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2021年江苏省常州市中考数学试卷

来源：华佗小知识

2021年江苏省常州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)

1、(2分)2的倒数是（） A. 2

B.-2

C. 2 1

D.- 2

2、(2分)计算（m2)3的结果是（） A. m5

B. m6

C. m8

D. m9

3、(2分)如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.正方体

B.圆锥

C.圆柱

D.球

4、(2分）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）

A.它是轴对称图形，不是中心对称图形 B.它是中心对称图形，不是轴对称图形 C.它既是轴对称图形，也是中心对称图形 D.它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

5、(2分)如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC=60°，则∠OAB的度数是（）

A.20°

B.25°

C.30°

D.35°

6、(2分)以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是

，则对应的转盘是（）

7、(2分)已知二次函数y＝(a-1)x，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）

A.a＞ 0

B.a ＞1

C.a≠1

D.a＜1

8、(2分)为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格y1(元/件)随时间t (天)的变化如图所示，设y2(元/件)表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（）

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)

9、（2分）化简：√27＝ 10、(2分）计算:2a2－(a2＋2)＝ 11、(2分)分解因式：x2－4y2＝

12、(2分)近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为

13、(2分）数轴上的点A、B分别表示-3、2，则点离原点的距离较近（填“A”或“B”).

14、(2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上.若BC＝3，则点A的坐标是

15、(2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE∥AB，则∠AED＝ °

16、(2分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是

17、(2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝ .

18、(2分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点(点D与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是

三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19、(6分)计算：√4－(-1)2－(π－1)0＋2-1

20、(8分)解方程组和不等式组：（1）{

2x−y＝3

x−2＜−x3x＋6＞0x＋y＝0

（2）{

21、(8分)为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图.

（1）本次调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；

（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．

22、(8分)在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中.

（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是；

（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回)，再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率.

23、(8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE.

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC.

①用直尺和圆规在图中作出△A′BC (保留作图痕迹，不要求写作法)； ① 连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 .

24、(8分)为落实节约用水的，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？

25、(8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x＋b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝𝑥(x＞0)的图象交于点C，连接OC．已知点A(-4，0)，AB＝2BC.

𝑘

（1）求b、k的值；（2）求△AOC的面积．

26、(10分)【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合\"思想的典型应用.

【理解】

（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b(0＜a＜b) .

①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示)；

②比较大小：CE CD(填“＜”、“＝”或“＞”)，并用含a、b的代数式表示该大小关系.

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝(x＞0)

𝑥1

的图象上，横坐标分别为m、n，p＝m＋n，q＝𝑚＋𝑛，记l＝4pq

①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝； ②通过归纳猜想，可得l的最小值是．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立.

111

27、(10分)在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M(-2，0)、N(-1，0)，点Q(m，n)在一次函数y＝-2x＋1的图象上.

（1）①如图，在点B（2,0）、C(0，-1)、D(-2，-2)中，点M的关联点是 (填“B”、“C”或“D”)；

②若在线段MN上存在点P(1，1)的关联点P′，则点P′的坐标是；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E(4，2)、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q.若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标.

28、(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx(k≠0）和二次函数y＝-4x2＋bx＋3的图象都经过点A(4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上一点(点D与点A、O、B不重合)，E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作平行四边形DEGF.

（1）填空：k＝，b＝；

（2）设点D的横坐标是t(t＞0)，连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长.

2021年江苏省常州市中考数学试卷参

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)

1、(2分)1

2的倒数是（） A. 2 B.-2

C. 1

2 答案：A 考点：倒数

解析：1

2的倒数是2，故选：A.

2、(2分)计算（m2)3

的结果是（） A. m5

B. m6

C. m8

答案：B

考点：幂的乘方与积的乘方解析：（m2)3＝m2×3＝m6 故选：B

3、(2分)如图是某几何体的三视图，该几何体是（

A.正方体

B.圆锥

C.圆柱

答案：D

考点：由三视图判断几何体

解析：—个几何体的三视图都是圆，这个几何体是球. 故选：D.

D.- 1

D. m9

）

D.球

4、(2分）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）

A.它是轴对称图形，不是中心对称图形 B.它是中心对称图形，不是轴对称图形 C.它既是轴对称图形，也是中心对称图形 D.它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形答案：A

考点：轴对称图形；中心对称图形

解析：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A

5、(2分)如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC=60°，则∠OAB的度数是（）

A.20° 答案：C

考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理解析：∵∠AOC＝60°， ∴∠B＝2∠AOC＝30°， ∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠B＝30°，故选：C.

6、(2分)以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任

B.25° C.30° D.35°

意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是

，则对应的转盘是（）

答案：D 考点：几何概率

解析：A.∵圆被等分成2份，其中阴影部分占1份， ∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；

B.∵圆被等分成4份，其中阴影部分占1份， ∴落在阴影区域的概率为：4，故此选项不合题意； C.∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份， ∵落在阴影区域的概率为：5，故此选项不合题意； D.∵圆被等分成6份，其中阴影部分占2份， ∴落在阴影区域的概率为：6＝3，故此选项符合题意；故选：D.

7、(2分)已知二次函数y＝(a-1)x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）

A.a＞ 0 答案：B

考点：二次函数图像与系数的关系

解析：∵二次函数y＝(a-1)x2，当x＞0时，y随x增大而增大， ∴a－1＞0， ∴a＞1，故选：B

B.a ＞1

C.a≠1

D.a＜1

111

答案：A

考点：函数的图像

解析：由商品的价格y1 (元/件）随时间t (天）的变化图得：商品的价格从5增长到15，然后保持15不变，一段时间后又下降到5，

∴第1天到第t天该商品的平均价格变化的规律是先快后慢的增长，最后又短时间下降，但是平均价格始终小于15.

故选：A

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)

9、（2分）化简：√27＝答案：3 考点：立方根解析：∵3＝27， ∴√27＝3，故答案为：3

10、(2分）计算:2a2－(a2＋2)＝答案：a2－2 考点：整式的加减

解析：原式＝2a2－a2－2＝a2－2 故答案为：a2－2.

11、(2分)分解因式：x2－4y2＝答案：(x＋2y)(x－2y) 考点：因式分解

解析：x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)，故答案为：(x＋2y)(x－2y)

答案：8.19×105 考点：科学计数法解析：819000＝8.19×105 故答案是：8.19×105.

13、(2分）数轴上的点A、B分别表示-3、2，则点离原点的距离较近（填“A”或“B”).

答案：B 考点：数轴

解析：数轴上的点A、B分别表示-3、2， ∵|-3|＝3，|2|＝2，3＞2， ∴点B离原点的距离较近．故答案为：B.

14、(2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上.若BC＝3，则点A的坐标是

答案：（3,0）

考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质解析：∵四边形0ABC是平行四边形，BC=3， ∴OA＝BC＝3， ∵点A在x轴上， ∴点A的坐标为(3，0)，故答案为：(3，0).

15、(2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE∥AB，则∠AED＝ °

答案：100

考点：平行线的性质；三角形内角和定理解析：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∵∠B＝40°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°， ∵DE∥AB，

∴∠A＋∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°－80°＝100° 故答案为：100.

答案：12

考点：三角形的面积；三角形中位线定理；矩形的判定解析：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH， ∴DG＋EH＝DE＝3， ∴BC＝GH＝3＋3＝6， ∴△ABC的边BC上的高为4， ∴S△ABC＝2×6×4＝12，故答案为：12.

17、(2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝ .

答案：10

考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解三角形解析：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，

√10

∵四边形CDFE是边长为1的正方形， ∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AD＝2，BE＝3，

∴AB＝√AC2＋BC2＝5，AF＝√AD2＋DF2＝5，BF＝√BE2＋EF2＝√10，设BG＝x ,

∵FG2＝AF2－AG2＝BF2－BG2，..5－(5-x)2＝10－x2，解得：x＝3， ∴FG＝√BF2－BG2＝1,

∴sin∠FBA＝𝐵𝐹＝ 10 故答案为：10

√10𝐹𝐺√10

答案：𝟑＜AD＜2

考点：垂线段最短；含30度角的直角三角形；勾股定理；勾股定理；圆周角定理；切线的性质

解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1， ∴AB＝2，

设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，

① 当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；

② 当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直角边的交点，如图

所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；

𝟒

当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示，

设圆的半径为r，即AF＝DF＝EF＝r， ∵EF⊥BC，∠B＝30°， ∴BF＝2EF＝2r， ∴r＋2r＝2，解得r＝3； ∴AD＝2r＝3；

综上，AD的长的取值范围为：3＜AD＜2 故答案为：3＜AD＜2

三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19、(6分)计算：√4－(-1)2－(π－1)0＋2-1 答案：2 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂解析：原式＝2－1－1＋2

＝2

20、(8分)解方程组和不等式组：（1）{

2x−y＝3

x−2＜−x3x＋6＞0x＋y＝0

（2）{

x＝1

答案：（1）{；（2）-2＜x＜1

y＝−1

考点：解二元一次方程组；解一元一次不等式组解析：（1）{

2x−y＝3 ②② ＋②，得：3x＝3，解得x＝1，

将x＝1代入①，得：1＋y＝0，解得y＝-1，则方程组的解为{

x＝1y＝−1

；

x＋y＝0 ①

（2）解不等式3x＋6＞0，得：x＞-2，解不等式x－2＜-x，得：x＜1，则不等式组的解集为-2＜x＜1.

（1）本次调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；

（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．

答案：（1）100；（2）见解析；（3）300

考点：总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图解析：（1）55÷55%＝100，

故答案为：100；

（2）完全了解的人数为：100×30%＝30(人) 较少了解的人数为：100－30－55－5＝10(人) 补全条形统计图如下：

（3）估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为：2000×30%＝600(人)，

答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为600人. 22、(8分)在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中.

（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是；（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回)，再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率.

答案：（1）3；（2）3

考点：菱形的判定与性质；正方形的判定；概率公式；列表法与树状图法解析：（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是3，故答案为：3；（2）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种， ∴四边形ABCD—定是正方形的概率为6＝3

23、(8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE.

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC.

①用直尺和圆规在图中作出△A′BC (保留作图痕迹，不要求写作法)； ③ 连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 . 答案：（1）见解析；（2）①图见解析，②平行考点：全等三角形的判定与性质；作图-轴对称变换解析：证明：（1）∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，

AB＝DE{∠ABC＝∠DEF

BC＝EF

∴△ABC≌△DEF(SAS)；

（2）如图所示，△A′BC即为所求：

直线A′D与l的位置关系是平行，故答案为：平行.

答案：见解析

考点：分式方程的应用

解析：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，

根据题意，得𝑥－2𝑥＝5. 解得x＝2.

经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意. 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨.

𝑘

（1）求b、k的值；（2）求△AOC的面积．

答案：（1）b＝2，k＝6；（2）6

考点：反比例函数与一次函数的交点问题解析：（1）作CD上y轴于D，则△ABO∽△CBD， ∴BC＝CD ∵AB＝2BC， ∴AO＝2CD， ∵点A(-4，0)， ∴OA＝4， ∴CD＝2，

∵点A(-4，0）在一次函数y＝2x＋b的图象上， ∴b＝2， ∴y＝2x＋2，当x＝2时，y＝3， ∴C(2，3 )，

∵点C在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，

𝑥𝑘

∴k＝2×3＝6；

(2）作CE⊥x轴于E， S△AOC＝2×OA×CE＝2×4×3＝6. 26、(10分)【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合\"思想的典型应用.

【理解】

（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b(0＜a＜b) .

①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示)；

②比较大小：CE CD(填“＜”、“＝”或“＞”)，并用含a、b的代数式表示该大小关系.

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝𝑥(x＞0)的图象上，横坐标分别为m、n，p＝m＋n，q＝＋，记l＝pq

𝑚

𝑛

①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝； ②通过归纳猜想，可得l的最小值是．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立.

答案：（1）①CD＝√ab，EC＝2(a＋b)，②＞，a＋b＞2√ab；（2）①8，1，②见解析考点：反比例函数综合题解析：（1）①如图1中， ∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠A＝90°，∠A＋∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴△ADC∽△CDB， ∴CD＝DB， ∴CD2＝AD·DB，

CD9

∵AD＝a，DB＝b，CD＞0， ∴CD＝√ab，

∵∠ACB＝90°，AE＝EB， ∴EC＝2AB＝2 (a+b)， ②∵CD⊥AB，

∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即2(a+b)＞√ab， ∴a＋b＞2√ab，故答案为：＞.

（2）①当m＝1，n＝2时，l＝8；当m＝3，n＝3时，l＝1，故答案为：8，1. ②猜想：l的最小值为1. 故答案为：1.

理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J (

m＋n29

，11＋mn2

) ，

∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方， ∴矩形JCOG的面积＞1，

当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1， ∴矩形JCOG的面积≥1， ∴

m＋n2

·11＋mn2

≥1，

即l≥1 ， ∴l的最小值为1．

（1）①如图，在点B（2,0）、C(0，-1)、D(-2，-2)中，点M的关联点是 (填“B”、“C”或“D”)；

答案：（1）①B，②（-2,0）；（2）-1≤m≤0或3≤m≤1；（3）（-3，3）或（3，-5）考点：几何变换综合题解析：（1）如图1中，

①如图1中，取点T(0，2)，连接MT，BT， ∵M(-2，0)，B(2，0)， ∴OT＝OM＝OB＝2，

∴△TBM是等腰直角三角形，

∵在点B(2，0)、C (0，-1) .D (-2，-2）中，点M的关联点是点B，故答案为:B.

②取点T(0，-1)，连接MT，PT，则△MTP是等腰直角三角形，

∴线段MN上存在点P(1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是(-2，0)，故答案为：(-2，0).

（2）如图2-1中，当M，Q是互相关联点，设Q(m，-2m+1)，△MTQ是等腰直角三角形，

过点Q作QH⊥y轴于H， ∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，

∴∠MTO＋∠QTH＝90°，∠QTH＋∠TQH＝90°， ∴∠MTO＝∠TQH， ∵TM＝TQ，

∴△MOT≌△THQ(AAS)， ∴QH＝TO＝-m，TH＝OM＝2， ∴-2m＋1＝2－m， ∴m＝―1.

如图2-2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m＝0，

观察图象可知，当-1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，如图2-3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q(m，-2m＋1)

过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ(AAS)， ∴QH＝TO＝m，TH＝OM＝1， ∴1－2m＋1＝m， ∴m＝3.

如图2-4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，

观察图象可知，当3≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，

解法二：在MN上任取一点Q′，然后作出Q′的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q′的坐标分别是(m－1，0) 、(1－3m，0），再根据-2≤x≤-1可以求出m的取值范围.

综上所述，满足条件的m的值为-1≤m≤0或3≤m≤1.

（3）如图3-1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q (t，-2t＋1).

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，

∴∠QTH＋∠ETG＝90°，∠ETG＋∠GET＝90°， ∴∠HTQ＝∠GET， ∵TQ＝TE，

∴△THQ≌△EGT(AAS)， ∴QH＝TG＝-t，TH＝EG＝4， ∵OH＝-2t＋1，OG＝2， ∴-2t＋1－4＝2＋t， ∴t＝-3， ∴Q(-3，3).

如图3-2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q(t，-2t＋1).

135

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，

∴∠QTH＋∠ETG＝90°，∠ETG＋∠GET＝90°， ∴∠HTQ＝∠GET， ∵TQ＝TE，

∴△THQ≌△EGT(AAS)， ∴QH＝TG＝t, TH＝EG＝4， ∵OH＝2t－1，OG＝2， ∴2t－1－4＝t－2， ∴t＝3， ∴Q(3，-5).

综上所述，满足条件的点Q的坐标为(-3，3)或(3，-5).

（1）填空：k＝，b＝；

（2）设点D的横坐标是t(t＞0)，连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝3S▱DEGF，求OD的长.

答案：（1）4，1；（2）

15−√1772

；（3）36 115

考点：二次函数综合题

解析：（1）∵正比例函数y＝kx(k≠0）经过A(4，3)， ∴3＝4k， ∴k＝4，

∵二次函数y＝-4x2＋bx＋3的图象经过点A(4，3 )， ∴3＝-4×42＋4b＋3， ∴b＝1，故答案为：4，1.

（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF.

∵四边形DEGF是平行四边形， ∴∠G＝∠EDF ∵∠EGF＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠EDF， ∴EF＝ED， ∵EP⊥DF， ∴PD＝PF，

∵D(t，4t)， ∴OD＝AE＝4t， ∵AC⊥AB， ∴∠OAC＝90°， ∴tan∠AOC＝4， ∵OA＝√32＋42＝5，

∴AC＝OA·tan∠AOC＝， OC＝AC×＝，

∴EC＝AC－AE＝4－4t， ∵tan∠ACO＝，

155

∵点E的纵坐标为3－t， ∵F(t，-4t2＋t＋3)，PF＝PD， ∴

13−t2＋t＋3＋t441

＝3－t，或t＝

15＋√17722

解得t＝

15−√177（舍弃） 1

∴满足条件的t的值为

15−√177（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝3S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，

设PF交AB于J， ∵AC⊥AB，PF⊥AB， ∴PJ⊥AE，

∴DJ:AJ＝DP:PE＝2，

∵D(t，4t)，F(t，-4t2＋t＋3)

∴OD＝4t，DF＝-4t2＋t＋3－4t＝-4t2＋4t＋3

∴DJ＝5DF＝-20t2＋20t＋5，AJ＝2DJ＝-40t2＋40t＋10， ∵OA＝5，

∴4t－20t2＋20t＋5－40t2＋40t＋10＝5，整理得9t2－59t＋92＝0，解得t＝9或4(舍弃)， ∴OD＝4t＝36. 5

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