.答案：𝐴

解析：

主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．直接根据平移规律作答即可．

解：将抛物线𝑦=𝑥2先向右平移5个单位，再向上平移3个单位所得抛物线解析式为𝑦=(𝑥−5)2+3． 故选：𝐴．

8.答案：𝐵

解析：解：由圆周角定理得，∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴𝑂𝐵=15°， 故选：𝐵．

根据圆周角定理解答．

本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

1

9.答案：𝐶

解析：解：①函数的对称轴为：𝑥=−1，此时𝑦=2，故①符合题意；

9

②函数的对称轴为：𝑥=−1，则𝑚和2对应，故②符合题意；

③𝑥=2，𝑦=0，根据函数的对称性，𝑥=−4，𝑦=0，而当−4<𝑥<2时，𝑦>0，故③不符合题意；

④方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−4=0的两根，相等于𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐和𝑦=𝑥的加点，故④符合题意， 故选：𝐶．

①函数的对称轴为：𝑥=−1，此时𝑦=2，即可求解； ②函数的对称轴为：𝑥=−1，则𝑚和2对应，即可求解；

③𝑥=2，𝑦=0，根据函数的对称性，𝑥=−4，𝑦=0，而当−4<𝑥<2时，𝑦>0，即可求解； ④方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−4=0的两根，相等于𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐和𝑦=𝑥的加点，即可求解． 本题考查的是抛物线与𝑥轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

59

5

10.答案：𝐶

解析：

本题考查轴对称−最短问题，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称正确找到点𝑃的位置．作点𝐴关于𝑦轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵与𝑦轴的交点为𝑃，此时𝑃𝐴+𝑃𝐵最小，运用勾股定理求出𝐴′𝐵的长即可．

解：作的𝐴关于𝑥轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵与𝑥轴的交点为𝑃， 此时𝑃𝐴+𝑃𝐵最小，𝑃𝐴+𝑃𝐵最小值=𝑃𝐴′+𝑃𝐵=𝐴′𝐵，

∵点𝐴(−1,1)， ∴𝐴′(−1,−1)，

分别过𝐴′、𝐵两点作𝑦轴和𝑥轴的垂线，交于点𝐶，则∠𝐴′𝐶𝐵=90°， ∵𝐵(2,3)，

∴𝐴′𝐶=2−(−1)=3，𝐵𝐶=3−(−1)=4，

∴𝐴′𝐵=√32+4

2

=5，

∴𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值是5． 故选C．

11.答案：36𝜋𝑐𝑚2

解析：试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐴𝐶=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得𝐵𝐶=𝐴𝐵，然后求出阴影部分的面积=𝑆扇形𝐴𝐵𝐸−𝑆扇形𝐵𝐶𝐷，列计算即可得解．

∵∠𝐶是直角，∠𝐴𝐵𝐶=60°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=90°−60°=30°， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=×12=6𝑐𝑚，

∵△𝐴𝐵𝐶以点𝐵为中心顺时针旋转得到△𝐵𝐷𝐸，

∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐷=180°−60°=120°， ∴阴影部分的面积=𝑆扇形𝐴𝐵𝐸+𝑆△𝐵𝐷𝐸−𝑆扇形𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐶 =𝑆扇形𝐴𝐵𝐸−𝑆扇形𝐵𝐶𝐷 =

=48𝜋−12𝜋 =36𝜋𝑐𝑚2． 故答案为：36𝜋𝑐𝑚2．

−

12.答案：80°(答案不唯一)

解析：解：连接𝑂𝐵、𝑂𝐷，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，∠𝐷𝐴𝐵=130°， ∴∠𝐷𝐶𝐵=180°−130°=50°，

由圆周角定理得，∠𝐷𝑂𝐵=2∠𝐷𝐶𝐵=100°， ∴∠𝐷𝐶𝐵≤∠𝐵𝑃𝐷≤∠𝐷𝑂𝐵，即50°≤∠𝐵𝑃𝐷≤100°， ∴∠𝐵𝑃𝐷可能为80°(答案不唯一)， 故答案为：80°(答案不唯一)．

连接𝑂𝐵、𝑂𝐷，根据圆内接四边形的性质求出∠𝐷𝐶𝐵的度数，根据圆周角定理求出∠𝐷𝑂𝐵的度数，得到∠𝐷𝐶𝐵≤∠𝐵𝑃𝐷≤∠𝐷𝑂𝐵，进而可得答案．

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

13.答案：12590

解析：

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

根据扇形统计图中的数据求出各年级人数，再根据条形统计图中的数据求出各年级捐款数，各年级相加即可得到该校捐款总数． 解：1000×32%×15=4800元； 1000×33%×13=4290元； 1000×35%×10=3500元；

∴该校学生共捐款4800+4290+3500=12590元． 故答案为：12590．

14.答案：100

解析：解：∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝐷=90°， ∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐸𝐶𝐷， ∴

𝐴𝐵𝐸𝐶

=

𝐵𝐷

，𝐴𝐵=𝐶𝐷

60

𝐵𝐷×𝐸𝐶𝐶𝐷

，

解得：𝐴𝐵=

120×50

=100(米)．

故答案为：100．

由两角对应相等可得△𝐵𝐴𝐷∽△𝐶𝐸𝐷，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离𝐴𝐵．

此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．

15.答案：4.8

解析：

本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积公式，熟练掌握直角三角形斜边上的中线定理是解决问题的关键．由勾股定理得𝐴𝐶=10，由直角三角形斜边上的中线定理得到𝐵𝐷=5，𝑆△𝐵𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=12，由三角形的面积公式即可求得结论． 解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中， ∵𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6，

1

∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=10， ∵𝐵𝐷是斜边𝐴𝐶上的中线，

∴𝐵𝐷=×10=5，𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶=××8×6=12，

2

2

2

2

1

1

1

1

∴𝐶𝐸=

2𝑆△𝐵𝐶𝐷𝐵𝐷

=4.8，

故答案为4.8．

16.答案：45

解析：解：连接𝑂𝐴，如图， ∵𝐴𝐷为⊙𝑂的切线， ∴𝑂𝐴⊥𝐴𝐷，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴𝐴𝑂⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝑂𝐶=90°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶=45°． 故答案为45．

连接𝑂𝐴，如图，利用切线的性质得到𝑂𝐴⊥𝐴𝐷，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，则∠𝐴𝑂𝐶=90°，然后根据圆周角定理得到∠𝐴𝐵𝐶的度数．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了平行四边形的性质和圆周角定理．

1

17.答案：解：根据题意可知：四边形𝐴𝐷𝐸𝐶为矩形，

∴𝐸𝐷=𝐶𝐴=30𝑚，𝐸𝐶=𝐴𝐷=1.52𝑚， 在直角△𝐵𝐷𝐸中，∠𝐵𝐷𝐸=30°，

根据锐角三角函数定义得：tan∠𝐵𝐷𝐸=𝑡𝑎𝑛30°=∴𝐵𝐸=𝐷𝐸⋅

√33

=𝐷𝐸

𝐵𝐸

√3

， 3

=10√3𝑚，

∴𝐵𝐶=𝐵𝐸+𝐸𝐶=(10√3+1.52)𝑚≈18.84𝑚． 答：大树的高度约为18.84𝑚．

解析：在直角△𝐵𝐷𝐸中，根据𝐷𝐸和∠𝐵𝐷𝐸的三角函数值可以求得𝐵𝐸的长度，根据𝐵𝐸和𝐸𝐶的值计算𝐵𝐶的长度，即可解题．

本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中求𝐵𝐸的长度是解题的关键．

18.答案：解：(1) 𝑃(得到负数)=.

(2)用下表列举所有的可能结果

从上表可知，一共有九种可能， 其中两人得到的数相同的有三种， 因此𝑃(两人“不谋而合”)=

．

解析：本题考查概率问题，难度较小．

19.答案：解：(1)∵𝐴(0,−1)、𝐵(−2,0)、𝐶(4,0)，

∴𝐴𝑂=1，𝐵𝐶=6，

∴△𝐴𝐵𝐶的面积=2×6×1=3；

(2)存在一个点𝐷，使得△𝐴𝐵𝐷是以𝐴𝐵为底的等腰三角形． 如图所示，

1

设𝐷(0,𝑚)，则𝐴𝐷=1+𝑚，𝑂𝐷=𝑚， ∵𝐵𝐷=𝐴𝐷=1+𝑚，∠𝐵𝑂𝐷=90°， ∴𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐷中，𝑂𝐷2+𝑂𝐵2=𝐵𝐷2， ∴𝑚2+22=(𝑚+1)2， 解得𝑚=2， ∴𝐷(0,2)；

(3)在𝑥轴负半轴上取点𝐷(−4,0)，过𝐷作𝑥轴的垂线𝑙，则点𝑃在该垂线𝑙上，

3

3

过𝐶作𝐶𝑃//𝐴𝐵，交𝑙于点𝑃，则𝑆△𝑃𝐴𝐵=𝑆△𝐴𝐵𝐶， ∵𝐴(0,−1)、𝐵(−2,0)，

∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−2𝑥−1， 设直线𝐶𝑃解析式为𝑦=−2𝑥+𝑏， 把𝐶(4,0)代入，可得 0=−2+𝑏， 解得𝑏=2，

∴直线𝐶𝑃解析式为𝑦=−2𝑥+2， ∴𝐹(0,2)，

当𝑥=−4时，𝑦=2+2=4， ∴𝑃(−4,4)；

当点𝑃′在𝑥轴下方时，设过𝑃′且平行于𝐴𝐵的直线交𝑦轴于𝐸，则𝐴𝐸=𝐴𝐹=3， ∴𝑂𝐸=4，即𝐸(0,−4)，

∴直线𝑃′𝐸解析式为𝑦=−2𝑥−4， 当𝑥=−4时，𝑦=2−4=−2， ∴𝑃′(−4,−2)， ∴𝑎的值为4或−2．

解析：本题主要考查了等腰三角形的性质以及坐标与图形性质，解决问题的关键是根据勾股定理列出方程进行求解．解题时注意分类思想的运用． (1)根据𝐴𝑂=1，𝐵𝐶=6，求得△𝐴𝐵𝐶的面积；

(2)设𝐷(0,𝑚)，𝑂𝐷=𝑚，∠𝐵𝑂𝐷=90°，则𝐴𝐷=1+𝑚，根据𝐵𝐷=𝐴𝐷=1+𝑚，可得𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐷中，𝑂𝐷2+𝑂𝐵2=𝐵𝐷2，即𝑚2+22=(𝑚+1)2，进而得出点𝐷坐标；

1111

(3)分两种情况进行讨论，点𝑃在第二象限或第三象限内，根据𝑆△𝑃𝐴𝐵=𝑆△𝐴𝐵𝐶，求出𝑎的值．

20.答案：−1 0 1 2 3 0 3 4 3 0

解析：解：(1)设抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐， 4𝑎−2𝑏+𝑐=−5

(−2,−5)，(0,3)，(2,3)分别代入得{𝑐=3，

4𝑎+2𝑏+𝑐=3𝑎=−1

解得：{𝑏=2．

𝑐=3∴𝑦=−𝑥2+2𝑥+3． (2)列表：

𝑥 𝑦 描点， 连线，如图．

… … −1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 … …

(1)设抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，(0,3)，(2,3)三点分别代入求出𝑎，𝑏，𝑐即可． 把(−2,−5)，(2)利用描点法画二次函数图象．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

21.答案：(1)证明：△𝐴𝑀𝐹∽△𝐵𝐺𝑀，△𝐷𝑀𝐺∽△𝐷𝐵𝑀，

△𝐸𝑀𝐹∽△𝐸𝐴𝑀等.(写出两对即可) 以下证明△𝐴𝑀𝐹∽△𝐵𝐺𝑀．

由题知∠𝐴=∠𝐵=∠𝐷𝑀𝐸=𝛼， 而∠𝐴𝐹𝑀=∠𝐷𝑀𝐸+∠𝐸，

又∠𝐵𝑀𝐺=∠𝐴+∠𝐸，∴∠𝐴𝐹𝑀=∠𝐵𝑀𝐺． ∴△𝐴𝑀𝐹∽△𝐵𝐶𝑀．

(2)解：当𝛼=45°时，可得𝐴𝐶⊥𝐵𝐶且𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∵𝑀为𝐴𝐵中点，∴𝐴𝑀=𝐵𝑀=

.

由△𝐴𝑀𝐹∽△𝐵𝐺𝑀得𝐴𝐹·𝐵𝐺=𝐴𝑀·𝐵𝑀， ∴

.

𝑐𝑜𝑠45°=4， ，𝐶𝐹=4−3=1，

又𝐴𝐶=𝐵𝐶= ∴

∴．

解析：本题重点考查三角形相似的性质及识别、利用三角函数解直角三角形、勾股定理等知识点，本题综合性很强，提高学生解决综合问题的能力，本题是一道难度中等的题目．

22.答案：2<𝑥<8且𝑥≠6；从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件/时

解析：解：(1)𝑦2图象在𝑦1上方的部分，生产乙的效率高于甲的效率的时间𝑥(小时)的取值范围是2<𝑥<8且𝑥≠6；

󰀃线段𝐴𝐵的实际意义是从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件/时； (2)设函数解析式是𝑦1=𝑘𝑥+𝑏， 图象过点𝐵(6,3)、𝐶(8,0) 6𝑘+𝑏=3{， 8𝑘+𝑏=0解得{，

𝑏=12

故函数解析式为𝑦1=−2𝑥+12； (3)𝑍=3𝑚+4(6−𝑚)， 即𝑍=−𝑚+24．

(1)根据𝑦2图象在𝑦1上方的部分，可得答案，根据线段𝐴𝐵的工作效率没变，可得答案案； (2)根据待定系数法，可得函数解析式；

3

𝑘=−

32

(3)根据甲的最大效率乘以时间，可得甲的产品，根据乙的最大效率乘以乙的时间，可得乙的产品，甲的产品加乙的产品，可得答案．

本题考查了二次函数的应用，利用了函数图象，待定系数法，题目较为简单．

23.答案：45

解析：解：(1)当𝐵𝐶//𝐴𝑂时，𝐴𝐵是⊙𝑂的切线，理由如下： 如图，连结𝑂𝐵，

∵𝐴𝐷与⊙𝑂相切于点𝐷， ∴∠𝑂𝐷𝐴=90°， ∵𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， ∵𝐵𝐶//𝐴𝑂，

∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐵𝑂𝐴，∠𝑂𝐶𝐵=∠𝐷𝑂𝐴， ∴∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐷𝑂𝐴， 在△𝐴𝐵𝑂和△𝐴𝐷𝑂中， 𝑂𝐵=𝑂𝐷

{∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐷𝑂𝐴， 𝑂𝐴=𝑂𝐴

∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐷𝑂(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐷𝐴=90°， ∴𝐴𝐵⊥𝑂𝐵， ∴𝐴𝐵是⊙𝑂的切线；

(2)当∠𝐷𝐴𝑂=45°时，四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是平行四边形，理由如下：

设𝑂𝐴交𝐵𝐷于点𝐸，

∵∠𝐷𝐴𝑂=45°，∠𝐴𝐷𝑂=90°， ∴∠𝐷𝑂𝐴=45°， ∴∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐷𝑂𝐴， ∴𝐴𝐷=𝑂𝐷， ∵𝐶𝐷是⊙𝑂的直径， ∴𝐵𝐷⊥𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶//𝐴𝑂， ∴𝐵𝐷⊥𝐴𝑂， 又𝐴𝐷=𝑂𝐷， ∴𝐴𝑂=2𝑂𝐸，

∵𝐵𝐶//𝐴𝑂，𝑂𝐶=𝑂𝐷， ∴𝐵𝐶=2𝑂𝐸， ∴𝐴𝑂=𝐵𝐶， 又𝐵𝐶//𝐴𝑂，

∴四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是平行四边形， 故答案为：45．

(1)连结𝑂𝐵，∠𝑂𝐶𝐵=∠𝐷𝑂𝐴，当𝐵𝐶//𝐴𝑂时，可得∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐵𝑂𝐴，根据∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵，得到∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐷𝑂𝐴，利用𝑆𝐴𝑆判定△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐷𝑂，进而得出∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐷𝐴=90°，即可得解；

(2)∠𝐷𝐴𝑂=45°时，∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐷𝑂𝐴，则𝐴𝐷=𝑂𝐷，根据𝐵𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐶//𝐴𝑂，得出𝐵𝐷⊥𝐴𝑂，则𝐴𝑂=2𝑂𝐸，根据三角形中位线定理得出𝐵𝐶=2𝑂𝐸，则𝐴𝑂=𝐵𝐶，又𝐵𝐶//𝐴𝑂，即可判定四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是平行四边形．

此题考查了切线的判定与性质、平行四边形的判定，熟记切线的判定定理和性质定理、平行四边形的判定是解题的关键．

24.答案：(1)①90；

②如图，连接𝐴𝐵、𝑂𝐴、𝑂𝐵．

在△𝐴𝑂𝐵中，

∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=1.𝐴𝐵=√2， ∴𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=𝐴𝐵2． ∴∠𝐴𝑂𝐵=90°．

⏜上时，∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝑂𝐵=45°； 当点𝑃在优弧𝐴𝑃𝐵2

⏜上时，∠𝐴𝑃′𝐵=(360°−∠𝐴𝑂𝐵)=135° 当点𝑃在劣弧𝐴𝐵2(2)根据点𝑃在⊙𝑂1上的位置分为以下四种情况．

11

第一种情况：点𝑃在⊙𝑂2外，且点𝐴在点𝑃与点𝑀之间，点𝐵在点𝑃与点𝑁之间，如图① ∵∠𝑀𝐴𝑁=∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐴𝑁𝐵， ∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑀𝐴𝑁−∠𝐴𝑁𝐵；

第二种情况：点𝑃在⊙𝑂2外，且点𝐴在点𝑃与点𝑀之间，点𝑁在点𝑃与点𝐵之间，如图②． ∵∠𝑀𝐴𝑁=∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐴𝑁𝑃=∠𝐴𝑃𝐵+(180°−∠𝐴𝑁𝐵)， ∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑀𝐴𝑁+∠𝐴𝑁𝐵−180°；

第三种情况：点𝑃在⊙𝑂2外，且点𝑀在点𝑃与点𝐴之间，点𝐵在点𝑃与点𝑁之间，如图③． ∵∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐴𝑁𝐵+∠𝑀𝐴𝑁=180°， ∴∠𝐴𝑃𝐵=180°−∠𝑀𝐴𝑁−∠𝐴𝑁𝐵， 第四种情况：点𝑃在⊙𝑂2内，如图④， ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑀𝐴𝑁+∠𝐴𝑁𝐵． 解析：

解：(1)①若𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，则∠𝐴𝑃𝐵=90． ②见答案； (2)见答案．

(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；

⏜上；点𝑃在劣弧𝐴𝐵⏜上两种情况讨论求②根据勾股定理的逆定理可得∠𝐴𝑂𝐵=90°，再分点𝑃在优弧𝐴𝐵解；

(2)根据点𝑃在⊙𝑂1上的位置分为四种情况得到∠𝐴𝑃𝐵与∠𝑀𝐴𝑁、∠𝐴𝑁𝐵之间的数量关系． 综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．