2019年【新课标II卷】全国统一高考数学试题(理)(Word版,含答案解析)

2019.5

绝密★启用前

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．

12i 12i43A．i

55

243B．i

55

34C．i

55

34D．i

552．已知集合AA．9

x，yx

y2≤3，xZ，yZ，则A中元素的个数为 B．8

C．5

D．4

exex3．函数fx的图像大致为 2x

4．已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab) A．4

B．3

C．2

D．0

x2y25．双曲线221(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为

abA．y2x

B．y3x

C．y32x x D．y226．在△ABC中，cosA．42 7．为计算S1C5，BC1，AC5，则AB 25B．30 C．29 D．25 开始N0,T0i1是1ii100否11111…，设计了右侧的程序框图，23499100则在空白框中应填入 A．ii1 B．ii2 C．ii3 D．ii4

NNTTSNT输出S结束1i18．我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．

1 12 B．

1 14 C．

1 15 D．

1 1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 1A．

5 B．5 6 C．5 5 D．2 210．若f(x)cosxsinx在[a,a]是减函数，则a的最大值是

A．

π 4 B．

π 2 C．

3π 4

D．π

11．已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则

f(1)f(2)f(3)…f(50)

A．50 B．0 C．2 D．50

x2y212．已知F1，F2是椭圆C：221(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率

ab为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为 62 3A． B．

1 2

1C．

3 D．

1 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为__________．

x2y50，14．若x,y满足约束条件x2y30， 则zxy的最大值为__________．

x50，15．已知sinαcosβ1，cosαsinβ0，则sin(αβ)__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）

下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

7，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的8

为了预测该地区的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至ˆ30.413.5t；根据至的数据（时间变量2，…，17）建立模型①：y的数据（时间变量t的值依次为1，ˆ9917.5t． t的值依次为1，，2…，7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）

设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 20．（12分）

如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点． （1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

P

OBMAC21．（12分）

已知函数f(x)exax2．

（1）若a1，证明：当x0时，f(x)1； （2）若f(x)在(0,)只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

x2cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

y4sinθx1tcosα，（t为参数）． y2tsinα（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数f(x)5|xa||x2|．

（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集； （2）若f(x)1，求a的取值范围． 参:

一、选择题 1.D 7.B

2.A 8.C

3.B 9.C

4.B 10.A

5.A 11.C

6.A 12.D

二、填空题 13.y2x 三、解答题 17. (12分)

解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a13d15. 由a17得d=2.

所以{an}的通项公式为an2n9.

22（2）由（1）得Snn8n(n4)16.

14.9 15.1 216.402π

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16. 18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ30.413.519226.1(亿元). y利用模型②,该地区的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ9917.59256.5(亿元). y（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下.这说明利用2000年至的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.相对20xx年的环境基础设施投资额有明显增加，至的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从开始环境基础

ˆ9917.5t可以较好地描述设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用至的数据建立的线性模型y以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)

解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0). 设A(x1,y1),B(x2,y2)，

yk(x1),2222由2得kx(2k4)xk0. y4x2k24. 16k160，故x1x22k24k24所以|AB||AF||BF|(x11)(x21).

k24k248，解得k1（舍去）由题设知，k1. 2k因此l的方程为yx1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

y0x05,x03,x011,2解得或 (y0x01)216.y02y06.(x01)2因此所求圆的方程为(x3)(y2)16或(x11)(y6)144. 20.(12分)

解：（1）因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP23. 2222连结OB.因为ABBC且OBAC，OB2AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC2. 2222由OPOBPB知POOB.

由OPOB,OPAC知PO平面ABC.

（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP(0,2,23),取平面PAC的法向量OB(2,0,0).

设M(a,2a,0)(0a2)，则AM(a,4a,0). 设平面PAM的法向量为n(x,y,z).

由APn0,AMn0得2y23z0，可取n(3(a4),3a,a)，

ax(4a)y0.由已知得|cosOB,n|所以cosOB,n23(a4)23(a4)23a2a2=3. 2所以23|a4|23(a4)23a2a234.解得a4（舍去），a. 23所以n(834343,,).又PC(0,2,23)，所以cosPC,n. 33343. 4所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21．（12分）

2x【解析】（1）当a1时，f(x)1等价于(x1)e10．

设函数g(x)(x1)e2x1，则g'(x)(x22x1)ex(x1)2ex．

当x1时，g'(x)0，所以g(x)在(0,)单调递减． 而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1．

（2）设函数h(x)1axe．

2xf(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点．

（i）当a0时，h(x)0，h(x)没有零点； （ii）当a0时，h'(x)ax(x2)ex．

当x(0,2)时，h'(x)0；当x(2,)时，h'(x)0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增． 故h(2)14a是h(x)在[0,)的最小值． 2ee2①若h(2)0，即a，h(x)在(0,)没有零点；

4e2②若h(2)0，即a，h(x)在(0,)只有一个零点；

4e2③若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，

416a316a316a3110． 由（1）知，当x0时，ex，所以h(4a)14a12a21e(e)(2a)4ax2故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,)有两个零点．

e2综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a．

422．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

x2y2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为1．

416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan， 当cos0时，l的直角坐标方程为x1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(13cos2)t24(2cossin)t80．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．

又由①得t1t24(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2． 213cos23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

2x4,x1,【解析】（1）当a1时，f(x)2,1x2,

2x6,x2.可得f(x)0的解集为{x|2x3}． （2）f(x)1等价于|xa||x2|4．

而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f(x)1等价于|a2|4． 由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(,6][2,)．