全等三⾓形证明经典题及答案
全等三⾓形证明经典50题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2
∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2
2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB
延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平⾏四边形 ⼜∠ACB=90∴平⾏四边形ACBP 为矩形ADBCC
∴AB=CP=1/2AB
3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
4. 5. 证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三⾓形BCF 全等于三⾓形EDF(边⾓边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE
在三⾓形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。
在三⾓形ABF 和三⾓形AEF 中 AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三⾓形ABF 和三⾓形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。已知：∠1=∠2，CD=DE，EFBBA CDF2 1 E
12
CD ABBA CDF2 1 EA B C D EF 21 A DBCDABC
如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE ⼜∵BE=BE∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE∵AB 知：AB
14. P 是∠BAC 平分线AD 上⼀点，AC>AB ，求证：PC-PBCD
B DC BAFEABC DP D ACB
在AC上取点E，
使AE＝AB。∵AE＝ABAP＝AP
∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB。PC＜EC＋PE
∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。
15.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
证明：
在AC上取⼀点D，使得⾓DBC=⾓C∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三⾓形ABD中，AE是⾓BAD的⾓平分线，∴AE垂直BD∵BE⊥AE
∴点E⼀定在直线BD上，
在等腰三⾓形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE16. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G ∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF ∽CDF AF=AG=5∴DC=CF=2
18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．解：延长AD ⾄BC 于点E,
∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三⾓形 ∴∠DBC=∠DCB
⼜∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三⾓形 ∴AB=AC在△ABD 和△ACD 中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC∴△ABD 和△ACD 是全等三⾓形（边⾓边）FA
ED C B
∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC
19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂⾜，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证明：
∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB
20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PEDCBAPAFE DC
BA MFECBA
27、（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。DCBA
∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD ⊥AC28、（10分）AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的⼀点。求证：BF=CFOEDCBAFED CBADCBAFDCBA
在△ABD 与△ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC
29、（12分）如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。FE DCBA
∵AB=DC AE=DF, CE=FB
CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABFAB=DC BF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE
30.公园⾥有⼀条“Z”字形道路ABCD，如图所⽰，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有⼀只⼩⽯凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只⽯凳E，F，M恰好在⼀条直线上.
证明：连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM
在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE
31．已知：点A、F、E、C在同⼀条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.
∵DF知：如图所⽰，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。DEA
F连接BD；∵AB=AD BC=D∴
∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD;两⾓相加，∠ADC=∠ABC ； ∵BC=DC E\\F 是中点 ∴DE=BF ； ∵AB=AD DE=BF∠ADC=∠ABC ∴AE=AF 。
33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的⼀点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．654321E DCBA证明：
在△ADC ，△ABC 中
∵AC=AC ，∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA ∴△ADC ≌△ABC （两⾓加⼀边） ∵AB=AD ，BC=CD 在△DEC 与△BEC 中∠BCA=∠DCA ，CE=CE ，BC=CD ∴△DEC ≌△BEC （两边夹⼀⾓） ∴∠DEC=∠BEC34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．
∵AD=DF ∴AC=DF∵AB
知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E ,AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长∵AD ⊥AB ∴∠BAC=∠ADE
⼜∵AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E 根据三⾓形⾓度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE∵BC=AE ，△ABC
≌△DAE （ASA ） ∴AD=AB=538．如图：
AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂⾜分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC
C
证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠CB AC D
E F
∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME 和△CMF 中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME ≌△CMF （AAS ） ∴MB=MC ．
39.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的⼀个为结论，推出⼀个正确的结论（只需写出⼀种情况），并加以证明． 已知：①AD=BC ，⑤∠DAB=∠CBA 求证：△DAB ≌△CBA
证明：∵AD=BC ，∠DAB=∠CBA ⼜∵AB=AB∴△DAB ≌△CBA
40．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成⽴吗若成⽴，请给出证明；若不成⽴，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE ． ∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ． ②∵△ADC ≌△CEB ， ∴CE=AD ，CD=BE ． ∴DE=CE+CD=AD+BE ．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE ． ⼜∵AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE ．
∴CE=AD ，CD=BE ． ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE
41．如图所⽰，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ， 即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，
∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ， ∴△ABF ≌△AEC （SAS ）， ∴EC=BF ；
（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ， ∴∠AEC=∠ABF ， ∵AE ⊥AB ， ∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM （对顶⾓相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC ⊥BF ．
42．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。AE BM CF
FA MN
E 1234
证明： （1）∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC ，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC ∴AM=AN（2）
∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF在△ABF 和△CDE 中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD∴△ABF≡△CDE（边⾓边）∴FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF
∴四边形BCEF是平⾏四边形∴BC‖EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN∴AE为公共,∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE⼜∵AC平⾏BD∴∠ACE+∠BDE=180⽽∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE为公共边∴△EBN≌△EBD∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分）如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．证明：
∵AD 是△ABC 的中线 BD=CD
∵DF=DE （已知） ∠BDE=∠FDC ∴△BDE ≌△FDC 则∠EBD=∠FCD∴BE ∥CF （内错⾓相等，两直线平⾏）。
46、(10分)已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂⾜，DE BF ． 求证：AB CD ∥． 证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90o ⼜∵AB=CD ，BF=DE∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE （HL ） ∴AF=CE∠BAF=∠DCEADECBF∴AB .3421DCBA
CE>DE 。当∠AEB 越⼩，则DE 越⼩。 证明：过D 作AE 平⾏线与AC 交于F ，连接FB
由已知条件知AFDE 为平⾏四边形，ABEC 为矩形 ，且△DFB 为等腰三⾓形。 RT △BAE 中，∠AEB 为锐⾓，即∠AEB<90°∵DF
∵AB=DC,AC=DB ，BC=BC ∴△ABC ≌△DCB ，
∴∠ABC=∠DCB ⼜∵BE=CE ，AB=DC ∴△ABE ≌△DCE ∴AE=DE
50．如图9所⽰，△ABC 是等腰直⾓三⾓形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．作CG ⊥AB,交AD 于H,ABC DE F图9A
CEDBAB EC D
则∠ACH=45o,∠BCH=45o
∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE ⼜∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE⼜∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE
