2010年全国高考新课标文科数学试题及答案

新课标文科数学

参考公式： 样本数据x1,x2xn的标准差 锥体体积公式

s1(x1x)2(x2x)2n1(xnx)2 Vsh

3其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式

3VSh S4R2,VR3

4其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合Axx2,xR,Bx|x4,xZ|，则AB

（A）（0，2） （B）[0，2] （C）|0，2| （D）|0，1，2| （2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于

（A）

881616 （B） （C） （D） 65656565（3）已知复数z3i，则i= 2(13i)(A)

11 （B） （C）1 （D）2 422（4）曲线yx2x1在点（1,0）处的切线方程为 （A）yx1 （B）yx1 （C）y2x2 （D）y2x2

（5）中心在远点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为

（A）6 （B）5 （C）65 （D） 22 （6）如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置

为p0（2，2），角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于

5 44（B）

56（C）

55（D）

6（A）

(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则xfx20= （A）xx2或x4 （B）xx0或x4 （C）xx0或x6



（D）xx2或x2 （10）若sina= -

4，a是第一象限的角，则sin(a)= 54（A）-

727222 （B） （C） - （D） 10101010（11）已知 ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在 ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是

（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）

lgx1,0x101x6,x0 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc（12）已知函数f(x)=

2的取值范围是

（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）圆心在原点上与直线xy20相切的圆的方程为-----------。

（14）设函数yf(x)为区间0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0fx1，可以用随机模拟方法计算由曲线yf(x)及直线x0，x1，y0所围成部分的面积，先产生两组i每组N个，区间0,1上的均匀随机数x1,x2.....xn和y1,y2.....yn，由此得到V个点

x,yi1,2....N。再数出其中满足y1方法可得S的近似值为___________

f(x)(i1,2.....N)的点数N1，那么由随机模拟

(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)

①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

3

(16)在

ABC中，D为BC边上一点，BC3BD,AD2,ADB135.若

AC2AB,则BD=_____

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

设等差数列an满足a35，a109。 （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。 （18）（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。

an（Ⅰ）证明：平面PAC 平面PBD; （Ⅱ）若AB

6,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （19）（本小题满分12分）

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：

您是否需要志愿者 需要 不需要

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。 附：

P(K≧k)

k

≧

男 女 40 160 30 270

0.0500.0100.001

3.8416.62510.828

2

n (ad-bc)

K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（20）（本小题满分12分）

y2设F1,F2分别是椭圆E：x+2=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交

b2于A、B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列。 （Ⅰ）求AB

（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值。

5

（21）本小题满分12分） 设函数fxxex1ax2 （Ⅰ）若a=

1，求fx的单调区间； 2（Ⅱ）若当x≥0时fx≥0，求a的取值范围

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图：已知圆上的弧ACBD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于

E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD。 （Ⅱ）BC=BE x CD。

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线C1：{ {t为参数}。图C2：{ {为参数} X=cos X=1+tcosa （Ⅰ）当a=

2C1与C2的交点坐标： 时，求y=tsina

3y=sin

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当a变化时，求P

点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数(x)=2x4 + 1。 （Ⅰ）画出函数y=(x)的图像：

（Ⅱ）若不等式(x)≤ax的解集非空，求n的取值范围



2010年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案

一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是最符合题目要求的。

（1）D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C 二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。 （13）x2+y2=2 (14)

N1 (15)①②③⑤ (16)2+5 N三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）解：

（1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得

{a12d5a19d9

解得

{d2a19

数列{am}的通项公式为an=11-2n。 ……..6分

(2)由(1) 知Sm=na1+

因为

n(n1)。

d=10n-n2

2Sm=-(n-5)2+25.

所以n=5时，Sm取得最大值。 ……12分 (18)解：

(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PH 所以AC平面PBD.

故平面PAC平面PBD. ……..6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB= 所以HA=HB=BD=H.

6. 3. 因为APB=ADR=600

7

所以PA=PB=6,HD=HC=1. 可得PH=3. 等腰梯形ABCD的面积为S=

1AC x BD = 2+3. ……..9分 2 所以四棱锥的体积为V=（19）解：

3231x（2+3）x3= ……..12分

33（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为

7014%. ……4分 500500(4027030160)29.967 (2) k200300704302由于9.9676.635所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分

（20）解：

（1）由椭圆定义知F2+F2 又2AB=AFF得AB （2）L的方程式为y=x+c,其中c1b 设A(x1，y1),B(x1，y1),则A，B 两点坐标满足方程组 2 y=x+c2 yx221b222 化简得(1b)x2cx12b0.

2c12b2,x1x2. 则x1x21b21b2

因为直线AB的斜率为1，所以x2x1

即

42x2x1 . 384(1b2)4(12b2)8b42则(x1x2)4x1x2 9(1b2)21b21b2解得 b

（21）解： （Ⅰ）a2. 2112xxxx时，f(x)x(e1)x，f'(x)e1xex(e1)(x1)。当22x,1时f'(x);当x1,0时，f'(x)0;当x0,时，f'(x)0。故

f(x)在,1，0,单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）f(x)x(x1ax)。令g(x)x1ax，则g'(x)ea。若a1，则当而g(0)0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)x0,时，g'(x)，g(x)为减函数，≥0.

若a，则当x0,lna时，g'(x)，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x0,lna时g(x)＜0，即f(x)＜0. 综合得a的取值范围为,1 （22）解: （Ⅰ）因为ACBD, 所以BCDABC.

又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC

所以ACEBCD. ……5分 （Ⅱ）因为ECBCDB,EBCBCD, 所以BDC2aaxECB,故

BCCD. BEBC即 BCBECD. ……10分

9

（23）解： （I）当322时，C1的普通方程为y3(x1)，C2的普通方程为xy1.

联立方程组

y3(x1),1322(,) 解得C与C的交点为（1,0），12xxy1,22（II）C1的普通方程为xsin2ycossin0.

A点坐标为(sina,cosasina)，故当a变化时，P点轨迹的参数方程为

1xsin2a21ysinacosa （a为参数）

21422P点轨迹的普通方程为(x)y故P点是圆心为(,0)，半径为（24）解：

1 16141的圆 4（Ⅰ）由于fx=

2x5,x2x3,x2.则函数yfx的图像如图所示。

……5分

（Ⅱ）由函数yfx与函数yax的图像可知，当且仅当a2时，函数yfx与函数

yax的图像有交点。故不等式fxax的解集非空时，a的取值范围为

1,2,。 ……10分

2