分段函数与绝对值函数

2．11分段函数与绝对值函数

——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之

一、明确复习目标

了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法

二．建构知识网络

1.分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.

3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.

三、双基题目练练手

2(x1)1.设函数f（x）=4x1x1,x1,则使得f（x）≥1的x的取值范围为 ( )

A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］

C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数y2x,x0 的反函数是 （ ） 2x,x0x,x02x,x0A．y2 B．y

x,x0x,x0x,x02x,x0C．y2 D．y

x,x0x,x0x1，x[1,0)3．(2007启东质检)已知f(x)2，则下列函数图象错误的是( ) ．．

x1，x[0,1]

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4.（2006全国Ⅱ）函数f(x)xn的最小值为 ( )

n119（A）190 （B）171 （C）90 （D）45

x25.（2005北京市西城模拟）已知函数f（x）=2(x2),则f（lg30－lg3）

(x2),=___________；不等式xf（x－1）＜10的解集是_______________.

a,ab6. （2006浙江）对a,bR,记则maxa,b则函数

b,a＜bfxmaxx1,x2xR的最小值是 .

x(x0)2 7.已知函数f(x)3(0x1),当a<0时,f{f[f(a)]}=

logx(x1)132x1(x0)8.函数f(x)2的值域 。

x(x0) 简答:1-4.ACDC;

4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19| =|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x| ≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:… 5. f（lg30－lg3）=f（lg10）=f（1）=－2，

y=|x-2|yy=|x+1|x3f（x－1）=2x3,x3.

-1o2x当x≥3时，x（x－3）＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5.

当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.解集 {x|－5＜x＜5} 6. 由x1x2x1x2x221， 21x1x213fx如右图fminxf

122x2x2122

7.;8. 当x≥0时，x+1≥1；当x<0时，－x<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。

2四、经典例题做一做

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(n2000),n13【例1】设定义在N上的函数f（x）满足f（n）=求f（2002）.

(n2000),f[f(n18)]解：∵2002＞2000，

∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.

2x(x1)(x0)【例2】判断函数f(x)2的奇偶性。

x(x1)(x0) 解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x2(x－1)=f(x)；

当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x－1)= －x2(x+1)=f(x)。因此，对任意x∈R都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是

奇偶函数的结论。

【例3】(2007启东质检)已知函数f(x)|11|,(x0) x（1）当0ab,且f(a)f(b)时，求证：ab1；

（2）是否存在实数a,b(ab)，使得函数yf(x)的定义域、值域都是[a,b]，若存

在，则求出a,b的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在实数a,b(ab)，使得函数yf(x)的定义域为[a,b]时，值域为

[ma,mb](m0)，求m的取值范围．

11,x1,x解:（1）∵x0，∴f(x)

11,0x1.x∴f(x)在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数． 由0ab,且f(a)f(b)，可得0a1b， 所以有

111111，即2．∴2abab2ab abab

故ab1，即ab1

（2）不存在满足条件的实数a,b．

若存在满足条件的实数a,b，使得函数yf(x)|11|的定义域、值域都是[a,b]，xhttp://cooco.net.cn 永久免费组卷搜题网

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11,x1,x则a0．由f(x)

11,0x1.x①当a,b∈（0，1）时，f(x)11在（0，1）上为减函数． x11b,f(a)b,a故，即，解得ab． f(b)a.11a.b故此时不存在适合条件的实数a,b．

②当a,b∈1,时，f(x)1f(a)a,1在（1，＋∞）上为增函数．故，xf(b)b.11a,a即

11b.b此时a,b是方程xx10的根，由于此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数a,b．

③当a∈（0，1），b1,时，由于1∈[a,b]，而f(1)0a,b，故此时不存在适合条件的实数a,b．

综上可知，不存在适合条件的实数a,b．

（3）若存在实数a,b(ab)，使得函数yf(x)的定义域为[a,b]时，值域为

2[ma,mb]，则a0,m0．

①当a,b∈（0，1）时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，值域为[ma,mb]，

11mb,a即 解得a＝b>0，不合题意，所以a,b不存在．

11ma.b②当a(0,1)或b(1,)时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma,mb]，所以

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a,b不存在．故只有a,b1,．

11ma,f(a)ma,a1∵f(x)|1|在（1，＋∞）上是增函数，∴，即

x1f(b)mb.1mb.ba,b是方程mx2x10有两个根．

即关于x的方程mxx10有两个大于1的实根． 设这两个根为x1,x2．则x1x2211,x1x2 mm0,14m0,∴(x11)(x21)0,即1

20.(x1)(x1)0.m12解得0m1． 41． 4综上m的取值范围是0m【例4】设a为实数，设函数f(x)a1x21x1x的最大值为g(a)。 （Ⅰ）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)； （Ⅱ）求g(a)；

解：（I）∵t=1x+1x,

∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1. ∵t=2+21x2∈[2,4],t≥0, ①

2

∴t的取值范围是[2,2].

12

t-1, 21212

∴m(t)=a(t-1)+t=at+t-a,t∈[2,2].

2212

(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m（t）=at+t-a, t∈[2,2]的最大值.

2112

注意到直线t=-是抛物线m(t)= at+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论.

a2由①得1x2=

(1)当a>0时，函数y=m(t), t∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由

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t=-

1<0知m(t)在[2,2]上单调递增, a∴g(a)=m(2)=a+2.

(2)当a=0时，m(t)=t,t∈[2,2], ∴g(a)=2.

(3)当a<0时，函数y=m(t), t∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.

若t=-

21∈(0,2]，即a≤-，则g(a)=m(2)=2. 2a21111∈(2,2]，即a∈(-,-]则g(a)=m(-)=-a-.

2a2a2a若t=-

11∈(2,+ ∞)，即a∈(-,0),则g(a)=m(2)=a+2. a21a2, a,2121, a, 综上有g(a)=a2a222.2, a2若t=-

核心步骤:(1) m(t)=a(

1212

t-1)+t=at+t-a,t∈[2,2]. 22(2)求g(a)=[m(t)]max,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a分类分类讨论. 【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日

起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=ft； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=gt；

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

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(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=0t200,300t，

2t300,200t300;1(t－150)2＋100，0≤t≤300． 200由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)－g(t)

121175tt，0t20020022即h(t)=

1t27t1025，200t30022200当0≤t≤200时，配方整理得 h(t)=－

1(t－50)2＋100， 200所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当2001(t－350)2＋100 200所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5．

综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．

思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.

五．提炼总结以为师

1.分段函数、绝对值函数问题类型——

2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。

同步练习 2．11分段函数与绝对值函数

【选择题】

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x12e x21.(2006山东)设f(x)，则不等式f(x)2的解集为 ( ) 2log3(x1) x2A.(1,2)(3,) B.(10,) C.(1,2)(10,) D.(1,2)

(2a1)x7a2(x1)2．已知函数f(x)x在（－∞，＋∞）上单调递减，则实数a

a (x1)的取值范围是 ( )

A．（0,1） B．（0,） C．,1 D．,213831 823. 已知函数f(x)2x1,g(x)1x2构造函数F(x)，定义F如下：当|f(x)|g(x)时，

F(x)|f(x)|，当|f(x)|g(x)时，F(x)g(x)，那么F(x) ( ）

A．有最小值－1，无最大值 C．有最大值1，无最小值

【填空题】

B．有最小值0，无最大值 D．无最小值，也无最大值

1,x0,4.已知f（x）=则不等式xf（x）+x≤2的解集是________________.

0,x0,x0,15.（2005北京东城模拟）定义“符号函数”f（x）=sgnx=0x0,则不等式x+2＞

1x0,（x－2）sgnx的解集是______________.

6.已知函数f(x)=|x2－2x－3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，则a= 。 简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集{x|x≤1}; 5.（－5，+∞）;6. 由图象易知a=4。

【解答题】

x21(x0)7.求函数f(x)的反函数。

1x(x0) 解：∵ f(x)在R上是单调减函数， ∴ f(x)在R上有反函数。 ∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是yx1 (x≥1), y=1－x(x>0)的反函数是y=1－x(x<1), ∴ 函数f(x)的反函数是f1x1(x0)(x)

(x0)1x 注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。

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8.设A={x||x|=kx+1},若A∩R+=φ,A∩R-≠φ,求实数k的取值范围.

解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标,结合图形知,当直线y=kx+1在α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k≥1.

解法2:由题意须x0 ①有解,

xkx1yy=|x+1|y=|x|-1o1xx0 ②无解. xkx1①中k=-1时无解,k1时,x10得k1; k11②中k=1时无解,k≠0时,若x0即k1,则②有解,

1k所以, k≥1.

2

9. (2005浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围． 解：（I）设函数yf(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),

x0x0x0x2则  即 .

yyyy0002∵点Q(x0,y0)在函数yf(x)的图象上.

yx22x, 即yx22x, 故g(x)＝x22x.

2(II)由g(x)f(x)|x1|可得：2x|x1|0

2当x1时，2xx1|0

此时不等式无解。

当x1时，2xx10

21x1 21]. 2因此，原不等式的解集为[-1,

2 (III) h(x)(1)x2(1)x1.

① 当1时，h(x)＝4x1在[-1,1]上是增函数，

1

②当1时，对称轴的方程为x1 1http://cooco.net.cn 永久免费组卷搜题网

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11，解得1。 11(ii) 当1时，1时，解得10

1综上,0

(i) 当1时，

10. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：

196x(1xc,xN) （其中c为小于96的正常数） P2(xc,xN)3注：次品率P品．

已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损

次品数，如P0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格生产量A元，故厂方希望2定出合适的日产量．

（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

讲解 （1）当xc时，P 当1xc时，P12A2，所以，每天的盈利额TxAx0;

332311，所以，每日生产的合格仪器约有1x件，次品96x96x约有1x件．故，每天的盈利额 96x13x1AT1xAxxA. 296x96x96x2 综上，日盈利额T（元）与日产量x（件）的函数关系为：

3xxA, 1xc T296x0, xc （2）由（1）知，当xc时，每天的盈利额为0．

3xA． 当1xc时，Tx296x令96xt，则096ct95．故

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396t1441T96tA97tA2t2t．

1144147972tAA02t2144，即t12即x88时，等号成立． t147所以（i）当c88时，Tmax． A（等号当且仅当x88时成立）

2 （ii） 当1c88时，由1xc得1296ct95，

144易证函数gtt在t(12,)上单调递增（证明过程略）．

t当且仅当t 所以，g(t)g96c．所以，

1441c2c214414411T97tA0即A9796cAt96c1922c22Tmax1441c2c2（等号当且仅当xc时取得） A．

1922c综上，若88c96，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若1c88，则当日产量为c时，可获得最大利润．

点评：分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．

【探索题】(2006福建)已知函数f(x)x8x,g(x)6lnxm. （I）求f(x)在区间t,t1上的最大值h(t);

（II）是否存在实数m,使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 解：（I）f(x)x8x(x4)16.

当t14,即t3时，f(x)在t,t1上单调递增， h(t)f(t1)(t1)8(t1)t6t7; 当t4t1,即3t4时，h(t)f(4)16; 当t4时，f(x)在t,t1上单调递减，

22222h(t)f(t)t28t.

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t26t7,t3,3t4, 综上，h(t)16,　　　　t28t,　　t4 （II）函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数 (x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

(x)x28x6lnxm,

62x28x62(x1)(x3)'(x)2x8(x0),xxx 当x(0,1)时，'(x)0,(x)是增函数； 当x(1,3)时，'(x)0,(x)是减函数； 当x(3,)时，'(x)0,(x)是增函数； 当x1,或x3时，'(x)0.

(x)最大值(1)m7,(x)最小值(3)m6ln315.

当x充分接近0时，(x)0,当x充分大时，(x)0.

要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

(x)最大值m70, 即7m156ln3.

(x)最小值m6ln3150, 所以存在实数m，使得函数y =f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15-ln3)

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