2020-2021全国中考数学相似的综合中考模拟和真题汇总含答案解析

一、相似

1．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标； （3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO． 【答案】 （1）解：如图1，

∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴， ∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=2，AB⊥OC， ∴AC=BC=1，∠BOC=30°， ∴OC=

， ），

）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=

；

∴A（-1， 把A（-1，

（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，

∵CF∥BG， ∴

，

∵AC=4BC， ∴ =4， ∴AF=4FG， ∵A的横坐标为-4， ∴B的横坐标为1，

∴A（-4，16a），B（1，a）， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∵∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠BOE=∠DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO∽△OEB， ∴ ∴

， ，

∴16a2=4， a=± ， ∵a＞0， ∴a= ； ∴B（1， ）；

（3）解：如图3，

设AC=nBC，

由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍， 则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2）， ∴AD=am2n2 ， 过B作BF⊥x轴于F， ∴DE∥BF， ∴△BOF∽△EOD， ∴ ∴ ∴ ∴

∵OC∥AE， ∴△BCO∽△BAE， ∴ ∴ ∴CO= ∴DE=CO．

【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

（2）过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，根据平行线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A的横坐标为﹣4，求出点B的横坐标为1，则A（-4，16a），B（1，a），再根据已知证明∠BOE=∠DAO，∠ADO=∠OEB，就可证明△ADO∽△OEB，得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，

，

， =am2n， ， ， ，DE=am2n，

，

确定点B的坐标即可。

（3）根据（2）可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），得出AD的长，再证明△BOF∽△EOD，△BCO∽△BAE，得对应边成比例，证得CO=am2n，就可证得DE=CO。

2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解： ∴ 代入 解得

，得

∴抛物线对应二次函数的表达式为：

（2）解：如图，

设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作

由

点 ．

得对称轴为直线x=1，

∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴ 在 ∴ ∴ 整理，得 解得，

∴点P的坐标为

中，

为等腰三角形．

为等腰直角三角形．

或 ∽

．

（3）解：存在点M，使得 如图，连结

∵ ∴ ∴

由（2）可知， ∴ ∴ 当 ∴

时， ，解得

．

分两种情况．

为等腰直角三角形，

∴ ∴ 当 ∴ ∴ ∴

或

时，

，解得

综上，点M的坐标为

【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；

（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：求解。

或

，根据所得比例式即可

3．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．

（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；

（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，求PD的值，简要说明计算过程；

（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为________，最大值为________．

【答案】（1）解：相等

理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE；

（2）解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：

∵∠EAC=90°， ∴CE=

∴△PCD∽△ACE， ∴ ∴PD=

， ；

，

∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，

若点B在AE上，如图2所示：

∵∠BAD=90°， ∴Rt△ABD中，BD=

，BE=AE﹣AB=2，

∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°， ∴△BAD∽△BPE， ∴ 解得PB= ∴PD=BD+PB=

，即

， +

=

，

，

（3）1；7

【解析】【解答】解：（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．

如图3所示，分两种情况讨论：

在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小． ①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时， 在Rt△ACE中，CE= 在Rt△DAE中，DE= ∵四边形ACPB是正方形， ∴PC=AB=3， ∴PE=3+4=7， 在Rt△PDE中，PD=

即旋转过程中线段PD的最小值为1；

②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值， 此时，DP'=4+3=7，

即旋转过程中线段PD的最大值为7． 故答案为：1，7．

【分析】（1）BD，CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE，根据等腰直角三角形的性质得出BA=CA，DA=EA，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等得出BD=CE；

（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：首先根据勾股定理算出CE的长，然后判断出△PCD∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出

， 根据比例式

，

=4，

，

列出方程，求解得出PD的长；若点B在AE上，如图2所示：根据勾股定理算出BD的长，然后判断出△BAD∽△BPE，根据相似三角形对应边成比例得出列出方程，求解得出PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长；

（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．

如图3所示，分两种情况讨论： 在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，根据勾股定理算出CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=3，进而得出PE的长，根据勾股定理算出PD的长，即旋转过程中线段PD的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=7，即旋转过程中线段PD的最大值为7．

， 根据比例式

4．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．

（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求 ，请证明你的结论； （2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________； （3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出 的值．（用k，m，n表示） 【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点， ∴CD平分∠ACB，

∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H， ∴PG=PH，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°， ∴∠GPH=∠MPN=90°， ∴∠MPH=∠NPG， ∵∠PHM=∠PGN=90°， ∴△PHM∽△PGN， ∴

=1

（2）

（3）解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，

易证△PMH∽△PGN， ∴

，

∵ ∴

，

，

∵DT∥PG，DK∥PH， ∴ ∴ ∴

，

，

【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°， ∴∠GPH=∠MPN=90°， ∴∠MPH=∠NPG， ∵∠PHM=∠PGN=90°， ∴△PHM∽△PGN， ∴

，

∵△PHC∽△ACB，PG=HC， ∴

故答案为： ；

【分析】（1）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，根据已知条件可证△PHM和△PGN的两角对应相等，进而可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例即可求出。（2）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由两角对应相等，可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得 = ， 由两角对应相等，可得△PHC∽△ACB，又PG=HC，相似三角形的

，

对应边成比例及等量代换即可求出。（3）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，由两角对应相等，△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得 = ， 由△ A C D 和 △ B C D的面积比及已知条件可得,再由垂直于同一条直线的两条直线平行可得DT∥PG，DK∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得 = = ，再根据比例的基本性质即可求出

的值。

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项， 求tan∠CPA的值；

（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵ 抛物线 ∴ 解得

,

与x轴交于点A（1，0），B（5，0），

∴ 抛物线的解析式为

（2）解：∵ A（1，0），B（5，0）， ∴ OA=1，AB=4.

∵ AC=AB且点C在点A的左侧， ∴ AC=4 . ∴ CB=CA+AB=8.

∵ 线段CP是线段CA、CB的比例中项，

∴ ∴ CP=

. .

又 ∵ ∠PCB是公共角， ∴ △CPA∽△CBP . ∴ ∠CPA= ∠CBP. 过P作PH⊥x轴于H.

∵ OC=OD=3，∠DOC=90°， ∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45° ∴ PH=CH=CP ∴ P（-7，-4）， ∴

tan∠CPA= .

， =4，

∴ H（-7，0），BH=12，

（3）解：∵ 抛物线的顶点是M（3，-4）， 又 ∵ P（-7，-4）， ∴ PM∥x轴 .

当点E在M左侧， 则∠BAM=∠AME. ∵ ∠AEM=∠AMB， ∴ △AEM∽△BMA. ∴ ∴

, .

∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.

过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4）. 当点E在M右侧时，记为点

，

∵ ∠A ∴ 点

N=∠AEN，

与E 关于直线AN对称，则

（4，-4）.

综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.

【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解。即;由题意把A（1，0），B（5，0），代入解析式可得关于a、b的方程组，a + b + 5 = 0 ，25 a + 5 b + 5 = 0 ,解得a=1、b=-6，所以抛物线的解析式为 y = − 6 x + 5；

(2)过P作PH⊥x轴于H.由题意可得OA=1，AB=4.而AC=AB且点C在点A的左侧，所以AC=4 ，则 CB=CA+AB=8，已知线段CP是线段CA、CB的比例中项，所以4

,解得CP=

，因为∠PCB是公共角，所以根据相似三角形的判定可得△CPA∽△CBP ，所以∠CPA=

∠CBP；因为OC=OD=3，∠DOC=90°，∠DCO=45°.所以∠PCH=45°，在直角三角形PCH中，PH=CH=CP sin 45 ∘ =4，所以H（-7，0），BH=12，则P（-7，-4），在直角三角形PBH中，tan ∠ CBP =

=tan∠CPA;

-4,所以抛物线的顶点是M（3，-4），而

（3）将（1）中的解析式配成顶点式得y=

P点的纵坐标也为-4，所以PM∥x轴 .分两种情况讨论：当点E在M左侧， 则∠BAM=∠AME，而∠AEM=∠AMB， 根据相似三角形的判定可得△AEM∽△BMA，所以可得比例式

,即

,解得ME=5，所以 E（-2，-4）；当点E在M右侧时，记为

（4，-4）.

，则称满足这样

点 E ′ ，过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4），因为∠A E ′ N=∠AEN，所以根据轴对称的意义可得点 E ′ 与E 关于直线AN对称，则

6．定义：如图 ，若点D在 条件的点为

的“理想点”

的边AB上，且满足

（1）如图 ，若点D是 不是

的边AB的中点，

，

，试判断点D是

的“理想点”，并说明理由；

中，

， ，

，

，若点D是

的

（2）如图 ，在 “理想点”，求CD的长；

（3）如图，已知平面直角坐标系中，点 且满足

，C为x轴正半轴上一点，

，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三

点围成的三角形的“理想点” 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】 （1）解：结论：点D是 理由：如图 中，

的“理想点”.

是AB中点，

，

， ， ， ， ∽

，

点D是

的“理想点”， ，

，

，

（2）解：如图 中，

点D是

或

当

时，

， ， ，

当 在

时，同法证明： 中，

，

，

，

，

，

，

的“理想点”，

，

.

（3）解：如图 中，存在 有三种情形：

过点A作

交CB的延长线于M，作

，

，

，

，

，

≌ ， ，

， ， ， ，

解得 经检验

或

舍弃 ， ， 时，点A是 ，

∽

， ，

，

解得

， .

的“理想点” 设 ，

，

是分式方程的解， ，

①当

， ，设 ，

，

，

，

，

， 轴于H. ，

②当 易知：

， .

③当 易知：

， .

时，点A是 ，

的“理想点”.

时，点B是 ，

的“理想点”.

综上所述，满足条件的点D坐标为 【解析】【分析】（1）结论：点D是 即可解决问题；（2）只要证明 情形：过点A作

或 或

.

∽

的“理想点” 只要证明 即可解决问题；（3）如图

中，存在 有三种

交CB的延长线于M，作 轴于 构造全等三角形，利

用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；

7．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB.点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E.F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC.设点P的运动时间为x（秒）.

（1）用含有x的代数式表示CE的长； （2）求点F与点B重合时x的值；

（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）.求y与x之间的函数关系式；

（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的x值. 【答案】 （1）解：∵∠C=90°，PD⊥BC， ∴DP∥AC，

∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形， CE=PD.. ∴ ∴CE=6x；

.

（2）解：∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角， ∴△CEF∽△CBA， ∴ ∴

当点F与点B重合时，

.

.

CF=CB，9x=20. 解得

.

（3）解：当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20， 解得 当

. 时，

=-51x2+120x.当 ＜x≤ 时，

= （或

）

（20-4x）2.

（4）解：①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x= ；△B′DE为拼成的三角形；

②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x= ；△BDC为拼成的三角形；

③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x= ，△DPF为拼成的三角形.

【解析】【分析】（1）首先证明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式进而得出表示CE的长；（2）根据当点F与点B重合时，FC=BC，即可得出答案；（3）首先证明

Rt△DOE∽Rt△CEF，得出 边长相等得出答案.

，即可得出y与x之间的函数关系式；（4）根据三角形

8．

（1）【探索发现】如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一点O.用”S”表示三角形的面积，有S△ABD：S△ACD＝BD：CD，这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，可得S△ABD：S△ACD＝

，又可证△BDM～△CDN，∴BM：CN＝BD：CD，

∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD.由此可得S△BAO：S△BCO＝________；S△CAO：S△CBO＝________；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝________.

（2）【灵活运用】如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，连接AF，BE和CE，AF分别交BE，CE于点G，M.

若AE＝DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；

（3）若点E，F分别是边AD，CD的中点，且AB＝4.则四边形EMFD的面积是多少？ （4）【拓展应用】如图3，正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P，BG⊥AF于点G，连接OG，请直接写出S△OGP的值.

【答案】 （1）AE：EC；AF：BF；1：6 （2）解：结论：AF＝BE，AF⊥BE. 理由：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵AE＝DF，

∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DAF+∠AEB＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴AF⊥BE.

（3）解：如图2﹣1中，连接DM.

根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称， ∴S△DME＝S△DMF ， ∵AE＝DE，

∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF ， ∵S△ADF＝ ×4×2＝4， ∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF＝ ， ∴S四边形EMFD＝ . 故答案为 .

（4）拓展应用：如图3中，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AC＝BD＝4 ∵DF＝FC， ∴DF＝FC＝2， ∵DF∥AB， ∴

，

，OA＝OB＝OD＝OC＝2

，

∴OP：OB＝OP：OA＝1：3， ∵BG⊥PA，AO⊥OB， ∴∠AGB＝∠AOB＝90°，

∵∠OAP+∠APO＝90°，∠PBG+∠BPG＝90°， ∴∠PAO＝∠PBG， ∵∠APO＝∠BPG， ∴△AOP∽△BGP， ∴ ∴

，∵∠GPO＝∠BPA，

∴△GPO∽△BPA， ∴

，

∴S△ABP＝ S△ABD＝ ， ∴S△GOP＝

.

【解析】【解答】（1）探索发现：由题意：S△BAO：S△BCO＝AE：EC；S△CAO：S△CBO＝AF：BF；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝1：6， 故答案为：AE：EC，AF：BF，1：6.

【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可.【灵活运用】（1）结论：AF＝BE，AF⊥BE.证明△BAE≌△ADF（SAS）即可解决问题.（2）根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，推出S△DME＝S△DMF ， 由AE＝DE，推出S△AEM＝S△DME＝S△DMF ， 求出

△ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由△GPO∽△BPA，推出 可解决问题.

即

9．如图1，抛物线

平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与 轴

相交于点C，与原抛物线相交于点D．

；

为直角，边

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积

，试探求：

（2）如图2，直线AB与 轴相交于点P，点M为线段OA上一动点， MN与AP相交于点N，设 ① 为何值时

为等腰三角形；

② 为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少． 【答案】 （1）解：设平移后抛物线的解析式 将点A（8，,0）代入，得 所以顶点B（4,3）， 所以S阴影=OC•CB=12

=

， ，

（2）解：设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得

，解得：

所以直线AB的解析式为

，

，作NQ垂直于x轴于点Q， ，纵坐标为

，

①当MN＝AN时， N点的横坐标为

由三角形NQM和三角形MOP相似可知 去）.

,得 ，解得 （舍

当AM＝AN时，AN＝

，MQ＝

,由三角形ANQ和三角形APO相似可知 ，

，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知 解得： t＝12（舍去）； 当MN＝MA时， 故

；

故

得：

，

是钝角，显然不成立,

②由MN所在直线方程为y= 得点N的横坐标为XN= 由判别式△=x2N﹣4（36﹣ 又因为0＜xN＜8，

所以xN的最小值为6，此时t=3，

，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立， ，即t2﹣xNt+36﹣xN=0， ）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，

当t=3时，N的坐标为（6，\"\"），此时PN取最小值为

【解析】【分析】（1）平移前后的两个二次函数的a的值相等，平移后的图像经过点原点，因此设函数解析式为：

， 将点A的坐标代入就可求出b的值，再

求出顶点B的坐标，利用割补法可得出阴影部分的面积=以OC，BC为边的矩形的面积。 （2）利用待定系数法先求出直线AB的函数解析式，作NQ垂直于x轴于点Q，再分情况讨论：当MN＝AN时， 就可表示出点N的坐标，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于t的方程，求出t的值；当AM＝AN时再由△ANQ和△APO相似，△NQM和△MOP相似，得出对应边成比例，分别求出t的值，然后根据当MN＝MA时， ∠ MNA = ∠ MAN < 45 ° 故 ∠ AMN 是钝角，可得出符合题意的t的值；②将直线MN和直线AB联立方程组，可得出点N的横坐标，结合根的判别式可求出xN≥6或xN≤﹣14，然后由0＜xN＜8，就可求得结果。

10．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．

（1）求证：PG与⊙O相切； （2）若 = ，求 的值；

（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．

【答案】（1）解：如图，连接OB，则OB=OD，

∴∠BDC=∠DBO， ∴∠GBC=∠BDO， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBO+∠OBC=90°， ∴∠GBC+∠OBC=90°， ∴∠GBO=90°， ∴PG与⊙O相切。

∵∠BAC=∠BDC、∠BAC=∠GBC，

（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，连接OA， 则∠AOM=∠COM= ∠AOC， ∵

∴∠ABC= ∠AOC=∠COM， 又∵∠EFB=∠OMC=90°， ∴△BEF∽△OCM， ∴

，

∵CM= AC，

∴ 又∵ ∴

， ，

（3）解：由（2）可知=，则BE=10. ∵PD=OD，∠PBO=90°， ∴BD=OD=8， 在Rt△DBC中，BC= 又∵OD=OB，

∴△DOB是等边三角形， ∴∠DOB=60°，

∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC， ∴∠OCB=30°， ∴ ∴BF=8

， = ﹣

，

x， =8

，

∴可设EF=x，则EC=2x、FC=

x， ﹣ ， ， ，

）=2

在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2 ， ∴100=x2+（8 解得：x=6± ∵6+ ∴x=6﹣ ∴EC=12﹣2

x）2 ，

＞8，舍去，

∴OE=8﹣（12﹣2

﹣4

【解析】【分析】（1）连接OB，则需要证明∠GBO=∠GBC+∠OBC=90°；由CD是⊙O的直径，则∠DBO+∠OBC=90°，即需要证明∠GBC=∠BDO，由同弧所对的圆周角相等，可知∠BAC=∠BDC，而∠BAC=∠GBC，∠BDC=∠DBO，则可证得∠GBC=∠BDO。 （2）因为已知

=，求

,其中EF，BE是△BEF的两条边，而AC，OC是△AOC的两条

边，但△BEF和△AOC不相似，则可构造两三角形相似，因为△BEF是直角三角形，则可过

点O作OM⊥AC于点M，连接OA，即构造△BEF∽△OCM，从而可求得。

（3）由（2）得的值及OC=8求出BE；由PD=OD，且∠PBO=90°，根据“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半”可得BD=OD=8，由勾股定理可求得BC的长，则△DOB是等边三角形，则在直角三角形ECF中存在特殊角30度，不妨设EF=x，则CE=2x，CF=Rt△BEF中，由勾股定理可得BE2=EF2+BF2 ， 构造方程解答即可。

x。在

11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.

（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接DG，若AC∥EF时. ①求证：△KGD∽△KEG； ②若

，AK=

，求BF的长.

【答案】 （1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，

∴∠KGE=∠GKE=∠AKH， 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG， ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∴EF是⊙O的切线.

（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，

又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD， 又∠DKG=∠CKE， ∴△KGD∽△KGE. ②连接OG，如图所示.∵ 设

，∴

，AK= ，

， ，则

KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k. 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2 ， 即

，

，

，

，则

，

设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k， 由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ， 在Rt△OGF中， ∴

，∴

，∴

，

【解析】【分析】（1）连接OG.根据切线的判定，证出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切线.（2）①证∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE.②连接OG. 设

，

，

，则

，

，在Rt△AHK中，根据勾股定

理得AH2+HK2=AK2 ， 即

；在Rt△OGF中，

；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ，

，

，

12．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝5cm，BC＝6cm，点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E.F.G运动的时间为t（单位：s）.

（1）当t等于多少s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B’与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】 （1）解：若四边形EBFB′为正方形，则BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t， 即：5﹣t＝3t， 解得t＝1.25； 故答案为：1.25

（2）解：分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG， 则有

，即

，

解得：t＝1.4； ②若△EBF∽△GCF， 则有

，即

，

（不合题意，舍去）或t＝﹣7+

.

）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶

解得：t＝﹣7﹣ 点的三角形相似.

∴当t＝1.4s或t＝（﹣7+

（3）解：假设存在实数t，使得点B′与点O重合. 如图，过点O作OM⊥BC于点M，

则在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝ BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5， 由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2 ， 即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2 解得：t＝ ；

过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，

由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2 ， 即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2

解得：t＝ . ∵ ≠ ，

∴不存在实数t，使得点B′与点O重合

【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，得到BE＝BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题.假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在