正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理

1．在ABC中,已知8b=5c,C=2B,则cosC

777A． B． C．

2525252．在ABC中,若sinAsinBsinC,则ABC的形状是

222（ ）

D．

24 25（ ）

A．锐角三角形.

2B．直角三角形.

22C．钝角三角形. D．不能确定.

（ ）

3．在ABC中,若ab2c,则cosC的最小值为

2 2C．

1 2D．1 235,cosB,b3,c____ 51315．在△ABC中,若a2,bc7,cosB,则b___________.

44．设ABC中，cosA26．在ABC中,已知cosA=,sinB=5cosC.

3(Ⅰ)求tanC的值; (Ⅱ)若a=2,求ABC的面积.

7．在△ABC中,已知,A,bsin(C)csin(B)a. 444(1)求证:BC2 (2)若a=2,求△ABC的面积.

8.ABC中，已知cos(AC)cosB1,a2c,求C. 9. 在ABC中，且满足csinAacosC.求角C的大小；

10.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知.a1,b2,cosC

(Ⅰ) 求△ABC的周长； (Ⅱ)求cos(A—C.) 11.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A14)2cosA, 求A的值； 61（2）若cosA,b3c，求sinC的值.

3



正弦定理和余弦定理

1 ．在ABC中,已知8b=5c,C=2B,则cosC （ ）

77724A． B． C． D．

25252525【解析】∵8b=5c,由正弦定理得8sinB=5sinC,又∵C=2B,∴8sinB=5sin2B,所以

478sinB=10sinBcosB,易知sinB0,∴cosB=,cosC=cos2B=2cos2B1=.

5252 ．在ABC中,若sinAsinBsinC,则ABC的形状是

222（ ）

D．不能确定.

a2b2c22abA．锐角三角形. B．直角三角形.

22C．钝角三角形.

2 [解析] 由条件结合正弦定理,得abc,再由余弦定理,得cosC0,

所以C是钝角,选C.

3 ．在ABC中,若ab2c,则cosC的最小值为

222（ ）

a2b2c2a2b21当且仅当a=b时取“=”,选C. 解析:由余弦定理得,cosC2ab4ab22 2C．

1 2D．1 235,cosB,b3,c____ 51335412absinA,sinB【解析】由cosA,cosB,由正弦定理得

513513sinAsinB43bsinA513,由余弦定理a2c2b22bccosA25c290c560c14 a125sinB51315．在△ABC中,若a2,bc7,cosB,则b___________.

4ABC【解析】在中,得用余弦定理

4．设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosAa2c2b214(cb)(cb)47(cb)cosB,化简得8c7b40,与

2ac44c4c26．在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=5cosC.

3(Ⅰ)求tanC的值; (Ⅱ)若a=2,求ABC的面积. 25(Ⅰ) ∵cosA=>0,∴sinA=1cos2A, 33又5cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =25cosC+sinC. 整理得:tanC=5. 33

(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=又由正弦定理知:

5. 6ac, 故c3. (1) sinAsinCb2c2a22对角A运用余弦定理:cosA=. (2)

2bc3解(1) (2)得:b3 or b=

35(舍去). ∴ABC的面积为:S=.

237．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,A,bsin(C)csin(B)a.

444(1)求证:BC2 (2)若a=2,求△ABC的面积.

解:(1)证明:由 bsin(4C)csin(4B)a及正弦定理得:

sinBsin(C)sinCsin(B)sinA,

44即sinB(22222 sinCsinC)sinC(sinBsinB)222223 4整理得:sinBcosCcosBsinC1,所以sin(BC)1,又0B,C所以BC2

35,C,又A,a2 可得B4884asinB5asiCn2sinc,2sin所以三角形ABC的面积所以b,

sinA8sAin8(2) 由(1)及BC1bcsinA252sin8sin822sincos8821 sin42B、C的对边分别为a、b、8.ABC的内角A、c,已知cos(AC)cosB1,a2c,

求C.

【解析】由ABCB(AC), 由正弦定理及a2c可得sinA2sinC

所以cos(AC)cosBcos(AC)cos((AC))cos(AC)cos(AC)

cosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAsinC2sinAsinC

故由cos(AC)cosB1与sinA2sinC可得2sinAsinC14sinC1

2

而C为三角形的内角且a2cc,故0C2,所以sinC1,故C. 26149. 在ABC中，且满足csinAacosC.求角C的大小；

10.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知.a1,b2,cosC

(Ⅰ) 求△ABC的周长； (Ⅱ)求cos(A—C.)

（Ⅰ）c2a2b22abcosC1444c2.ABC的周长为 abc1225.

14（Ⅱ）cosC,sinC1cos2C1()2141415 415asinC15sinA4.ac,AC故A为锐角.cosA1sin2A c281(152771151511).cos(AC)cosAcosCsinAsinC. 88848416

11.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A61（2）若cosA,b3c，求sinC的值.

3)2cosA, 求A的值；

【解析】（1）因为

31sin(A)sinAcoscosAsinsin(A)sinAcosA2cosA,

666622所以3sinA3cosA,解得tanA3,即A的值为60.

（2）因为cosA为b3c,所以

1cb22,所以sinA,因,所以在△ABC中，由正弦定理得:3sinCsinB3c3c31,所以3sinCsin(AC)=sin(60C)=cosCsinC,解得 sinCsin(AC)225sinC3cosC,又因为sin2Ccos2C1,所以sin2C为

252sinC1,解得sinC的值321. 14