2013年全国新课标2卷理数试题及答案详解

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （ ） （A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3} 答案：A

[解析]该题主要考查集合交集运算与不等式的解法，由

M{x|(x1)24,xR}{x|1x3}所以由交集的定义可知MN{0,1,2}

（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （ ）

（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i

答案：A

[解析]本题主要考查复数的基本运算，由题目中的表达式可得

z2i1i2i(1i)(1i)(1i)1i （3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1

（ ） （A）

13 （B）13 （C）11

9 （D）9 答案：C

[解析]本题主要考查等比数列的基本公式的运用，由题中S3a210a1得出

a1a2a3a210a1，从而就有

aa139a1q23a9，又由a5a41q9a1

194、已知m,n为异面直线，m平面，n平面。直线l满足lm，ln，l，l，则（ ）

（A）//且l// （B）且l

（C）与相交，且交线垂直于l （D）与相交，且交线平行于l答案：

D

[解析]本题主要考查空间线面关系的判定，若//，由题中条件可知

m//n，与题中m,n为异面直线矛盾，故A错；若l则有l//n，与题设条件ln矛盾，故B错；由于m,n，则m,n都垂直于,的交线，而m和n是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面，则,的交线垂直于平面，同理也有l，故l平行于,的

交线，D正确C错。

（5）已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a= （A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1 答案：D

[解析]本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为(1x)5的展开式中

221的通项可表示为Tr1C5x，从而有(1x)5中x与x的系数分别为C510和C55，所

rr以原式(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5中x系数为105a5a1.

（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=

执行右面的程序框图，如果输入的N10，那么输出的S（ ）

2111 2310111（B）1

2!3!10!111（C）1

2311111（D）1

2!3!11!（A）1

答案：B

[解析]该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能，TT的计算结果是k以应该选B。

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

1，SST是求和的算法语句，结合以上两点，当N10时，k11时结束循环，所k!

答案：A

[解析]该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如下：

从右到左投影到xoz平面的正投影为A。

614（8）设alog3，blog105，clog7则

（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c 答案：D

[解析]本题考查对数比较大小的问题，将题中的条件进行变形可知

622alog3log3log1log333，

52214722blog105log5log51log5，clog7log7log71log7， 222又因为log3，所以有abc。 log5log7

x1xy3ya(x3)（9）已知a＞0，x，y满足约束条件 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=

1 (A) (B)1

42 (C)1 (D)2 答案：B

[解析]本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数a，由于直线ya(x3)过定点(3,0)且a0，所以可行域如图所示。当直线2x+y=z过x=1与y=a(x-3)的交点(1,-2a)时z取得最小值1，所以有22a1，

a1 2

32f(x)xaxbxc，下列结论中错误的是 （10）已知函数

（A）x0R使f(x0)0

（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形

（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x0）单调递减 （D）若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0

答案：C

[解析]本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图：

当x趋于负无穷大时，函数值为负，当x趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在R是连续的，所以就有x0R使f(x0)0，A的说法正确；函数f(x)xaxbxc可以

3由函数g(x)x经过平移得到，而g(x)关于原点对称，故f(x)是关于中心对称的图形，

32B的说法正确；由极值点的定义，D说法正确；由三次函数图像可知，若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x0）不单调，故C说法错，选C。

（11）设抛物线y2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C的方程为

2（A）y4x或y8x （B）y2x或y8x

2222 （C）y4x或y16x （D）y2x或y16x

2222答案：C

[解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点M（x,y）,圆心B（a,b）如图，

55p，从而可以得到B的横坐标a,所以

222252252可以设圆B的方程为(x)(yb)，将点（0，2）代入得

24p525()2(2b)2b2，从而可以得到点M的坐标为(5,4)，代入

224y22px得10pp216,解得p2或p8，故答案选C（注：由于图片不清楚，有人

由MM'MF5得BB'MM'FF'写出该题的题设应该是y23px(p0)，无论是哪种不会影响方法的正确性）

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 （A）（0，1） (B)(112121，) ( C)(1，] (D)[,

32223答案：B

[解析]设直线y=ax+b与直线BC：x+y=1的交点为D(xD,yD),与x轴的交 点为E(x轴

1) 2b,0),由题意可知，要平均分割三角形，则b>0，所以E点只能处于a1，联立 2ab得，yD=，所以有

1a负半轴，当E在A点与原点之间时，如图可得△DEB的面积为直线

y=ax+b

与线

BC：x+y=1

11bab1BEyD(1)整理得 22a1a2b21a0,得b。

12b2SBDE当E与A(1,0)点重合时，直线y=ax+b想平分△ABC的面积，必须过B、C的中点

1111(,)，如下图此时可确定直线y=ax+b的方程为yx，此时22331b。

3

当E点处于A点左侧时，如图

此时若直线y=ax+b想平分△ABC的面积，则0a1，0b1，且三角形CDF面积

11b，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得xD，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=121a1b得xF，所以有

1a1121222 SCDF(1b)(xDxF)(1b)a12(1b)0，解2221a2为得

综上所述1二、填空题

122b122

21b，故答案选B 22EBD（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则A=_______.

答案：2

[解析]如图建立平面直角坐标系

从而有AE(1,2),BD(2,2)，所以AEBD242



（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________. 答案：8

n(n1)，选出来的221正整数要求和为5，则只能是1+4＝5和2+3＝5两种情况，所以有2,解得n8。

Cn141（15）设θ为第二象限角，若tan()=，则sinθ+cosθ=_________.

4210答案：

5

[解析]本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为Cn2[解析]本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题，由

1tan11得tan，又因为为第二象限角，利用

41tan23sin10310tan,si2nco2s1可求得sin ,coscos101010所以有sincos

5（16）等差数列an的前n项和为Sn ，已知S100,S1525，则nSn的最小值为________.

49答案：

2tan()[解析]本题考查等差数列与导数的综合问题，由

13S100,S1525得2a19d0,3a121d5，联立后就可以解得d,a1，则

32nn210nn310n2Sn令f(n)nSn，求导后可得f'(n)(3n20)，因为n0，

666202020故当n时f(n)单调递减，当n时，f(n)单调递增，所以当n时取得最小

33349值，又因为n为整数，所以当n=6或n=7时取最小，f(6)24，f(7)，故最小

249值为

2三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。 （Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。

解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下： (1)因为 a=bcosC+csinB

所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB

sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB 因为sinC>0,所以有 cosB=sinB

从而有

B=45 º

(2)由余弦定理可知：

b2a2c22accos45 2ac2ac

所以有

ac2(22)，当且仅当ac取等号

112acsinB2(22)21 222故面△ABC面积的最大值为21。

如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中

S2AB。 2（Ⅰ）证明：BC1//平面ACD11；

点，AA1ACCB（Ⅱ）求二面角DAC1E的正弦值。 证明：（1）连接AC1交A1C于点F，则F平分AC1 又因为D为AB的中点，所以有 FD//BC1 FD面A1CD BC1面A1CD 所以 BC1//平面A1CD 二、因为AC=CB=/2AB，从而有 AC2+CB2=AB2 所以 ACCB 如图建立空间直角坐标系，设AC＝1 则各点坐标为C（0，0，0） A1（1，0，1），D（1/2,1/2，0）,B（0，1，0） E（0，1，1/2） 则 CA1(1,0,1)11CD(,,0)22 1CE(0,1,)2设平面A1CD和平面A1CE的法向量分别为n1(x1,y1,z1)和n2(x2,y2,z2)则 CA1n10CDn20 CDn10CEn20n1n236解得：n1(1,1,1),n2(2,1,2)，cosn1,n2 sinn1,n2n1n233则二面角D-A1C-E的正弦值为6。 3（19）（本小题满分12分） 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130该农产品。以X（单位：，1）表示市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经00X150销该农产品的利润。

（Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x则取X105，[100,110)，且X105的概率等于需求量落入[100,110)的T的数学期望。

解析：（1）当1时，TX 00X130500300(130XX)80039000 当1时，T 30X15065000800X39000(100X130)

65000(130X150)（2）当8时，即X100X390005700020时，概率P=0.7

所以T与X的函数关系式为T（3）X可能的取值为： X 105 P 0.1 T 45000 所

（20）(本小题满分12分)

22xy平面直角坐标系，过椭圆焦点的直线点，中点，且斜率为。 M:221(ab0)右M于P为的OP的中A,B两xy30交

abM于A,B两点，P为的中点，且OP的斜率为。

（Ⅰ）求M的方程；

DAB（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线C，求四边形的最大值。

(,xyB),(x,yP),(,x),解析：（1）设A将A、B代入得到 11220y0115 0.2 53000 125 0.3 61000 135 0.25 65000 145 0.15 65000 以(元)

ET450000.1530000.2610000.3650000.25650000.155x12y121(1)y2y1b2x0a2b22， ，则（1）-（2）得到22x1x2ay0x2y21(2)a2b2由直线AB：xy30的斜率k=-1 xb2x011，OP的斜率为0，所以a22b2 所以2y02ay0,b3 由abc得到a622222x2y21 所以M得标准方程为63DAB，由面积公式（1） 若四边形ACBD的对角线CS1CDAB2可知，

当CD最长时四边形ACBD面积最大，由直线AB：xy30的斜率k=-1，设CD直

x2y2163线方程为yxm，与椭圆方程联立得：

4m2m26 3x4mx2m60，x1x2 ,x1x23322 则CD1kCD大值为4，

2728m2，当m=0时CD最

(x1x2)4x1x2292x2y212xy3063联立直线AB：与椭圆方程得3x43x0

同理利用弦长公式AB1kAB2(x1x2)24x1x2463

SACBDmax186。 CDmaxAB23x（21）（本小题满分12分）

已知函数f(。 x)eln(xm)（Ⅰ）设x0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （Ⅱ）当m2时，证明f(x)0。

xe-A. f x1 xm X=0是极值点

00 f 10m1 mxex-1f x1x1ex-1 （x>-1）

x1x-1,0，,f(x)0,f(x)即：e-0当

x(0,),f(x)0,f(x)

X=0处取的极小值

xB. f(x)0恒成立，即当m≤2时，eln(xm)0恒成立。

令：g(m)ln(xm)e 即g（m）>0在m(,2上恒成立 易知，g（m）单调递减 即 g（2）>0 即：ln(2x)e0恒成立

xxh(x)exln(2x)令

1ex(x2)1

h(x)ex2x2x易知 (x)e(x2)1单调递增，设其零点为x0，且x0>—2

xh(x)在上(2,x0)递减,在上(x0,)递增

ex0(x02)10且

x021ex0

h(x)h(x0)ex0ln(2x0)ex0ln即 f(x)0恒成立

1ex0x00 x0e