七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题训练经典题目(附答案)
一、幂的运算易错压轴解答题
1．我们约定 （1）试求 （2）想一想， 2．
和
，如: 的值; 是否与
相等，并说明理由.
.
（1）观察：
， ， 我们发现________
；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断
（3）我们可以发现：
（4）计算：
3．阅读以下材料：
.
与
之间的关系；
________ （）m（ab≠0）；
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr,1550-1617年）,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，若 ＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN,比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下： 设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,
∴M•N＝am•an＝am+n,由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式________； （2）求证：loga ＝logaM－logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),
（3）拓展运用：计算log69+log68－log62＝________.
4．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果ac＝b，那么a※b＝c． 例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0． （1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※ ＝________．
（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30． 5． （1）已知 （2）已知
， ，
，求 ，求
的值； 的值.
6．解答题
（1）若3a=5，3b=10，则3a+b的值． （2）已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值． 7．阅读理解：
乘方的定义可知：an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： 32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘） 42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘） 52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘） （1）20172×20175=________； （2）m2×m5=________；
（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017 ． 8． 算一算，填一填.
（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）2
﹣
= ，由上述计算，我
们发现（ ）2________（ ）2
﹣
（2）仿照（1），请你通过计算，判断 与
之间的关系．
（3）我们可以发现：（ ）（4）计算：（ ）2 ．
﹣
﹣m
________
（ab≠0）．
9．阅读理解：
乘方的定义可知：
（ 个 相乘）．观察下列算式回答问题：
（7个3相乘） （7个4相乘） （7个5相乘）
（1）（2）（3）计算： 10．综合题
________； ________；
．
（1）已知4m=a，8n=b，用含a，b的式子表示下列代数式： ①求：22m+3n的值 ②求：24m
﹣6n
的值
（2）已知2×8x×16=223 ， 求x的值． 11．综合题
（1）已知x =
（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
12．阅读下列材料： 一般地，n个相同的因数a相乘
记为an ， 记为an ． 如2×2×2=23=8，此时，3叫
，y =
，求
（n为正整数）的值；
做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）． （1）计算以下各对数的值：
log24=________，log216=________，log2=________．
（2）观察（1）中三数4、16、之间满足怎样的关系式，log24、log216、log2之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ logaM+logaN=________；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明上述结论．
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一、幂的运算易错压轴解答题
1．（1）解：根据题中的新定义得： 1012 脳 103=1015； （2）解：相等，理由如下： ∵ ∵ ∴ =
【解析】【分析】（1）根据题干提供的新定义运算法则 ，直接计算 解析： （1）解：根据题中的新定义得：
1012
103=1015；
（2）解：相等，理由如下： ∵ ∵ ∴
=
，直接计算可
【解析】【分析】（1）根据题干提供的新定义运算法则 得答案； （2）根据
，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案.
2．（1）=
（2）∵ ， ， ∴ 543= ； （3）= （4）解:
【解析】【分析】（1）（2）根据有理数乘方运算的方法及负指数的意义计算出结果后，就会发现，它们的值相等； （
解析： （1）= （2）∵
，
，
∴ =
；
（3）=
（4）解:
【解析】【分析】（1）（2）根据有理数乘方运算的方法及负指数的意义计算出结果后，就会发现，它们的值相等；
（3）通过观察即可发现：若果底数互为倒数，指数互为相反数的两个式子计算的结果是相等的，从而即可得出答案；
（4）首先根据（3）的结论将转化为 ， 然后根据同底数幂的乘法法则的逆用
将变形为
， 进而再利用积的乘方法则的逆用即可简化运算算出结果.
3．（1）4=log381（或log381=4）
（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an, ∴ MN ＝ aman ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga MN
解析： （1）4=log381（或log381=4）
（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an, ∴ ＝ ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga 又∵m－n＝logaM－logaN ∴loga ＝logaM－logaN （3）2
【解析】【解答】（1）由题意可得，指数式34=81写成对数式为：4=log381 ， 故答案为： 4=log381（或log381=4） 。
（3）解： log69+log68－log62 =log6(9×8÷2=log636=2.
）
【分析】（1）根据对数概念，即可将指数式改写成对数式；
（2） 设logaM＝m,logaN＝n,根据对数的定义可表示为指数式为:M＝am,N＝an, 然后代入 按同底数幂的除法法则算出结果，再根据题干中所给的对数定义及公式即可得出结论； （3） 根据公式loga（M•N）＝logaM+logaN 及 loga ＝logaM－logaN 的逆用即可即可将式子log69+log68－log62表示为log6(9×8÷2
），
从而根据对数定义算出答案。
4．（1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【
解析： （1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30， 4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【解析】【解答】（1）23＝8，2※8＝3， 24＝ ，2※ ＝﹣4，
﹣
故答案为：3；﹣4
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
5．（1）解：∵ ， ax=5 ∴ ay=5
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用同底幂乘法的逆用，可得ax+y=ax·ay=25,代入数据计算可得ay=5，从而求出ax+ay
解析： （1）解：∵ ∴
，
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用同底幂乘法的逆用，可得ax+y=ax·ay=25,代入数据计算可得ay=5，从而求出ax+ay的值.
（2）利用同底幂乘法的逆用及幂乘方的逆用，可得102α+2β=（10α)2(10β）2 ， 代入数据计算即可.
6．（1）解：∵3a=5，3b=10， ∴3a+b=3a×3b=5×10=50
（2）解：∵a+b=3，a2+b2=5， ∴ab= 12 [（a+b）2﹣（a2+b2）] = 12 （32﹣5） =
解析： （1）解：∵3a=5，3b=10， ∴3a+b=3a×3b=5×10=50 （2）解：∵a+b=3，a2+b2=5， ∴ab= [（a+b）2﹣（a2+b2）] = （32﹣5） =2
【解析】【分析】（1）同底数幂的乘法法则：数），将这个法则逆用即可求解。即（2）将已知条件a+b=3两边平方可得
(a不为0，m、n为正整
， 再将已知条件代入计算即可求解； =9,将
=5代入整理即可求解。
7．（1）20177 （2）m7
（3）解：（﹣2）2016×（﹣2）2017 =（﹣2）2016+2017 =（﹣2）4033 =﹣24033
【解析】【解答】解：（1）20172×20175=20
解析： （1）20177 （2）m7
（3）解：（﹣2）2016×（﹣2）2017 =（﹣2）2016+2017 =（﹣2）4033 =﹣24033
【解析】【解答】解：（1）20172×20175=20177 ， 故答案为：20177； （ 2）m2×m5=m7 ， 故答案为：m7；
【分析】（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（2）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（3）根据同底数幂的乘法可以解答本题．
8．（1）= （2）解： （3）=
（4）解：（ 715 ）﹣2=（ 157 ）2= 22549
【解析】【解答】解：（1）我们发现（ 23 ）2=（ 32 ）﹣2；故答案为：=；（3
解析： （1）= （2）解：
（3）=
（4）解：（ ）﹣
2=（ ）2=
【解析】【解答】解：（1）我们发现（ ）2=（ ）﹣
2；故答案为：=；（现：（ ）
﹣m
=
（ab≠0）．故答案为：=；
【分析】本题为观察总结规律题型，细心运算即可.
9．（1）20177 （2）m7
（3）解：原式=（-2）2016+2017 ， =（-2）4033 ， =-24033.
【解析】【
解析： （1）
（2）
（3）解：原式=（-2）2016+2017 ， =（-2）4033 ， =-24033.
【解析】【解答】解：（1）原式=20172+5 ， =20177. （2）原式=m2+5 ， =m7.
【分析】（1）根据同底数幂的乘法公式即可得出答案. （2）根据同底数幂的乘法公式即可得出答案. （3）根据同底数幂的乘法公式即可得出答案.
3）我们可以发10．（1）解：∵4m=a，8n=b， ∴22m=a，23n=b， 22m+3n=22m•23n=ab；
②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2= a2b2
（2）解∵2×8
解析： （1）解：∵4m=a，8n=b， ∴22m=a，23n=b， 22m+3n=22m•23n=ab；
﹣6n
②24m=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=
（2）解∵2×8x×16=223 ， ∴2×（23）x×24=223 ， ∴2×23x×24=223 ， ∴1+3x+4=23， 解得：x=6：
【解析】【分析】（1）分别将4m ， 8n化为底数为2的形式，然后代入①②求解；（2）将8x化为23x ， 将16化为24 ， 列出方程求出x的值．
11．（1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- 15 ）2n=25［（-5）×（- 15 ）］2n=25
（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n. 验证：（2n+1)2-（2n
解析： （1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- ）2n=25［（-5）×（- ）］2n=25 （2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.
验证：（2n+1)2-（2n-1)2＝[(2n+1)+（2n-1)] [(2n+1)-（2n-1)] =4n×2=8n
【解析】【分析】（1）将x、y的值代入代数式，得出（-5）2×（-5）2n×（- 1 5 ）2n ， 再利用同底数幂的乘法法则及积的乘方法则计算即可。
（2）根据各个算式可知，左边为两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数，根据此规律，即可得出第n个等式为（2n+1)2-（2n-1)2=8n；再将等式的左边化简即可得证。
12．（1）2；4；6
（2）解：4×16=，log24+log216=log2 （3）loga（MN）
（4）证明：设logaM=b1 ， logaN=b2 ， 则 ab1 =M，
解析： （1）2；4；6
（2）解：4×16=，log24+log216=log2 （3）loga（MN）
（4）证明：设logaM=b1 ， logaN=b2 ， 则
=M，
=N，
，
∴MN=
∴b1+b2=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）
【解析】【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log2=6；（3）logaM+logaN=loga（MN）；
【分析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=，log24+log216=log2；（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）；（4）首先可设logaM=b1 ， logaN=b2 ， 再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．
