浙江省绍兴市诸暨市2020-2021学年高三上学期期末考试 数学 Word版含答案

诸暨市2020－2021学年第一学期期末考试试题

高三数学

注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,满分150分, 考试时间120分钟．

2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh 锥体的体积公式V=

13 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

Sh

13台体的体积公式Vh(S1S1S2S2)

其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高 其中R表示球的半径 其中R表示球的半径

球的表面积公式S=4πR2 球的体积公式V=

43πR3

第Ⅰ卷（选择题 共40分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．已知集合A{0,1}，B{y|y3x2x,xA}，则AB（ ▲ ） A．{0}

B．{1}

C．{0,1}

D．

2．已知复数z满足zz=1+i（i为虚数单位），则z（ ▲ ） A．i

B．i

C．1i

D．1i

xy10,223．若实数x,y满足约束条件xy10,则zxy的取值范围是（ ▲ ）

y1,1A．,

2C．0,5

2,B．  4 2D．

2 3 3 正视图 侧视图

0,5

34．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则

该几何体的体积（单位：cm）是（ ▲ ） A．24 C．47

B．30 D．67

4 4 俯视图

5. 若xR,kZ，则“

xk”是“tanx1”的（ ▲ ） 41

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知数列an的前n项和为Sn，且an0，nN,若数列an和Sn都是等差数列， 则下列说法不正确的是（ ▲ ） A．anSn 是等差数列 C．an

B．anSn 是等差数列 D．Sn 是等比数列

2 是等比数列

27． 已知函数f(x)x(exex)x2，若f(x)f(y)f(xy)，则（ ▲ ） A．xy0

B．xy0

C．xy0 D．xy0

8．设a0,若随机变量的分布列如下：

 P A．D()

-1 0 2 a 2a 3a C．D(2-1)

D．D(21)

则下列方差值中最大的是（ ▲ ）

B．D()

ex11,x1,9．已知函数f(x)，则下列说法正确的有（ ▲ ） g(x)f(x)axb，

lnx,0x1,①存在a,bR，函数g(x)没有零点； ②存在a,bR，函数g(x)恰有三个零点；

③任意bR，存在a0，函数g(x)恰有一个零点； ④任意a0，存在bR，函数g(x)恰有二个零点； A．1个

B． 2个 C．3个 D． 4个

10．如图，在三棱锥PABC中，ABAC，ABAP， D是棱BC上一点（不含端点）

且PDBD，记DAB为，直线AB与平面

P PAC所成角为，直线PA与平面ABC所成角为

，则（ ▲ ）

A. C.

, B. ,

A B C D ,

D.

,

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二．填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）

x2y21的离心率 e3，则双曲线的焦点坐标是 ▲ ；渐近11．已知双曲线2a2线方程是 ▲ ．

12. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天

2

顶距(080)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即lhtan.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记1、2)，则tan(12) ▲ ．

13．已知函数f(x)sin(x)(0,02)，且f(0)3,则 ▲ ；2，

若f(x)与g(x)sinx的周期相同，则= ▲ ． 14．若多项式

x62x7a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6a7(1x)7则a0 ▲ ；a6 ▲ ．

15. 某单位把15只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人(每人至少1只)，且三人领到的口罩

只数互不相同，则不同的分发方案有 ▲ 种;甲恰好领到3只口罩的概率为 ▲ ．

16．已知e1,e2,e3是平面向量，且e1,e2是互相垂直的单位向量，若对任意R均有e3e1

的最小值为e3e2，则e13e2e3e3e2的最小值为 ▲ ．

x2y21的左焦点为F，椭圆外一点P(0,t)(t1)，直线PF交椭圆17．已知椭圆C:22于A、B两点，过P作椭圆C的切线，切点为E，若3PE4PAPB，则t

▲ ．

三、解答题（本大题有5个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知bccosA⑴求角C的大小；

⑵若c23，ABC的面积为3，分别求ab、sinAsinB的值．

19．（本题满分15分）

如图，在三棱锥ABCD中，ABC是边长为3的等边三角形，CDCB, CD平面ABC，点M、N分别为

a． 2A

AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM//平

面APN.

（1）求证：BMAN；

（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．

3

M

B C

P N

D

20．（本题满分15分）

已知正项数列an、bn，记数列an的前n项和为Sn，若a1b1222Snan1，nbnbnbn1(n1)bn10

4，3（1）求数列an、bn的通项公式； （2）求数列2anbn的前n项和Tn．

21．（本题满分15分）

如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过F作斜率为k(k0)的直线交抛物线于

A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，且y10，弦AB中垂线交x轴于点T，过A作斜率为k的直线交抛物线于另一点C. （1）若y14，求点B的坐标；

（2）记ABT、ABC的面积分别为S1、S2,

若S2=4S1，求点A的坐标．

x22．（本题满分15分）已知函数f(x)eax1．

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在(0,)有零点x0，求证：

（i）

2lnax02lna； a（ii）f(ax0)(a1)3(a1).

诸暨市高三数学期末2021.2

一．选择题 1 C 二．填空题

11. 3,0；y2x 12. 1 13.

2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 10 A ；2 3 4

16 137214. 1 ； 15. ； 16. 3 17.

92三．解答题 18.解：（1）

1sinBsinCcosAsinA ……2′

22sin(AC)2sinCcosAsinA ……

1′

2sinAcosCsinA 2′

cosC12C3 1′

（2）12absinC3 ab23sinC4 2′

又c2a2b22abcosC 1′

12a2b2ab(ab)23ab 1′

(ab)2123ab24ab26 sinAsinBsinCc(ab)142662 2′

19. （1）CD面ABC BM面ABCCDBMA 又正ABC中，AMMCBMAC 2′

M G BMCDP BMACB D BM面ACDH CDACCN  C 1′

BMAN

5

……

………………

……

……2′

…………2′

……

…………

1′

（2）连MD交AN于G，连PG,作PHBC于H，连AH

面ABC面BCDBCPH面ABC ……

PHBC2′

面ABC面BCDPAH为AP与平面ABC所成角 ……1′

又1′

AN,DM都是ACD的中线 G为ACD的重心 ……

BM//PG面BMD面APNPG又 ……

2′

BM//面APN1P为BD的三等分点，PHCD131′

……

RtAHP中：PH1，AHAB2BH22ABBHcos1′

37,AP22……

sinPAH1′

PH12 ……AP224法二：建立如图空间直角坐标系：……1′

3333333B(3,0,0),N(0,,0),D(0,3,0),A(,0,),M(,0,),P(x0,y0,0) ……

222442′

BPBD(x03,y0,0)(3,3,0)

P(33,3,0) ……1′

设面APN的法向量为n(x,y,z)，

z A x

6

M x

B P N D APn0(33,3,33)(x,y,z)0n022AN(32,32,323)(x,y,z)0

(33)x3y3322z0(1)x(1)32x32y02y332z0 1′

令x1,则y2221,z121

3BMn(9332234,0,4)(1,21,)01 2131′

P(2,1,0) 1′ 又面ABC的法向量为：n1=(0,1,0) 1′

sinAPn(1,1,33)(0,1,0)1APn222 122142′

20. 解：（1）由题意知： a113,b11 2Snan1,2Sn+1an+11

3a1n+1anq3a1n3n 2′ 又

(bnbn1)nbn(n1)bn10,bn0

nbbnbnb2n3nn(n1)bn1b1bn1n2b1nnn112b1n2 7

……

…………

……

…………2′ ……

2′

……（2）

2anbnn13n ……1′

Tn23423333123T32333n13nnn1nn133 ……2′

123T211n332331n12(113n1)n13n3n139113n13 2316(11n13n1)3n1 Tn51n1443n123n 21. （1）设直线AB方程为xmy1 xmy12y24xy4my40y1y24 y114y21x24 B(1,1)即4 1′ （2）设

C(x3,y3)

ky1y24ABx,同理：k4AC1x2y1+y2y1y3 1′

4y40y1y2y1y30y32y1y21+y2y1y3 2′

yy14又

直线AB方程为：

yy(xx1)4x(y1y2)y4012

8

……2′

……2′

……2′

……1′

1′

1′

……

……

……

……

…… …… 1′

直线AB中垂线方程为：

2y12y2y1y2y1y2x1x2x1x2y(x),令y0xT22242282′ 又

S24S1dC4dT

44x)y23(y1y234(2y1y2)(y1y2)(2y1y2)4228y2212y2244y1y222 2′ 又

y1y24

6y2321324y21y2112A(3,23)4y2182y21 3′

22. （1）解：f(x)exax1f(x)exa ① 当a0时，f(x)exa0， f(x)在R上单调递增； ② 当a0时，f(x)exa0xlna，

所以f(x)在(,lna)上单调递减，在(lna，+)上单调递增 （2）（i）由题意可得aex01x ， 0x0要证明x只要证明e2aex0102lna,x， 0设xg(x)exxe21，x0

xg(x)exe2xxxx2x2ee2(e212)0，

所以xg(x)exxe21在(0,)上递增，所以g(x)g(0)0，得证. 要证明x2lna0a,只要证明ex012lnex01x， 0 9

8 ……

……

……

……1′ ……1′ ……1′ ……1′

……2′

……1′

设h(x)ex12lnex1x，x0

h(x)ex2(xexex1)xe2x2ex3xex2x(ex1)x(ex1)， (x)xe2x2ex3xex2，x0

(x)2xe2xe2x2ex3(x1)exex[ex(2x1)13x]，

因为exx1

所以(x)ex[ex(2x1)13x]ex[(x1)(2x1)13x]2x2ex0所以(x)ex2x12ex(0)0，所以h(x)0，

当x0时，h(x)0， h(x)0，得证. （ii）因为

2lnaax02lna，所以ax02lnalna，

又f(x)在(lna,)上单调递增，f(axa20)f(2lna)2alna1，

设k(x)x22xlnx1(x1)3(x1)(x1)， 1′

k(x)22lnx3x1x，且k(1)0， k(x)2x32x12xx3x2x12xx0， 1′

故k(x)k(1)0， 1′

所以，f(ax0)(a1)3(a1)．

10

……2′……1′……1′ …… ……

…………1′