曲线运动中例题

第一节 曲线运动、运动的合成和分解

『基础知识回顾』 一、曲线运动

1、定义：运动轨迹为曲线的运动。 2、物体做曲线运动的方向：

做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。 3、曲线运动的性质

由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。 4、物体做曲线运动的条件

物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。 5、分类

⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。

⑵非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。

二、运动的合成与分解

1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。

2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

3、合运动与分运动的关系：

⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）； ⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

⑶性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。

⑷运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 4、运动的性质和轨迹

⑴物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。 ⑵物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

【典型例题分析】 一、曲线运动条件

1、运动判定：直线还是曲线、加速还是减速运动，抓住力和初速度方向关系。变加速还是匀变速抓住力大小是否变化。

例1．关于两个不在同一直线上运动的合成，下述说法正确的是( ) A．两个直线运动的合成一定是直线运动 B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动

C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动

D．一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动一定是曲线运动

解析:当合外力的方向与运动初速度共线时则运动为直线运动,不共线时为曲线运动.两个直线运动的合运动其初速度与合外力方向不确定因此不一定为直线运动,故A错；同理两个匀加速直线运动其合运动必有加速度，但与初速度方向未知，因此不一定是直线运动，故C错误；而两个匀速直线运动其加速度为0，故一定做直线运动，B正确；一个匀速与一个匀加速直线运动合运动存在加速度，并且在加速运动的直线运动方向上，一定与初速度不共线，故D正确。 答案：BD

2、小船渡河问题

(1)不论水流速度多大，总是船身垂直于河岸开动时，渡河时间最短，t=d/v舟，且这个时间与水流速度大小无关。

(2)当v水例2．A小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后的10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后12.5min时到达正对岸求：(1)水流的速度；

(2)船在静水中的速度； (3)河的宽度；

(4)船头与河岸的夹角α．

解析：(1)设流水速度v水，沿河移动的位移为s移,v水s移120m/s0.2m/s t16010(2)设船静水速v船，河宽D河D河D河v船t1600D河D河，则v船sin由方程组可得t7502v船cosv水0.2v

A 1v船m/s0.33m/s,D河200m,53

3答案：(1)0.2m／s(2)0.33m／s(3)200m (4)53°。

例3．如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升飞机A用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B．在直升飞机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员提起，在某一段时间内，A、B之间

l B 的距离以lHt（式中H为直升飞机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位）规律变化，则在这段时间内，下面判断中正确的是（不计空气作用力）（ ） A．悬索成倾斜直线 B．伤员做的是直线运动 C．伤员做的是速度减小的曲线运动

D．伤员做的是加速度大小、方向均先不变的曲线运动

解析：伤员水平方向匀速直线运动，竖直方向根据运动方程lHt其与飞机的竖直距离成匀加速靠近，存在加速度2m/s2，方向竖直向上；因此伤员的运动为水平方向匀速直线运动，竖直方向匀加直线运动的合成，类平抛运动，因此伤员加速度恒定，匀变速曲线运动，故D正确。 答案：D

3、绳或杆相关联物体运动的合成与分解 ①绳类

⑴速度分解的基本原则是按实际效果来进行分解。⑵绳（杆）相关联物体运动的实际速度就是合速度，分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量。

例4．如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 解析：

解法一：应用微元法

设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图所示.过C点作CD⊥AB，当Δt→0时，∠BAC极小，在△ACD中，可以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD，即为在Δt时间内绳子收缩的长度.

由图可知：BC=

22BD cos ① ② ③

由速度的定义：物体移动的速度为v物=

s1BC tt

s2BD ttv由①②③解之：v物=

cos人拉绳子的速度v=

解法二：应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按如图所示进行分解

其中：v=v物cosθ，使绳子收缩

v⊥=v物sinθ，使绳子绕定滑轮上的A点转动

所以v物=

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1=Fv；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2=Fv物cosθ，因为P1=P2所以

v cosv物=

v cos例5．如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v. 解析：

解法一：应用微元法

设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BB’，如图所示。 过B’点作B’E⊥BD。

当Δt→0时，∠BDB’极小，在△BDB’中，可以认为DE=B’D。 在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BB’+BE，即为在Δt时间内绳子收缩的长度。

由图可知：BE=

BB' cos ①

s1BB'=由速度的定义：物体移动的速度为v物= tt人拉绳子的速度v0=

②

s2BB'+BEBB'(1+cos)== ③ tttv0

1+cos由①②③解之：v物=

解法二：应用合运动与分运动的关系

物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v物。 根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。

也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v物cosa

v0因此绳子上总的速度为v物+v物cos=v0，得到v物=

1+cos解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

设该时刻人对绳子的拉力为F，则人对绳子做功的功率为P1=Fv。

绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD绳对物体做功的功率为P2=Fv0cos，BC绳对物体做功的功率为P2’=Fv0

由P1=P2+P2’得到v物=

v0

1+cos例6．如图所示，两定滑轮间距离为2d，质量相等的小球A和B通过绕过定滑轮的绳子带动小球C上升，在某一时刻连接C球的两绳夹角为2α，绳子张力为T，A、B两球下落的速度为v，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。 ⑴ 此时Ｃ球上升的速度是多少？

⑵ 若Ｃ球质量与Ａ、Ｂ球相同均为ｍ， α=30°时，三球从

静止开始运动，则α＝45°时Ｃ球的速度是多少？

解析：⑴如图（a），球C的速度VＣ为合速度，竖直向上；

沿绳方向的分运动速度即为A球下落的速度V；垂直于绳绕O作向外偏的圆周运动的速度为V２ 。

VＣ＝V／cosα，应注意到：研究C球的速度与一边绳的关系时与另一边绳无关，B球的作用是保证C球竖直向上运动的，类似在C球中心加一竖直杆，以保证C球竖直向上运动的作用。如图（b）所示。 ⑵A、B、C三球系统机械能守恒，－ΔEp＝ΔEp

VAVBVCcos450VC2

2mg(2d2d)mg(3dd)V11mVC22m(C)2 222VC0.44gd

答案：（1）VＣ＝V／cosα （2）VC0.44gd

②杆类：分解方法同绳。

例7．如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小.

解析：分别对小球A和B的速度进行分解，设杆上的速度为v 则对A球速度分解，分解为沿着杆方向和垂直于杆方向的两个速度。 v=vAcos

对B球进行速度分解，得到v=vBsin 联立得到vA=vBtan

加速度也是同样的思路，得到aA=aBtan 答案：vA=vBtanα;aA=aBtanα

例8. 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。 R θ

O 分析与解：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OPV1 P V0 1方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有0，解得V1=V0·tgθ。 答案：V1=V0·tgθ

例9．一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）

选取物与棒接触点B为连结点。（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=vsinθ

设此时OB长度为a，则a=h/sinθ

2

令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsinθ/h

2

故A的线速度vA=ωL=vLsinθ/h

例10．如图所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中 （1）斜劈的最大速度. （2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计） 解析：（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.

VsinVcos图7mg（h-r）=2mvA2+2mvB2

①

由图中几何知识知：h=cot30°·r=3r ②

A、 B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图所示。

由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2 即vAcos30°=vBsin30° ③ 解得vA=

(31)gr

2vB=

3(31)gr

22 （2）A球落地后反弹速度vA′=vA 做竖直上抛运动的最大高度：Hm=

vA(31)r 2g4