浅谈柯西不等式的证明及应用

刘治和

柯西 (Cauchy）不等式 (a1b1a2b2anbn)2

≤ (a12a22an2)(b12b22bn2)(ai,biR,i1,2,n), 当且仅当

aa1a2n时等号成立。现将它的证明介绍如下： b1b2bn证明1(构造法)：构设二次函数

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2(a12a22an2)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b22bn2),a12a22an2＞0,f(x)0恒成立，

即4(a1b1a2b2anbn)2-4(a12+a22+an2)(b12+b22bn2)0,(a1b1a2b2anbn)2(a12+a22+an2)(b12+b22bn2),当且仅当

aixbi0(i1,2,,n),即aa1a2n时等号成立. b1b2bn证明2（数学归纳法）：

1）当n1 时,左式=(a1b1)2,右式=a12b12,显然左式=右式，当n2时，右式

=(a12a22)(b12b22)=(a1b1)2(a2b2)2a22b12a12b22(a1b1)2(a2b2)22a1a2b1b2=(a1b1a2b2)2=左式，仅当a2b1=a1b2，即，2时不等式成立. 故n=12）假设nk(kN,k2)时，不等式成立，即

a1a2=时取等号，b1b2(a1b1a2b2akbk)2(a12a22ak2)(b12b22bk2),

当且仅当

aa1a2k时取符号。且设b1b2bkAa12a22ak2,Bb12b22bk2,Ca1b1a2b2akbk,则

2222222222(Aak)(Bb)ABAbBaabC2Cabab(Cab)1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1,2222222(a12a2ak2ak1)(b1b2bkbk1)(a1b1a2b2ak1bk1),当且

仅当

aaa1a2kk1时取等号，即nk1时不等式亦成立。 b1b2bkbk1综合1）、2),可知不等式成立。

柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地运用它，可使一些较困难的问题迎刃而解。这个不等式结构对称和谐、应用灵活广泛，深受人们的喜爱。不完全归纳，利用柯西不等式处理数学问题，常见的两大类型有：

(1）证明相关的数学命题

a2b2c2例1．已知正数a,b,c满足abc1,证明：abc

3333分析：为了吻合问题中的某些式子，将因式拆项，这是柯西不等式应用中常用技巧之一.本题将a、b、c分别拆项就能达到目的.

证明：利用柯西不等式，

222(a+bc)(aabbcc)[(a)(b)(c)][abc]=

22223212321232122322322322(a3b3c3)(abc)2(abc1).

又

2a2b2c2abbcca,在此不等式两边乘以2，

222222再加abc,得(abc)3(abc),

a2b2c2. (abc)(abc)3(abc)，故abc322223332223331x2x(n1)xanx, 例2 设f(x)lgn若0≤a≤1，nN，且n≥2,求证:f(2x)≥2f(x) (1990年高考题） 分析：先把要证结论进行等价转化，使之出现柯西不等式的结构，再用它证明. 证明：

f(2x)≥2f(x)

12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanxlg≥2lg

nn12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanx≥

nn2x2x2x2xxxxxn12(n1)an12(n1)an≥ ①

22∴只要证明①式即可.

n个n121212,a≥a2,

n个2x2x2xx2∴①左边≥(121212)12(n1)(an) xxxx12(n1)an≥，即①式成立

2故原不等式得证.

例3．设P是△ABC内一点，x、y、z是P到三边a、b、c的距离，R是△ABC外接圆半径.

证明：xyz≤1a2b2c2 2R证明：由柯西不等式得，xyzax1bya1czb1≤caxbyczabcabc111, 。记S为△ABC的面积，则axbycz2S24R2Rabcxyz≤12Rabc2Rabbcca1abbcca≤abc2Ra2b2c2.

故不等式得证.

例4．若、、为锐角,且满足cos求证：ctg22cos2cos21,

ctg2ctg2≥（《数学通报》1993，6问题839）

232证明：根据已知条件，得sin而要证不等式等价于

sin2sin2y2,

9111≥.由柯西不等式有：2222sinsinsin1111111222(sinsinsin)()≥

sin2sin2sin22sin2sin2sin219(111)2. 22故原不等式成立。

（2）求解有关数学问题 例5．已知x、y、a、bR，且

ab1,则x+y的最小值是( ) xy（A）4ab；（B）(ab)2；(C）22ab；（D)22ab 分析：构造两组实数x,y;abab,,x、y、a、bR,1,

xyxyx+y[(x)2(y)2][(xaa2b时，)()2]≥(ab)2,仅当ybxy(xy)min(ab)2，故选（B）。

应用柯西不等式可顺利解决某些有关含约束条件的多变量函数的最值问题,类似地可

做：

1.设实数x、y满足3x22y26，求W2xy的最大值.(Wmax=11)

2.设实数a,b,c,d满足abcd3,a22b23c26d25，试求a的最大值

与最小值.

解：根据柯西不等式,有(2b3c6d)(2221211)≥(bcd)2，即362b23c26d2≥(bcd)2.由条件可得5a2≥(3a)2，解得1≤a≤2，当且仅当212b3c6d，即2b3c6d时等号成立.代入得b1,c,d时，33111236111amin1;b,c,d时，amax2。

236例6 已知、(0,)，且coscoscos()3，试求、的值。 2这是一道常见题,若变换思考角度,开发人的侧向思维，从柯西不等式结构中得到启迪,会使求解达到更好的效果.

解：由已知等式化为sinsin(1cos)cos3cos ①， 22将其两边平方再得：(cos)sinsin(1cos)cos

22222sin(1cos)(sincos)2(1cos), ≤321则2cos10,即cos,(2cos1)2≤0，

2等式得,故.

33(0,),3,代入已知

从这两类题解不难看出，能否成功地运用柯西不等式,关键是对照柯西不等式的标准形

式，构造出两组适当的数式.因此，我们在应用教学中努力引导学生观察、分析，开发他们的创新思维，有效地运用柯西不等式解决相关的数学问题。