专题 椭圆(知识点讲解)- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解(原卷版)

专题9.3 椭圆（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数算的核心素养．

2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数算、直观想象的核心素养．

【知识点展示】

一．椭圆的定义及其应用 1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合P={M||MF1|+|MF2|=2a|FF12|=2c. ①若ac，则集合P为椭圆； ②若ac，则集合P为线段；

1 / 8

③若ac，则集合P为空集．

x2y22.椭圆的标准方程：焦点在x轴时，22=1(a>b>0)；焦点在y轴时，

aby2x2=1(a>b>0) a2b2二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：

x2y2（1）焦点在x轴，2+2=1(a>b>0)；

aby2x2（2）焦点在y轴，2+2=1(a>b>0).

ab2222．满足条件：2a＞2c，a＝b＋c，a＞0，b＞0，c＞0

三．椭圆的几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0 图形 x2y2标准方程 +=1(a>b>0) a2b2范围 对称性 y2x2+=1(a>b>0) a2b2xa,yb 曲线关于x,y轴、原点对称 长轴顶点a,0 ,短轴顶点0,b xb,ya 曲线关于x,y轴、原点对称 长轴顶点0,a ,轴顶点b,0 顶点 焦点 焦距 c,0 F1F2＝2c(c2＝a2b2) 0,c 2 / 8

离心率 ce＝ 0,1，其中c＝a2b2 a通径 2b2过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 a四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断

(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．

2．直线与椭圆的相交长问题：

（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则弦长公式为MN＝2

(1k2)[(x1x2)24x1x2]或MN＝(1（2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式

12)[(yy)4y1y2]． 122kx2y2b2若M(x0，y0)是椭圆2+2=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝2，

abab2x0即kAB＝2.

ay0【常考题型剖析】

题型一：椭圆的定义及其应用

x2y2FF例1.（2021·全国高考真题）已知1，2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，

94则MF1MF2的最大值为（ ） A．13

B．12

C．9

D．6

x2y2P为椭圆C上一动点，例2. （2021·全国）已知椭圆C:定点A(2,4)，1的右焦点为F，

43则|PA||PF|的最小值为（ ） A．1

B．－1

C．17 D．17 x2y21上的点，F1、F2分别是椭圆的左、例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P是椭圆259 3 / 8

右焦点，若A．33 PF1PF2PF1PF212，则△F1PF2的面积为（ ）

C．3 D．9

B．93 【规律方法】

1.应用椭圆的定义，可以得到结论：

（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

定义式的平方2.对焦点三角形△F1PF2的处理方法，通常是运用余弦定理面积公式22（|PF|+|PF|12）(2a)22(2c)2|PF||PF||PF|cos. 1+|PF|22121S|PF||PF|sin1223.椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程

1x2y2例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，A1,A2分

3ab别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1BA21，则C的方程为（ ）

x2y2A．1

1816x2B．

9y281

x2y2C．1

32x2D．y21

2例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线

│AF││F2B││AB││BF│与C交于A，B两点.若，221，则C的方程为（ ）

x2A.y21 2x2y2B.1

32x2y2C.1

43x2y2D.1 54例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得F1PF290，则椭圆C方程可以是（ ）

x2y2A．1

259x2y2B．1

2516 4 / 8

x2y2C．1

1【总结提升】

x2y2D．1

1691.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．

1 (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx＋ny＝22(m＞0，n＞0且mn)．

(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组． (4)求解，得方程．

x2y2x2y22．(1)方程2+2=1与2+2=(>0)有相同的离心率．

ababx2y2(2)与椭圆2+2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为

abx2y22+=1(a>b>0,bk0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 22akbk题型三：椭圆的几何性质

x2y2例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆C:221(ab0)的左顶点为A，点P，Q均

ab1在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）

4A．3 2B．

2 2C．2

11D．

3例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为

x2y2该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：221ab0的蒙日圆方程为x2y2a2b2，F1，F2ab分别为椭圆C的左、右焦点.离心率为5，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两5条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若MPQ面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（ ） A．25 B．45 C．23 D．43 x2y20)，则C1(a0)的一个焦点为(2，例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C：2a4的离心率为（ ） 1A．

3B．2

1C．2 2D．22 3 5 / 8

x2y2例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆C:221ab0的左，右焦点分

abF2，别为F1，以坐标原点O为圆心，线段F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若

AF12AF2，则椭圆C的离心率的取值范围为______．

【总结提升】

1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用. 2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：

(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴

b22b2的通径长为2e?等．

cax2y2(2)设椭圆2+2=1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，

abP在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．

(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． 4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或cb2范围．较多时候利用e＝ ,e12解题.

aa题型四：直线与椭圆的位置关系

x21例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆y21，则该椭圆所有斜率为2的弦的中点的轨

4迹方程为_________________．

x2y2例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P为椭圆E:221(ab0)上任意一点，

abF1,F2为左､右焦点，M为PF1中点.如图所示：若OM13PF12，离心率e. 22 6 / 8

(1)求椭圆E的标准方程； (2)已知直线l经过

1,11且斜率为2与椭圆交于A,B两点，求弦长2AB的值.

x2y2例13.（2022·天津·高考真题）椭圆221ab0的右焦点为F、右顶点为A，上顶

ab点为B，且满足

BFAB3． 2(1)求椭圆的离心率e；

(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若OMON，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程． 【规律方法】

一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断

2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法

(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题

4.定值、最值及参数范围问题 5.存在性问题

二．常用思想方法和技巧有：

1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.

三. 若直线与椭圆有两个公共点M(x1，y1)，N(x2，y2)，可结合韦达定理，代入弦长公式

MN＝(1k2)[(x1x2)24x1x2]或MN＝(1题型五：椭圆与圆的相关问题

12)[(yy)4y1y2]，求距离． 122kx2y2 设椭圆221(ab0)的左焦点为F，例14. （2019·天津·高考真题（文））左顶点为A，

ab上顶点为B.已知3|OA|2|OB|（O为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；

7 / 8

3（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直

4线l相切，圆心C在直线x4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.

x2y2例15.（陕西高考真题）已知椭圆:221（ab0）的半焦距为c，原点到经

ab过两点c,0，0,b的直线的距离为（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）如图，是圆:x2y1求椭圆的方程．

221c． 25的一条直径，若椭圆经过，两点，2

例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(6,0)，F2(6,0)，动点M满足MF1MF243，记点M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程；

(2)圆x2y24的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求|PA||PB|的值． 【总结提升】

从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.

8 / 8