（完整版）全等三角形经典题型——辅助线问题

全等三⾓形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三⾓形问题最主要的是构造全等三⾓形，构造⼆条边之间的相等，构造⼆个⾓之间的相等【三⾓形辅助线做法】

图中有⾓平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。⾓平分线平⾏线，等腰三⾓形来添。⾓平分线加垂线，三线合⼀试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三⾓形中两中点，连接则成中位线。三⾓形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三⾓形“三线合⼀”法：遇到等腰三⾓形，可作底边上的⾼，利⽤“三线合⼀”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三⾓形3.⾓平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端

5.⽤“截长法”或“补短法”：遇到有⼆条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有⼀个⾓为60度或120度的把该⾓添线后构成等边三⾓形

7.⾓度数为30、60度的作垂线法：遇到三⾓形中的⼀个⾓为30度或60度，可以从⾓⼀边上⼀点向⾓的另⼀边作垂线，⽬的是构成30-60-90的特殊直⾓三⾓形，然后计算边的长度与⾓的度数，这样可以得到在数值上相等的⼆条边或⼆个⾓。从⽽为证明全等三⾓形创造边、⾓之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直⾓三⾓形，正⽅形时，或30-60-90的特殊直⾓三⾓形，或40-60-80的特殊直⾓三⾓形,常计算边的长度与⾓的度数，这样可以得到在数值上相等的⼆条边或⼆个⾓，从⽽为证明全等三⾓形创造边、⾓之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下⼏种：最主要的是构造全等三⾓形，构造⼆条边之间的相等，⼆个⾓之间的相等。1)遇到等腰三⾓形，可作底边上的⾼，利⽤“三线合⼀”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三⾓形．

2)遇到三⾓形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三⾓形，D C BAED F CB A

利⽤的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三⾓形．

3)遇到⾓平分线在三种添辅助线的⽅法，（1）可以⾃⾓平分线上的某⼀点向⾓的两

边作垂线，利⽤的思维模式是三⾓形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是⾓平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在⾓平分线上的⼀点作该⾓平分线的垂线与⾓的两边相交，形成⼀对全等三⾓形。（3）可以在该⾓的两边上，距离⾓的顶点相等长度的位置上截取⼆点，然后从这两点再向⾓平分线上的某点作边线，构造⼀对全等三⾓形。4)过图形上某⼀点作特定的平分线，构造全等三⾓形，利⽤的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取⼀条线段与特定线段相等，或是

将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利⽤三⾓形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题⽬．

6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点

作连线，出⼀对全等三⾓形。

特殊⽅法：在求有关三⾓形的定值⼀类的问题时，常把某点到原三⾓形各顶点的线段连接起来，利⽤三⾓形⾯积的知识解答．⼀、倍长中线（线段）造全等

例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD⾄E使AE＝2AD，连BE，由三⾓形性质知AB-BE <2AD

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试⽐较BE+CF与EF的⼤⼩.解：(倍长中线,等腰三⾓形“三线合⼀”法)延长FD⾄G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三⾓形的三线合⼀知EG＝EF

在△BEG中，由三⾓形性质知EG故：EF

例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A

解：延长AE ⾄G 使AG ＝2AE ，连BG ，DG, 显然DG ＝AC ， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC ，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG

故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应⽤：腰Rt ACE ?，

1、以 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等

90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC ?为直⾓三⾓形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针⽅向旋转?

θ(0<θ<90)后，如图②所⽰，（1）问中得到的两个结论是否发⽣改变？并说明理由．

ABC ?

∴DE AM ⊥，DE AM 21

= ⼆、截长补短

1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD△ADB 是等腰三⾓形，F 是底AB 中点，由三线合⼀知 DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）

E

∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥A

2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ）EDCB

∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC从⽽;AB ＝AD+BCPCBA

3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分

别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的⾓平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法延长AB ⾄D ，使BD ＝BP ，连DP 在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40°DCBAP21CBA

从⽽∠BDP ＝40°＝∠ACP

△ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC

⼜∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从⽽BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延长BA ⾄F ，使BF ＝BC ，连FD △BDF ≌△BDC （SAS ）故∠DFB ＝∠DCB ，FD ＝DC ⼜AD ＝CD故在等腰△BFD 中 ∠DFB ＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD ＝180°

, 计算数值法）5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意⼀点，求证;AB-AC ＞PB-PC

解：（补短法）延长AC ⾄F ，使AF ＝AB ，连PD △ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP ＝PF 由三⾓形性质知PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC 应⽤：

分析：此题连接AC ，把梯形的问题转化成等边三⾓形的问题，然后利⽤已知条件和等边三⾓形的性质通过证明三⾓形全等解决它们的问题。 解：有AE AD BC +=

连接AC ，过E 作BC EF //并AC 于F 点 则可证AEF ?为等边三⾓形 即EF AE =，?=∠=∠60AFE AEF ∴?=∠120CFE⼜∵BC AD //，?=∠60B ∴?=∠120BAD ⼜∵?=∠60DEC ∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ?与FCE ?中CFE EAD ∠=∠，EF AE =，FEC AED ∠=∠

∴FCE ADE ∴FC AD = ∴AE AD BC += 点评：此题的解法⽐较新颖，把梯形的问题转化成等边三⾓形的问题，然后利⽤全等三⾓形的性质解决。三、平移变换

例1 AD 为△ABC 的⾓平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上⼀点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞AP .

解：（镜⾯反射法）延长BA ⾄F ，使AF ＝AC ，连FE AD 为△ABC 的⾓平分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CEDE ACBDEACBFO

EDCB A

在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从⽽P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC 中点M,连AM 并延长⾄N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE, ∴DM=EM,

∴△DMN ≌△EMA(SAS), ∴DN=AE, 同理BN=CA.

延长ND 交AB 于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE 。四、借助⾓平分线造全等

1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的⾓平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD ，DC+AE =AC证明 (⾓平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度, 则∠BAC+∠BCA=120度; AD,CE 均为⾓平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度.

在AC 上截取线段AF=AE,连接OF. ⼜AO=AO;∠OAE=∠OAF .则⊿OAE ≌ΔOAF(SAS), OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; ⼜CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD ≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长. 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD ，DC DG 垂直平分BC ，故BD ＝DC由于AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故有 ED ＝DF

故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF 。 AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 应⽤：1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利⽤该图形画⼀对以OP 所在直线为对称轴的全等三⾓形。请你参考这个作全等三⾓形的⽅法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直⾓，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA

的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直⾓，⽽(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成⽴？若成⽴，请证明；若不成⽴，请说明理由。

解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成⽴。E DGFCBA

(第23题图)O P AM N E B C DF A E F BD

图① 图② 图③FED C

B A 证法⼀：如图1，在A

C 上截取AE AG =，连结FG ∵21∠=∠，AF 为公共边， ∴AGF AEF ∴AFG AFE ∠=∠，FG FE =

∵?=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴?=∠+∠6032∴?=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴?=∠60CFG

∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∴FD FG = ∴FD FE =

证法⼆：如图2，过点F 分别作AB FG ⊥于点G ，BC FH ⊥于点H ∵?=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴可得?=∠+∠6032，F 是ABC ?的内⼼ ∴160∠+?=∠GEF ，FG FH = ⼜∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∴FD FE = 五、旋转

例1 正⽅形ABCD 中，E 为BC 上的⼀点，F 为CD 上的⼀点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.证明：将三⾓形ADF 绕点A 顺时针旋转90度，⾄三⾓形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF ⼜AE=AE ，AF=AG ，所以三⾓形AEF 全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF⼜∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度

图 1

图 2

例2 D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。(1)当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。 (2)若AB=2，求四边形DECF 的⾯积。解：(计算数值法)（1）连接DC ，

D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，故有CD ⊥AB ，CD ＝DA CD 平分∠BCA ＝90°，∠

E CD ＝∠DCA ＝45° 由于DM ⊥DN ，有∠EDN ＝90° 由于 CD ⊥AB ，有∠CD A ＝90° 从⽽∠CDE ＝∠FD A ＝故有△CDE ≌△ADF （ASA ） 故有DE=DF （2）S △ABC =2, S四DECF= S △ACD =1

例3 如图，ABC ?是边长为3的等边三⾓形，BDC ?是等腰三⾓形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做⼀个060⾓，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ?的周长为 ；

解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与BD 的延长线交于点F ，在线段CF 上取点E ，使CE ＝BM∵△ABC 为等边三⾓形，△BCD 为等腰三⾓形，且∠BDC=120°， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°， ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°， ⼜∵BM=CE ，BD=CD ，∴△CDE ≌△BDM ，

∴∠CDE=∠BDM ，DE=DM ，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°， ∵在△DMN 和△DEN 中， DM=DE∠MDN=∠EDN=60° DN=DN

∴△DMN ≌△DEN ， ∴MN=NE∵在△DMA 和△DEF 中， DM=DE

∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS)， ∴MA=FEAMN ?的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应⽤：

1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =o ∠，60MBN =o ∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．

当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．

当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成⽴？若成⽴，请给予证明；若不成⽴，线段AE CF ，，EF ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

解：（1）∵AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，CF AE = ∴CBF ABE （SAS ）； ∴CBF ABE ∠=∠，BF BE = ∵?=∠120ABC ，?=∠60MBN

∴?=∠=∠30CBF ABE ，BEF ?为等边三⾓形（图1） A B CDE FM N（图2）A B CDE FM N（图3）ABCDE F MN

∴BF EF BE ==，BE AE CF 21== ∴EF BE CF AE ==+（2）图2成⽴，图3不成⽴。

证明图2，延长DC ⾄点K ，使AE CK =，连接BK 则BCK BAE

∴BK BE =，KBC ABE ∠=∠ ∵?=∠60FBE ，?=∠120ABC ∴?=∠+∠60ABE FBC ∴?=∠+∠60KBC FBC ∴?=∠=∠60FBE KBF∴EBF KBF ∴EF KF = ∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成⽴，AE 、CF 、EF 的关系是EF CF AE =-

2、（西城09年⼀模）已知2,PB=4,以AB 为⼀边作正⽅形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;

(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最⼤值,及相应∠APB 的⼤⼩.

分析：（1）作辅助线，过点A 作PB AE ⊥于点E ，在PAE Rt ?中，已知APE ∠，AP 的值，根据三⾓函数可将AE ，PE 的值求出，由PB 的值，可求BE 的值，在ABE Rt ?中，根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法，解法⼀：可将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90得到AB P '?，可得AB P PAD '，求PD

长即为求B P '的长，在P AP Rt '?中，可将P P '的值求出，在B P P Rt '?中，根据勾股定理可将B P '的值求出；

解法⼆：过点P 作AB 的平⾏线，与DA 的延长线交于F ，交PB 于G ，在AEG Rt ?中，可求出AG ，EG 的长，进⽽可知PG 的值，在PFG Rt ?中，可求出PF ，在PDF Rt ?中，根据勾股定理可将PD 的值求出；

（2）将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90，得到AB P '?，PD 的最⼤值即为B P '的最⼤值，故当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最⼤值，根据PB P P B P +'='可求B P '的最⼤值，此时?='∠-?=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图，作PB AE ⊥于点E∵PAE Rt ?中，?=∠45APB ，2=PA∴()1222===PE AE∵4=PBK ABCDE FMN图 2EPADCB

∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ?中，?=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB

②解法⼀：如图，因为四边形ABCD 为正⽅形，可将将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90得到AB P '?，，可得AB P PAD '，BP PD '=，A P PA '=

∴?='∠90P PA ，?='∠45P AP ，?='∠90PB P ∴2='P P ，2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；

解法⼆：如图，过点P 作AB 的平⾏线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于G ．在AEG Rt ?中，可得310cos cos =∠=∠=

ABE AE EAG AE AG ，31=EG ，32

=-=EG PE PG 在PFG Rt ?中，可得5

10cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ，1510=FG

在PDF Rt ?中，可得()523101*********222= +++

=+++=FG AG AD PF PD （2）如图所⽰，将PAD ?绕点A 顺时针旋转?90,得到AB P '?，PD 的最⼤值，即为B P '的最⼤值∵B P P '?中，PB P P B P +''π，22=='PA P P ，4=PB 且P 、D 两点落在直线AB 的两侧∴当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最⼤值（如图）

此时6=+'='PB P P B P ，即B P '的最⼤值为6 此时?='∠-?=∠135180P AP APB

3、在等边ABC ?的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC V 外⼀点，且=∠60MDN ,?=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．P ′PA CBDEG F PACBD E

图1 图2 图3

（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时

=LQ

； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成⽴吗？写出你的猜想并加以证明；

（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （⽤x 、L 表⽰）．分析：（1）如果DN DM =，DNM DMN ∠=∠，因为DC BD =，那么

=∠=∠30DCB DBC ，也就有?=?+?=∠=∠903060NCD MBD ，直⾓三⾓形MBD 、NCD

中，因为DC BD =，DN DM =，根据HL 定理，两三⾓形全等。那么NC BM =，?=∠=∠60DNC BMD ，三⾓形NCD 中，?=∠30NDC ，NC DN 2=，在三⾓形DNM 中，DN DM =，?=∠60MDN ，因此三⾓形DMN 是个等边三⾓形，因此BM NC NCDN MN +===2，三⾓形AMN 的周长=++=MN AN AM Q

AB AC AB NC MB AN AM 2=+=+++，三⾓形ABC 的周长AB L 3=，因此3:2:=L Q ．

（2）如果DN DM ≠，我们可通过构建全等三⾓形来实现线段的转换。延长AC ⾄E ，使BM CE =，连接DE ．（1）中我们已经得出，?=∠=∠90NCD MBD ，那么三⾓形MBD 和ECD 中，有了⼀组直⾓，CE MB =，DC BD =，因此两三⾓形全等，那么DE DM =，CDE BDM ∠=∠，?=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三⾓形MDN 和EDN 中，有DE DM =，?=∠=∠60MDN EDN，有⼀条公共边，因此两三⾓形全等，NE MN =，⾄此我们把BM 转

换成了CE ，把MN 转换成了NE ，因为CE CN NE +=，因此CN BM MN +=．Q 与L 的关系的求法同（1），得出的结果是⼀样的。

（3）我们可通过构建全等三⾓形来实现线段的转换，思路同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠，三⾓形BDM 和CDH 中，由（1）中已经得出的?=∠=∠90MB DCH ，我们做的⾓CDH BDM ∠=∠，CD BD =，因此两三⾓形全等（ASA ）

．那么CH BM =，DH DM =，三⾓形MDN 和NDH 中，已知的条件有DH MD =，⼀条公共边ND ，要想证得两三⾓形全等就需要知道HDN MDN ∠=∠，因为MDB CDH ∠=∠，因此?=∠=∠120BDC MDH ，因为?=∠60MDN ，那么?-?=∠60120NDH=60，因此NDH MDN ∠=∠，这样就构成了两三⾓形全等的条件．三⾓形MDN 和DNH就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==，三⾓形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN Q图 1N MAD C

B AB AN BM A

C AN 22+=-+．因为x AN =，L AB 31

=，因此三⾓形AMN 的周长L x Q 322+

=． 解：（1）如图1，BM 、NC 、MN 之间的数量关系：MN NC BM =+；此时32=L Q ． （2）猜想：结论仍然成⽴．

证明：如图2，延长AC ⾄E ，使BM CE =，连接DE ∵CD BD =，且?=∠120BDC ∴?=∠=∠30DCB DBC ⼜ABC ?是等边三⾓形 ∴?=∠=∠90NCD MBD 在MBD ?与ECD ?中 ??

=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴ECD MBD （SAS ） ∴DE DM =，CDE BDM ∠=∠ ∴?=∠-∠=∠60MDN BDC EDN在MDN ?与EDN ?中 ??

=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴EDN MDN （SAS ） ∴BM NC NE MN +==

故AMN ?的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++ ⽽等边ABC ?的周长AB L 3= ∴3

232==AB AB L Q （3）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则L x Q 32

2+=（⽤x 、L 表⽰）．

点评：本题考查了三⾓形全等的判定及性质；题⽬中线段的转换都是根据全等三⾓形来实现的，当题中没有明显的全等三⾓形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三⾓形。E图 2NMA CB H 图 3NMACB

【全等三⾓形经典题型】

4.⼩明不慎将⼀块三⾓形的玻璃摔碎成如图1所⽰的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）， 你认为将其中的哪⼀些块带去玻璃店，就能配⼀块与原来⼀样⼤⼩的三⾓形？应该带（ ） A ．第1块 B ．第2块 C ．第3块 D ．第4块

第4题图

23.（8分）已知，在ABC Δ中，°=90∠ACB ，BC AC =，点D 是AB 边上的中点，点E 在AC 边上，点F 在BC 边上，且CFAE =。试探究DF DE 、两条线段之间的关系，并说明理由。

第23题图

24.（8分）⽤两个全等的等边三⾓形ABC Δ和ACD Δ拼成四边形ABCD ，把⼀个含?60⾓的三⾓尺与这个四边形叠合，使三⾓尺的?60⾓的顶点与点A 重合，两边分别与AC AB 、重合，将三⾓尺绕点A 按逆时针⽅向旋转。P ′P

A CBDP ′PA CBD

（1）当三⾓尺的两边分别于四边形的两边CD BC 、相较于点F E 、时（如图a ），通过观察或测量CF BE 、的长度，你能得出什么结论？并说明理由。

（2）当三⾓尺的两边分别与四边形的两边CD BC 、的延长线相较于点F E 、时（如图b ），你在（1）中得到的结论还成⽴吗？并说明理由。

25.（10分）（1）如图（1），正⽅形ABCD 中，E 为边CD 上⼀点，连接AE ，过点A 作AE AF ⊥交CB 的延长线于F ，猜想AE 与AF 的数量关系为 。（说明理由）

（2）如图（2）在（1）的条件下，连接AC ，过点A 作AC AM ⊥交CB 的延长线于M ，观察并猜想CE 与MF 的数量关系 。（不必说明理由）

解决问题：①王师傅有⼀块如图所⽰的板材余料，其中°==90∠∠B A ，AD AB =。王师傅想切下⼀⼑后把它拼成正⽅形。请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼得⽰意图。 ②王师傅现在有两块同样⼤⼩的该余料，能否在每块上各切⼀⼑，然后拼成⼀个⼤的正⽅形呢？若能，请你画出剪拼的⽰意图：若不能，简要证明理由。

20、（本题满分6分）如图，线段AB 经过线段CD 的中点E ，且AD AC =.求证：BD BC =

第20题DCAB

25、（本题满分10分）如图，ACB ?和DCE ?均为等腰直⾓三⾓形，?=∠=∠90DCE ACB .点E D A 、、在同⼀条直线上，CM 为DCE ?中边上的⾼，连接BE . （1）求AEB ∠的度数（2）猜想线段BE AE CM 、、之间的数量关系，并说明理由.

第25题CA

26、（本题满分10分）在等腰直⾓三⾓形ABC 中，AC AB BAC =?=∠，90,直线MN 过点A 且MN ∥BC ，以点B 为⼀锐⾓顶点作BDE RT ?，?=∠90BDE ，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）.

（1）如图1，DE 与AC 交于点P ，⼩明发现：过点D 作AD 的垂线交AB 于点F ，可以证明出DP BD =.你也能证明出吗DP BD=？请你写出证明过程.

（2）在图2中，DE 与AC 延长线交于点P ，DP BD =是否成⽴？如果成⽴，请给予证明；如果不成⽴，请说明理由；（3）在图3中，DE 与AC 延长线交于点P ，是否相等与DP BD ？请直接写出你的结论，⽆需证明.