班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1.
13
的相反数是( )
A. 3 B. −3
C. 3
1
D. −3
1
2. 下列运算正确的是( )
A. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6 C. 3𝑎−2𝑎=1
B. (3𝑎)3 =9𝑎3 D. (−2𝑎2)3=−8𝑎6
3. 如图所示，直线𝐸𝐹//𝐺𝐻，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，𝐴𝐷⊥𝐸𝐹于
点D，如果∠𝐴=20°，则∠𝐴𝐶𝐺=( )
A. 160° B. 110° C. 100° D. 70°
4. 下列说法错误的是( )
A. 方差可以衡量一组数据的波动大小
B. 抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度 C. 一组数据的众数有且只有一个
D. 抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
5. 多边形的内角和不可能为( )
A. 180° B. 540° C. 1080° D. 1200°
6. 某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是
50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是( )
A. 19.5元 B. 21.5元 C. 22.5元 D. 27.5元
b，c，b，7. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，则a，
c的大小关系是( )
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A. 𝑎<𝑏<𝑐
8. 已知函数𝑦={
𝑥
B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑎<𝑐<𝑏 D. 𝑐<𝑏<𝑎
−𝑥+1(𝑥<2)2，当函数值为3时，自变量x的值为( ) −(𝑥≥2)
A. −2
B. −3
2
C. −2或−3
2
D. −2或−2
3
9. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是( )
A. 20𝜋 B. 18𝜋 C. 16𝜋 D. 14𝜋
10. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°，∠𝐴𝐵𝐶=90°.将𝑅𝑡△
𝐴𝐵𝐶绕点B逆时针方向旋转得到△𝐴′𝐵𝐶′.此时恰好点C在𝐴′𝐶′上，𝐴′𝐵交AC于点E，则△𝐴𝐵𝐸与△𝐴𝐵𝐶的面积之比为( )
A. 3
1
B. 2
1
C. 3
2
D. 4
3
11. 已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动
点，且满足𝑃𝐶=2，则PM的最小值为( )
A. 2 B. 2√2−2 C. 2√2+2 D. 2√2
12. 已知不等式𝑎𝑥+𝑏>0的解集为𝑥<2，则下列结论正确的个数是( )
(1)2𝑎+𝑏=0；
(2)当𝑐>𝑎时，函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与x轴没有公共点； (3)当𝑐>0时，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的顶点在直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏的上方； (4)如果𝑏<3且2𝑎−𝑚𝑏−𝑚=0，则m的取值范围是−4<𝑚<0．
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球
的6次成绩的折线统计图．这6次成绩的中位数是______．
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14. 把多项式𝑎𝑥2−4𝑎分解因式的结果是______．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐹⊥𝐵𝐸，连接AE，G是AB的中
点，连接GF，若𝐴𝐸=4，则𝐺𝐹=______．
18，(4,6)，(8,10，12)，(14,16，16. 将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，
20)…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则𝑚+𝑛=______．
17. 若实数x，y满足𝑥+𝑦2=3，设𝑠=𝑥2+8𝑦2，则s的取值范围是______． 18. 如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在
B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行______海里就开始有触礁的危险．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
3
19. 计算：(−2)−2−|√3−2|+(−√)0−3√8−2𝑐𝑜𝑠30°． 2
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20. 如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中
点．连接GC并延长至F，使𝐶𝐹=𝐺𝐶，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
(1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论． (2)连接DF，若𝐵𝐶=√3，求DF的长．
21. 为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣
传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：𝐴.优秀；𝐵.良好；𝐶.及格：𝐷.不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 A.优秀 B.良好 C.及格 D.不及格 n 百分比 5% 人数 20 60 45% m 请结合统计表，回答下列问题：
(1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
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(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4.然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
22. 如图，一次函数𝑦1=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦2=𝑥的图
象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
(1)求a，b的值．
(2)在反比例𝑦2=𝑥第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．
23. 推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某
村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个
4
4
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工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同． (1)甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
(2)现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元． ①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？ ②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
24. 如图，在⊙𝑂中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有
一点P，满足∠𝑃𝐵𝐷=∠𝐷𝐴𝐵.过点P作𝑃𝑁⊥𝐶𝐷，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
(1)求证：BP是⊙𝑂的切线；
(2)如果𝑂𝐴=5，𝐴𝑀=4，求PN的值； (3)如果𝑃𝐷=𝑃𝐻，求证：𝐴𝐻⋅𝑂𝑃=𝐻𝑃⋅𝐴𝑃．
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𝐵.与y轴交于点𝐶.连接25. 如图1，抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)与x轴交于点A，
AC，𝐵𝐶.已知△𝐴𝐵𝐶的面积为2． (1)求抛物线的解析式；
(2)平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，𝐻.若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
(3)如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点𝑁 (2,0).点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点𝐸.连接AD并延长交MN于点𝐹.在点D运动过程中，3𝑁𝐸+𝑁𝐹是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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答案和解析
1. D
解：3的相反数为−3．
1
1
2. D
解：A、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故原题计算错误； B、(3𝑎)3 =27𝑎3，故原题计算错误； C、3𝑎−2𝑎=𝑎，故原题计算错误； D、(−2𝑎2)3=−8𝑎6，故原题计算正确；
3. B
解：∵𝐴𝐷⊥𝐸𝐹，∠𝐴=20°，
∴∠𝐴𝐵𝐷=180°−∠𝐴−∠𝐴𝐵𝐷=180°−20°−90°=70°， ∵𝐸𝐹//𝐺𝐻，
∴∠𝐴𝐶𝐻=∠𝐴𝐵𝐷=70°，
∴∠𝐴𝐶𝐺=180°−∠𝐴𝐶𝐻=180°−70°=110°，
4. C
解：方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A正确；
抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B正确； 一组数据的众数有一个或者几个，故选项C错误；
抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得，故选项D正确；
5. D
解：因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1200°．
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6. C
解：这天销售的四种商品的平均单价是：
50×10%+30×15%+20×55%+10×20%=22.5(元)，
7. D
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为𝑎=𝑅×𝑐𝑜𝑠60°=2𝑅. 四边形的边心距为𝑏=𝑅×𝑐𝑜𝑠45°=√𝑅，
2正六边形的边心距为𝑐=𝑅×𝑐𝑜𝑠30°=√𝑅.
2321
∵𝑅<
2
1
√2𝑅2
<
√3𝑅， 2
∴𝑐<𝑏<𝑎，
8. A
解：若𝑥<2，当𝑦=3时，−𝑥+1=3， 解得：𝑥=−2；
若𝑥≥2，当𝑦=3时，−𝑥=3， 解得：𝑥=−3，不合题意舍去； ∴𝑥=−2，
2
2
9. B
解：这个几何体的表面积=𝜋⋅22+𝜋⋅3⋅2+2𝜋⋅2⋅2=18𝜋，
10. D
解：∵∠𝐴=30°，∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=60°，
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∵将𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶绕点B逆时针方向旋转得到△𝐴′𝐵𝐶′， ∴𝐵𝐶=𝐵𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴′𝐶′𝐵=60°， ∴△𝐵𝐶𝐶′是等边三角形， ∴∠𝐶𝐵𝐶′=60°， ∴∠𝐴𝐵𝐴′=60°， ∴∠𝐵𝐸𝐴=90°，
设𝐶𝐸=𝑎，则𝐵𝐸=√3𝑎，𝐴𝐸=3𝑎， ∴𝐴𝐸=3， ∴𝐴𝐶=4，
∴△𝐴𝐵𝐸与△𝐴𝐵𝐶的面积之比为4．
3
𝐴𝐸
3
𝐶𝐸
1
11. B
解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4， ∴斜边𝐴𝐵=4√2，
∵点P为该平面内一动点，且满足𝑃𝐶=2， ∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上， 当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小， ∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形， ∴𝐶𝑀=𝐴𝐵=2√2，
21
∵𝑃𝐶=2，
∴𝑃𝑀=𝐶𝑀−𝐶𝑃=2√2−2，
12. C
解：(1)∵不等式𝑎𝑥+𝑏>0的解集为𝑥<2， ∴𝑎<0，−𝑎=2，即𝑏=−2𝑎， ∴2𝑎+𝑏=0，故结论正确；
(2)函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中，令𝑦=0，则𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0， ∵即𝑏=−2𝑎，
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𝑏
∴△=𝑏2−4𝑎𝑐=(−2𝑎)2−4𝑎𝑐=4𝑎(𝑎−𝑐)， ∵𝑎<0，𝑐>𝑎， ∴△=4𝑎(𝑎−𝑐)>0，
∴当𝑐>𝑎时，函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与x轴有两个公共点，故结论错误； (3)∵𝑏=−2𝑎， ∴−
𝑏2𝑎
=1，
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
=
4𝑎𝑐−4𝑎2
4𝑎
=𝑐−𝑎，
∴抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的顶点为(1,𝑐−𝑎)，
当𝑥=1时，直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏=𝑎+𝑏=𝑎−2𝑎=−𝑎>0 当𝑐>0时，𝑐−𝑎>−𝑎>0，
∴抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的顶点在直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏的上方，故结论正确； (4)∵𝑏=−2𝑎，
∴由2𝑎−𝑚𝑏−𝑚=0，得到−𝑏−𝑚𝑏−𝑚=0， ∴𝑏=−𝑚+1，
如果𝑏<3，则0<−𝑚+1<3， ∴−4<𝑚<0，故结论正确；
3
𝑚
𝑚
13. 9.75
解：由6次成绩的折线统计图可知： 这6次成绩从小到大排列为： 9.5，9.6，9.7，9.8，10，10.2， 所以这6次成绩的中位数是：
9.7+9.82
=9.75．
14. 𝑎(𝑥+2)(𝑥−2)
解：𝑎𝑥2−4𝑎=𝑎(𝑥2−4)=𝑎(𝑥+2)(𝑥−2)．
15. 2
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解：在平行四边形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐸𝐶． ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸， ∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐸𝐶， ∴𝐶𝐵=𝐶𝐸． ∵𝐶𝐹⊥𝐵𝐸， ∴𝐵𝐹=𝐸𝐹． ∵𝐺是AB的中点， ∴𝐺𝐹是△𝐴𝐵𝐸的中位线， ∴𝐺𝐹=𝐵𝐸，
21
∵𝐵𝐸=4， ∴𝐺𝐹=2．
16. 65
解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4,6)，(8,10，12)，(14,16，18，20)…，
∴第m组有m个连续的偶数， ∵2020=2×1010， ∴2020是第1010个偶数， ∵1+2+3+⋯+44=
44×(44+1)
2
=990，1+2+3+⋯+45=
45×(45+1)
2
=1035，
∴2020是第45组第1010−990=20个数， ∴𝑚=45，𝑛=20， ∴𝑚+𝑛=65，
17. 𝑠≥9
解：由𝑥+𝑦2=3，得：𝑦2=−𝑥+3≥0， ∴𝑥≤3，
代入得：𝑠=𝑥2+8𝑦2=𝑥2+8(−𝑥+3)=𝑥2−8𝑥+24=(𝑥−4)2+8，
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当𝑥=3时，𝑠=(3−4)2+8=9， ∴𝑠≥9；
18. 4.5
第13页，共20页
解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠𝐶𝐴𝐷=30°，∠𝐶𝐴𝐵=60°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=60°−30°=30°，∠𝐴𝐵𝐷=90°−60°=30°， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐷， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐷=12海里， ∵∠𝐶𝐴𝐷=30°，∠𝐴𝐶𝐷=90°， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=6海里，
21
由勾股定理得：𝐴𝐶=√122−62=6√3(海里)，
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点𝐷′时有触礁的危险， 在直角△𝐴𝐷′𝐶中，由勾股定理得：(6−𝑥)2+(6√3)2=10.52． 解得𝑥=4.5．
渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．
303
19. 解：(−2)−2−|√3−2|+(−√)−√8−2𝑐𝑜𝑠30° 2
=4−2+√3+1−2−2×=−24．
3
1
√3
2
20. 解：(1)四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点， ∴𝐺𝐵=𝐺𝐶=𝐺𝐷， ∵𝐶𝐹=𝐺𝐶，
∴𝐺𝐵=𝐺𝐶=𝐺𝐷=𝐶𝐹， ∵四边形DCFE是菱形， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐹=𝐷𝐸，𝐷𝐸//𝐶𝐺， ∴𝐷𝐸=𝐺𝐶，
∴四边形CEDG是平行四边形， ∵𝐺𝐷=𝐺𝐶，
∴四边形CEDG是菱形；
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(2)过点G作𝐺𝐻⊥𝐵𝐶于H，设DF交CE于点N，如图所示： ∵𝐶𝐷=𝐶𝐹，𝐺𝐵=𝐺𝐷=𝐺𝐶=𝐶𝐹， ∴𝐶𝐻=𝐵𝐻=2𝐵𝐶=∴∠𝐺𝐶𝐷=60°，
∴∠𝐷𝐶𝐹=180°−∠𝐺𝐶𝐷=180°−60°=120°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠𝐵𝐶𝐷=90°，
∴∠𝐺𝐶𝐻=90°−60°=30°， ∴𝐶𝐺=
𝐶𝐻𝑐𝑜𝑠30∘
1
√3
，△𝐶𝐷𝐺是等边三角形， 2
=
√32√32
=1，
∴𝐶𝐷=1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴𝐷𝑁=𝐹𝑁，𝐶𝑁⊥𝐷𝐹，∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐹𝐶𝐸=2∠𝐷𝐶𝐹=2×120°=60°， 在𝑅𝑡△𝐶𝑁𝐷中，𝐷𝑁=𝐶𝐷⋅sin∠𝐷𝐶𝐸=1×𝑠𝑖𝑛60°=1×√=√，
2
23
3
1
1
∴𝐷𝐹=2𝐷𝑁=2×
√32
=√3．
(1)本次参与调查的学生人数为：20÷5%=400(人)，𝑚=400×45%=180， 21. 解：
∵400−20−60−180=140， ∴𝑛=140÷400×100%=35%； (2)5600×
20+60400
=1120(人)，
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人； (3)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴𝑃(小明参加)=12=3， 𝑃(小亮参加)=1−3=3，
2
1
8
2
第15页，共20页
∵3≠3，
∴这个游戏规则不公平．
21
22. 解：(1)∵一次函数𝑦1=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦2=𝑥的图象交于A、B两点．点A的
横坐标为2，点B的纵坐标为1， ∴𝐴(2,2)，𝐵(4,1)， 2𝑎+𝑏=2则有{，
4𝑎+𝑏=1解得{
(2)过点P作直线𝑃𝑀//𝐴𝐵，
当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，
设直线PM的解析式为𝑦=−2𝑥+𝑛，
𝑦=
𝑥
由{，消去y得到，𝑥2−2𝑛𝑥+8=0， 1
𝑦=−2𝑥+𝑛由题意，△=0， ∴4𝑛2−32=0，
∴𝑛=−2√2或2√2(舍弃)， 解得{
𝑥=−2√2
，
𝑦=−√2
4
1
4
𝑎=−2𝑏=3
1
．
∴𝑃(−2√2,−√2).
23. 解：(1)设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费(𝑥−500)元，
由题意，
12000𝑥
=𝑥−500，
9000
解得𝑥=2000，
经检验，𝑥=2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元． (2)①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45𝑥+30𝑦=2400 ①，且2000𝑥+1500𝑦≤110000 ②， 由①得到𝑦=80−1.5𝑥 ③，
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把③代入②得到，2000𝑥+1500(80−1.5𝑥)≤110000， 解得，𝑥≥40， ∵𝑦>0， ∴80−1.5𝑥>0， 𝑥<53.3， ∴40≤𝑥<53.3， ∵𝑥，y是正整数，
∴𝑥=40，𝑦=20或𝑥=42，𝑦=17或𝑥=44，𝑦=14或𝑥=46，𝑦=11或𝑥=48，𝑦=8，或𝑥=50，𝑦=5或𝑥=52，𝑦=2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
②总费用𝑤=2000𝑥+1500(80−1.5𝑥)=−250𝑥+120000， ∵−250<0，
∴𝑤随x的增大而减小，
∴𝑥=52时，w的最小值=107000(元)． 答：最低费用为107000元．
24. (1)证明：如图，连接BC，OB．
∵𝐶𝐷是直径， ∴∠𝐶𝐵𝐷=90°， ∵𝑂𝐶=𝑂𝐵， ∴∠𝐶=∠𝐶𝐵𝑂，
∵∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐷，∠𝑃𝐵𝐷=∠𝐷𝐴𝐵， ∴∠𝐶𝐵𝑂=∠𝑃𝐵𝐷， ∴∠𝑂𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝐷=90°， ∴𝑃𝐵⊥𝑂𝐵， ∴𝑃𝐵是⊙𝑂的切线．
(2)解：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，
∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝑂𝑃=𝑂𝑃， ∴△𝑃𝐴𝑂≌△𝑃𝐵𝑂(𝑆𝑆𝑆)，
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∴∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°， ∵∠𝐴𝑀𝑂=90°，
∴𝑂𝑀=√𝑂𝐴2−𝐴𝑀2=√52−42=3， ∵∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐴𝑂𝑃，∠𝑂𝐴𝑃=∠𝐴𝑀𝑂， ∴△𝐴𝑂𝑀∽△𝑃𝑂𝐴， ∴𝑂𝑃=
5𝑂𝐴
𝑂𝑀𝑂𝐴3
，
∴𝑂𝑃=5， ∴𝑂𝑃=
253
，
∵𝑃𝑁⊥𝑃𝐶，
∴∠𝑁𝑃𝐶=∠𝐴𝑀𝑂=90°， ∴
𝐴𝑀𝑃𝑁4
=
𝑂𝑀𝑂𝑃3
253
，
∴𝑃𝑁=∴𝑃𝑁=
， ．
1009
(3)证明：∵𝑃𝐷=𝑃𝐻， ∴∠𝑃𝐷𝐻=∠𝑃𝐻𝐷，
∵∠𝑃𝐷𝐻=∠𝑃𝑂𝐴+∠𝑂𝑁𝐷，∠𝑃𝐻𝐷=∠𝐴𝑃𝑁+∠𝑃𝑁𝐷， ∴∠𝑃𝑂𝐴+∠𝐴𝑃𝑂=90°，∠𝐴𝑃𝑁+∠𝐴𝑃𝑂=90°， ∴∠𝑃𝑂𝐴=∠𝐴𝑁𝑃， ∴∠𝐴𝑁𝐻=∠𝑃𝑁𝐷， ∵∠𝑃𝐷𝑁=∠𝑃𝐻𝐷=∠𝐴𝐻𝑁， ∴△𝑁𝐴𝐻∽△𝑁𝑃𝐷， ∴
𝐴𝐻𝑃𝐷
=
𝑁𝐴𝑁𝑃
，
∵∠𝐴𝑃𝑁=∠𝑃𝑂𝐴，∠𝑃𝐴𝑁=∠𝑃𝐴𝑂=90°， ∴△𝑃𝐴𝑁∽△𝑂𝐴𝑃， ∴𝑂𝑃=
𝑁𝐴𝑃𝑁
𝐴𝑁𝐴𝑃𝐴𝑃
，
∴𝑁𝑃=𝑂𝑃， ∴𝑃𝐷=𝑃𝐻=𝑂𝑃， ∴𝐴𝐻⋅𝑂𝑃=𝐻𝑃⋅𝐴𝑃．
第18页，共20页
𝐴𝐻
𝐴𝐻
𝐴𝑃
25. 解：(1)如图1，𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎=𝑎(𝑥2−2𝑥−3)=𝑎(𝑥−3)(𝑥+1)，
∴𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)， ∴𝐴𝐵=4，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为2，即2𝐴𝐵⋅𝑂𝐶=2， ∴2×4×𝑂𝐶=2， ∴𝑂𝐶=1， ∴𝐶(0,1)，
将𝐶(0,1)代入𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎，得：−3𝑎=1， ∴𝑎=−3，
∴该二次函数的解析式为𝑦=−3𝑥2+3𝑥+1；
(2)如图2，设点P的纵坐标为m，当𝑦=𝑚时，−3𝑥2+3𝑥+1=𝑚，
1
2
1
2
1
1
1
解得：𝑥1=1+√4−3𝑚，𝑥2=1−√4−3𝑚，
∴点P的坐标为(1−√4−3𝑚,𝑚)，点Q的坐标为(1+√4−3𝑚,𝑚)， ∴点G的坐标为(1−√4−3𝑚,0)，点H的坐标为(1+√4−3𝑚,0)， ∵矩形PGHQ为正方形，
∴1+√4−3𝑚−(1−√4−3𝑚)=𝑚， 解得：𝑚1=−6−2√13，𝑚2=−6+2√13，
第19页，共20页
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2√13或2√13−6； (3)如图3，设点𝐷(𝑛,−3𝑛2+3𝑛+1)，延长BD交y轴于K，
1
2
∵𝐴(−1,0)，
设AD的解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
𝑘=−3𝑛+1−𝑘+𝑏=0
则{𝑛𝑘+𝑏=−1𝑛2+2𝑛+1，解得：{， 1
𝑏=−𝑛+1
3
3
31
∴𝐴𝐷的解析式为：𝑦=(−3𝑛+1)𝑥−3𝑛+1， 当𝑥=2时，𝑦=−3𝑛+2−3𝑛+1=−𝑛+3， ∴𝐹(2,3−𝑛)， ∴𝐹𝑁=3−𝑛，
同理得直线BD的解析式为：𝑦=(−3𝑛−3)𝑥+𝑛+1， ∴𝐾(0,𝑛+1)， ∴𝑂𝐾=𝑛+1， ∵𝑁(2,0)，𝐵(3,0)， ∴𝑂𝐵=3， ∵𝐸𝑁//𝑂𝐾， ∴𝑂𝐾=𝑂𝐵=3， ∴𝑂𝐾=3𝐸𝑁，
∴3𝐸𝑁+𝐹𝑁=𝑂𝐾+𝐹𝑁=𝑛+1+3−𝑛=4， ∴在点D运动过程中，3𝑁𝐸+𝑁𝐹为定值4．
𝐸𝑁
𝐵𝑁
1
𝐵𝑁
1
1
1
2
1
11
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