一类非线性切换系统的稳定域

文章编号:1005-3026(2006)02-0127-04

一类非线性切换系统的稳定域

李浚圣1,原忠虎2,李建华2,高立群1

(1.东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳 110004;2.沈阳大学信息工程学院,辽宁沈阳 110044)

摘 要:在生物学超循环(Hypercycle)系统的基础上,提出了非线性循环系统和非线性循环切换系统的概念,并建立了数学模型,这类系统具有广泛的实际背景#分别研究了非线性循环系统和

非线性循环切换系统的稳定域问题,并通过系统循环矩阵的特征值,给出了非线性循环切换系统在任意切换律和确定切换律下的稳定域#仿真实验进一步检验了结论的正确性#关 键 词:切换系统;非线性系统;循环系统;切换律;稳定域中图分类号:TP273 文献标识码:A

切换系统是由连续动态系统作为子系统,通过离散切换量组成的较为复杂的一类系统,属于混杂系统的范畴#切换系统已经成功应用到飞机多工作点的飞行控制、电力系统网络的切换、多频采样数字控制系统、无线电通讯、受约束机械人、高速公路、柔性生产制造等许多领域#文献[1~3]研究的舞蹈机器人也是切换系统应用的较好例子#

稳定性是控制系统基本而重要的特性#有关切换系统稳定性的问题,已经有一些研究,但结果主要集中在线性切换系统#由于非线性的复杂性,只能对特殊的非线性系统进行研究#本文将对一类存在于生物学领域中的非线性循环切换系统,研究其稳定性情况,给出在任意切换律下和确定切换律下的稳定域#

xÛ1xÛ2 xÛn

=f(x1,x2,,,xn),=f(x2,x3,,,x1),s

=f(xn,x1,,,xn-1)#

(1)

规定第n个种类xn的下一个种类是x1,这是以种类x1,x2,,,xn构成的非线性循环系统#

在文献[5~7]的讨论中,都是把f(x1,x2,,,xn)作为x1,x2,,,xn的二次函数#因此,不妨设f(x1,x2,,,xn)=aX+XTBX,其中,X=(x1,x2,,,xn)T为状态向量,a=(a1,a2,,,an)为f(x1,x2,,,xn)的一次项系数向量,对称矩阵BIRn@n是f(x1,x2,,,xn)的二次齐次项系数矩阵#记

00s01

10s00

,,,,

00s00

00s10

1 系统模型描述

艾根(Eigen)在生命起源和生物进化的研究中,提出了超循环自组织进化论[4,5]#循环和发展是相互联系的,大自然的万物在循环中发展,在发展中循环#在系统内部,所有组成系统的各个种类,都是以一种循环的方式,相互联系#每一个种类的变化率,除接收自己的信息以外,还接收系统的前一个种类的信息,并且也接收后一个种类的信息[6]#如果记系统的各个种类为x1,x2,,,xn,则这类系统可以表示为

E=,

n@n

(2)

则E是一个正交阵#用E作为基本变换矩阵,则状态向量之间的关系可以表示如下:

(x2,x3,,,x1)T=EX,(x3,x4,,,x2)T=EX,,,(xn,x1,,,xn-1)=E所以,有

f(x1,x2,,,xn)=f(X)=aX+XTBX,f(x2,x3,,,x1)=f(EX)=aEX+XTETBEX,

s

2

T

n-1

X#

收稿日期:2005-04-01

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60274009);沈阳市科技计划项目(10220360-1-07)#

作者简介:李浚圣(1963-),男,辽宁沈阳人,东北大学博士研究生,沈阳大学副教授;原忠虎(1962-),男,辽宁大连人,沈阳大学

教授;李建华(1957-),男,辽宁盘锦人,沈阳大学教授;高立群(1949-),男,辽宁沈阳人,东北大学教授,博士生导师#128

f(xn,x1,,,xn-1)=f(En-1X)=aEn-1X+XT(En-1)TBEn-1X#记

a1a2,aA=

aEsaEn-1

=

ansa2

a1sa3

,,

东北大学学报(自然科学版) 第27卷

AT)={2Re(K1),2Re(K2),,,2Re(Kn)}#其中,Ki是矩阵A=cl(a1,a2,,,an)的特征值#

证明 由引理2,存在酋矩阵GICn@n,使

anan-1sa1

n@n

G*AG=diag(K1,K2,,,Kn),取共轭转置得

,

*

G*ATG=diag(󰀂KK󰀂1,󰀂2,,,Kn)#因此有G(A+T

A)G=diag(K1+󰀂K1,K2+󰀂K2,,,Kn+󰀂Kn),即

K(A+AT)=(2Re(K1),2Re(K2),,,2Re(Kn)}#

在非线性循环系统(4)中,可以看出,系统状态的平衡点,就是原点#因此,系统的稳定区域包含原点#下面给出该系统稳定域的判别定理#

定理1 对于非线性循环系统(4),如果矩阵A=cl(a1,a2,,,an)是稳定的,记K(A)={K1,K2,,,Kn},K(B)={L1,L2,,,Ln},令KMax=Max{Re(K1),Re(K2),,,Re(Kn)},|L|Max=Max{|L=1|,|L2|,,,|Ln|},取Q

-KMax

,则区

n|L|Max

(3)

则A是循环矩阵[8],其循环元素为a1,a2,,,an,采用文献[8]的记号,有A=cl(a1,a2,,,an)󰀁)BE,i=1,2,,,n,i=(E#再记B

则非线性循环系统(1)可表示为

XÛ=AX+F(B,X),(4)

T

其中,FT(B,X)=(XTB󰀁󰀁1X,XB2X,,,XB󰀁nX),X=(x1,x2,,,xn)是状态的向量#

在系统的演化过程中,当满足一定的参数条件时,将产生一个从催化(catalysis)到抑制(suppression)的切换点,形成切换系统#环境的改变、人为的控制、突发事件的产生等等,都有可能产生切换点,从而有非线性循环切换系统:XÛ=AjX+F(Bj,X) (j=1,2,,,m),

(5)

其中,Aj=cl(

(j)

a1,

(j)a2,

T

T

IR

n@ni-1Ti-1

2

域8={X|XTX一个稳定域#

证明 因为矩阵A=cl(a1,a2,,,an)是稳定的,即Re(Ki)<0,i=1,2,,,n#由引理3可得

T

K(A+A)={2Re(K1),2Re(K2),,,2Re(Kn)},即AT+A是稳定的#取正定二次函数V(X)=XTX为Lyapunov函数,沿系统(4)求导数,有VÛ(X)=XÛTX+XTXÛ=XT(AT+A)X+

T2(XTB󰀁B2X,,,XT󰀁BnX)X[1X,X󰀁T2KMaxXX+2

,,

(j)

an)

IR

n@n

为第j个

T

(j)

子系统中一次项的系数矩阵,是循环矩阵#F

(j)

(j)

TT

(Bj,X)=(XTB󰀁󰀁󰀁1X,XB2X,,,XBnX)是

第j个子系统中二次齐次项函数,(E

i-1T

(j)

B󰀁i

=

,i=1,2,,,n,j=1,2,,,m#对

称矩阵Bj为第j个子系统中二次齐次项系数矩阵#

)BjE

i-1

n|L|MaxXTXXTX=

2(KMax+n|L|Max

XTX)XTX#

XX<0,即

T这样,只要KMax+XTX<

n|L|Max

2 准备工作

引理1[8] 循环矩阵A=cl(a1,a2,,,an)的特征值集合为K(A)={K1,K2,,,Kn},其中,

Ki=a1Xi+a2Xi+,+anXi,

0

1

n-1T

0

1

n-1

-KMax

=Q,就有ÛV(X)<0,从而使

n|L|Max

(6)

2

得系统稳定#因此,区域8={X|XTXi=1,2,,,n,并存在与循环元素a1,a2,,,an无关的特征向量Ni=(Xi,Xi,,,Xi),而Xi=2(i-1)P2(i-1)Pcos+isin是式(2)中矩阵E

nn

的特征值#

[8]

引理2 对于循环矩阵A=cl(a1,a2,,,an),存在与循环元素a1,a2,,,an无关的酋矩阵GICn@n,使G*AG=diag(K1,K2,,,Kn)#其中,Ki由式(6)给出#

引理3 由循环矩阵A=cl(a1,a2,,,an)构成的对称阵A+A,其特征值集合为K(A+T

3 主要结果

3.1 系统在任意切换律下的稳定域

定理1给出单个非线性循环系统的稳定域#以单个非线性循环系统作为子系统构成的切换系统,可利用定理1的结果,解决其在任意切换律下的稳定域问题#

定理2 对于非线性循环切换系统(5),如果每个子系统中一次项的系数矩阵Ai=cl(a1,a2,,,an)都是稳定的,设K(Ai)={K1,K(Bi)={L1,L2,,,Kn},K2,,,Ln}#令(i)

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)(i)

第2期 李浚圣等:一类非线性切换系统的稳定域KMax=Max{Re(K1),Re(K2),,,Re(Kn)},|L|=

(i)

Max=(i)

(i)

(i)

(i)

129

Max{|

(i)L1

|,|

(i)

L2,

|,,,|

(i)Ln

|,取Qi

由于VÛ(X)=

T

T

j=1

6

m

SÛj(X),其中ÛVj(X)=jV

T

(j)

T

(j)

(i)

-KMax

(i),n|L|Max

X(Aj+Aj)X+2(XB󰀁󰀁1X,XB2X,,,

令Q=Min{Qi|i=1,2,,,n},则

T

2

T

XTB󰀁nX)X,它是V(X)=XX沿第j个子系统

(j)

区域8={X|XX证明 对系统(5)中的每个子系统XÛ=AiX+FiX,由定理1构造8={X|XTXLyapunov函数,则对任意的初始值X0I8,沿第i个子系统求导数,有

V(X)=XT(Aj+Aj)X+Û

TT2(XTB󰀁󰀁󰀁1X,XB2X,,,XBnX)X[(j)T2KMaxX

(j)

(j)

(j)

T

T2

的导数,其中,B󰀁1定的XI

(j)

=(Ei-1)TBjEi-1#对任意确

j=1

8,由VÛ(X)=

6

m

SVj(X)<0,说明jÛ

至少存在某个VÛj(X)<0成立#令Wj={X|Vj(X)<0,XI8},则有8=GWj#令WÛ󰀃1=

W1,W󰀃2=W2-W󰀃1,,,W󰀃󰀃m=Wm-Wm-1,设计切换律如下:

当XI当XI当XI

8HW󰀃1,运行第一个子系统,8HW󰀃2,运行第二个子系统,8HW󰀃m,运行第m个子系统#

(7)

则均有VÛ(X)<0,故系统(5)在确定切换律(7)

2下,以区域8=(X|XTXX+2n

(j)

(j)T

LMaxX

XXX=

T s

2(KMax+

(j)

nLMax

XTX)XTX<0#

从而,8是系统(5)在任意切换律下的一个稳定域#

3.2 系统在确定切换律下的稳定域

如果非线性循环切换系统(5)中,一次项的系数矩阵AjIRn@n,j=1,2,,,m,不都是稳定的,则至少存在某个矩阵Ak=cl(a1,a2,,,an)不是稳定的,系统(5)就不可能存在任意切换律下的稳定域#但是,如果矩阵组{A1,A2,,,Am}满足凸组合[9,10]条件,则可以设计一个切换律,使系统(5)在确定切换律下,存在一个稳定域#

定理3 对于非线性循环切换系统(5),如果它的一次项系数矩阵AjIRn@n,j=1,2,,,m,不都是稳定的,但是存在一组非负常数S1,S2,,,Sm,使得S1A1+S2A2+,+SmAm是稳定的#记A=S1A1+S2A2+,+SmAm,B=S1B1+S2B2+,+SmBm,设K(A)={K1,K2,,,Kn},K(B)={L1,L2,,,Ln},令KMax=Max{Re(K1),Re(K2),,,Re(Kn)},|L|Max=Max{|L1|,|L2|,-KMax

,则可以设计一个切换

n|L|Max

律,使得系统(5)在这个确定切换律下,以区域8,,|L=n|}及Q

2={X|XTX(k)

(k)

4 实例仿真

通过实际例子,考察非线性循环切换系统稳定域#

例1 非线性循环切换系统为XÛ=AjX+Fj(Bj,X),j=1,2,3,其中,A1=cl(-5,-2,1),

A2=cl(-7,-3,1),A3=cl(-8,3,-1);B1=

-017

-015

-015012

-0103-0103,112

-0103-0103

B2=

017-014011-014018-013,011

-013-116-115-016-013B3=

-016014-011#-013-011115

通过计算得:K(A1)={-415+j216,-415-j216,-6},K(A2)={-416+j715,-416-j715,-1118},K(A3)={-811+j714,-811-j714,-718}#所以Aj都是稳定矩阵#由定理2,可以得到一个在任意切换律下的稳定域#进一步

计算得K(B1)={-019,014,112},K(B2)={-116,014,112},K(B3)={-117,016,115},KMax=-415,KMax=-416,KMax=-718,|L|Max=112,|L|Max=116,|L|Max=117,Q1=2117,Q2=

(2)

(3)

(2)

(3)

(1)

(1)

证明 由于A=S1A1+S2A2+,+SmAm

为循环矩阵,B=S1B1+S2B2+,+SmBm为对

称阵,因而以A,B构造的非线性循环系统,由定理1就能够确定稳定域8,使得选取的Lyapunov函数V(X)=XTX对任意的XI8,都有VÛ(X)<0#130东北大学学报(自然科学版) 第27卷

1166,Q=Min{Q3=2165#取Q1,Q2,Q3}=1166,则区域8={X|XTX<11662}是系统的一个稳定域#选取初始值(-018,-013,017)TI8,取任意(随机)切换律,仿真结果见图1#

是个超球体#稳定域的形状能否为椭球体或其他形状,以及稳定域更详细的特性,还有待进一步的研究#参考文献:

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TheorBiol,

[3][4][5]

图1 切换系统在任意切换律下的状态运行轨迹Fig.1 Statemovementtrackofswitchedsystemin

accordancetoarbitraryswitchinglaw

[6]

5 结 语

本文讨论了一类非线性切换系统的稳定域问题,给出稳定域的一种确定方法#但是,这个稳定域还不是最大的#在仿真过程中,发现这样的例子,当初始点在稳定域之外,也有切换系统收敛的情况#这说明,本文所确定的稳定域还可以进一步/放大0#有关稳定域的形状特征,目前只能证明它

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StabilityDomainforaClassofNonlinearSwitchedSystems

LIJun-sheng1,YUANZhong-hu2,LIJian-hua2,GAOLi-qun1

(1.SchoolofInformationScienceandEngineering,NortheasternUniversity,Shenyang110004,China;2.SchoolofInformation,ShenyangUniversity,Shenyang110044,China.Correspondent:LIJun-sheng,associateprofessor,E-mail:eailljs312@sohu.com)

Abstract:Proposestheconceptsofnonlinearcirculantsystemandnonlinearcirculantswitchedsystemanddevelopscorrespondinglythemathematicalmodels,whichareextendedfromHypercycleasabiological.Thetwokindsofsystemsthushaveawidebackgroundinpractice.Thestabilitydomainofbothsystemsproposedarestudiedseparately,andthestabilitydomainofthenonlinearcirculantswitchedsysteminaccordancetoarbitraryandcertainswitchinglawsisgivenintermsoftheeigenvaluesofcirculantsystemmatrices.Simulationhasverifiedtheresults.

Keywords:switchedsystem;nonlinearsystem;circulantsystem;switchinglaw;stabilitydomain

(ReceivedApril1,2005)