RC及RL电路的过渡过程

RC及RL电路的过渡过程

刘训永（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）

指导老师：潘康生

摘 要：一个电路从原来的稳定状态向新的稳定状态变化需要经过另一个时间过程，这就是电路的过渡过程。电路的过渡过程虽然往往很短暂，但它的作用和影响很重要。本文将用数学分析方法对RC及RL一阶线性电路进行全面分析，目的就在于认识和掌握有关的规律，利用过渡过程特性的有利的一面，对其有害的一面进行预防或抑制。

关键词：过度过程，放电过程，充电过程，零状态，非零状态

I．RC电路的过渡过程

1．1 RC电路的放电过程

设开关原在位置2，电路达到稳态后，电容电压等于U,在t0时开关突然倒向位置1,则在t0时，按照基尔霍夫电压定律列出电路方程

iRuC0

因为 iC故得 RCduC dt图（1）RC电路

duCuC0 （1） dt这是一个一阶、线性、常系数、齐次微分方程，其通解为

pt uCAe

将上式代入式（1），消去公因子Ae,则得到该微分方程的特征方程

ptRCP10

该特征方程根（特征根）为

p因此，式（1）的通解为

1 RCtRCuCAe

其中A为待定的积分常数，由初始条件确定。根据换路定律，换路瞬间电容上的电压不能突变，即在t0时，uC=U，故有A=U。于是微分方程（1）的解为

uCUetRCUe （2）

t将电容电压uC随时间的变化曲线画在图（2）（a）中，这是一个指数曲线，其初始值为U，衰减的终了值为零。

1

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式（2）中=RC，称为RC电路的时间常数，它决定了电压uC衰减的快慢。的单位

RC欧法拉=欧即代表时间，其单位为秒。

当t=时

库仑安秒=欧=秒 伏伏ucUe1U36.8℅U 2.718可见时间常数等于电压uC衰减到初始值U的36.8%所需的时间。可以证明，指数曲线上任一点的次切距的长度ab都等于，见图（2）（b），图中在tt0点曲线的变化率

duC

dttt0Uet0uC(t0)

它就是曲线在c点的切线的斜率。在直角三角形abc中

acuC(t0)

tg故

duCdtuC(t0)tt0

acuC(t0)ab

u(t)tgC0 （a） （b）

图（2）RC放电电路中电容电压uc随时间的变化曲线。

这就意味着，如果在tt0点，按曲线在该点的切线cb的斜率衰减，经秒后电容上的电压uC就会衰减到零。[1]

下表列出RC电路放电时，电容电压uC随时间的变化情况

t uC 0  0.368U 2 3 4 5 6 U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 从表中可见，当t3时，uC衰减到初始值的5%，当t5时，uC已衰减到初始值的1%以下。所以一般认为t(3~5)时，电路已经达到稳定状态。虽然从理论上讲，当t时电路才到达稳定。

RC电路放电过程中电容的放电电流和电阻的电压如下面的式子所示

tduCUtURCiCee

dtRR 2

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uRiRUetUetRC

上面式中的负号表示放电电流和电阻电压的实际方向与图（1）中的参考方向相反。

在图（3）中画出了uC,uR和i随时间的变化曲线，从中可以清楚地看出三者之间的关系，从能量关系上讲，RC电路的放电过程实际上是电容C的电场能量转换为电阻上的热能的过程。到达稳态后，电容上的电场能量全部转化为电阻上的热能。这个关系可证明如下：

电容原来储存的电场能量为 uC1CU2 2在整个放电过程中，电阻上消耗的热能为

RiRdt020U2RCtedtR22tRCU2RC1eCU2c2R02

图（3）

uC,uR和i随时间的变化曲线

放电过程的快慢以时间常数RC为标志，C越大，表示储存的电场能量越大；R越大，表示放电电流越小，这都使放电变慢。所以，改变电路中R或C的数值，就可改变电路的时间常数，从而改变电容放电的快慢。[2]

1．2 RC电路的充电过程

图（1）中，当开关K合向位置2时，RC串联电路即与直流电源U接通，电源通过电阻R向电容C充电。这实际上就是图（4）的电路。下面讨论RC充电电路的过渡过程。 选t0时换路，则t0时电路的微分方程为

duCuC （3） dtdu式中 iCC

dtUiRuCRC式（3）是一个一阶、线性、常系数、非齐次微分方程，它的通解由它的一个特解uC及对应的齐次微分方程的通解uC组成。特解uC与方程中的已知函数U（即电源电压）有相同的形式，设uCK,代入式（3）得

URCdKK dt图（4） RC充电电路

故 KU

因而得到方程的特解 uCU

3

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实际上它就是微分方程中待求函数uC的稳态值。因为稳态就是过渡过程在t时的情况，所以稳态解必定是该微分方程的一个特解。参看图（4），稳态时电容相当于断路，根据基尔霍夫电压定律，电容上的稳态电压等于电源电压U。

式（3）对应的齐次微分方程就是式（1），其通解记为uC，则有 uCAe因此微分方程（3）的通解为

tRC

uCuCuCUAe1．2．1 零状态

tRC （4）

下一步是根据初始条件定积分常数A。下面分两种情况来讨论。[3]

若换路瞬间t0时电路中的所有储能元件均没有储存能量，即电路中电容电压和电感电流均为零（初始条件为零），则称电路为零状态。在RC电路充电过程中，零状态就是uC(0)0。按照换路定律，有 uC(0)uC(0)0 将它代入通解式（4）中，得

uC(0)UAe故 AU 最后得到微分方程（3）的解为

0RCUA0

图（5） RC充电电路中uC随时间的变化曲线

uCUUetRCttU1eRCU1e （5） 在图（5）中画出了电容的充电电压uC随时间的变化曲线，其中uC是恒定的，uC按指数规律衰减至零，uC则按指数规律增长而最终趋于稳态值。

当t时

1uCU(1e1)U163.2%U

2.718电容充电的过渡过程中电容上的电压uC由两个分量组成，如式（5）所示，其中uC为稳态分量，即到达稳定状态时的电压，它相当于微分方程的特解，与输入函数（电源电压）有相同的形式，故又称强制分量；uC为暂态分量，它只在过渡过程中存在，随时间按指数规律衰减，最终衰减到零。暂态分量的衰减规律只与R和C有关，而与电源无关，但它的大小则与电源电压有关。暂态分量相当于对应的齐次微分

4

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方程的通解，有时又称为自由分量。[4]

RC充电过程中的电流按下式求出

duCUte iCdtR电阻上的电压为

URiRUet

图（6）uC,uR和i随时间的变化曲线

将uC,uR和i随时间的变化曲线画在一起，如图（6）所示。 1．2．2 非零状态

若在换路瞬间t0时，电路中的储能元件已储有能量，即已有电容电压或电感电流（初始条件不为零），则称电路处于非零状态。在RC电路充电过程中，非零状态就是uC(0)有非零值，设uC(0)U0，按照换路定律，有

uC(0)uC(0)U0 将它代入通解式（4）中，得 uC(0)UAe0RC(a)u0u时 (b)u0u时

图（7）uC随时间的变化曲线

UAU0

故 AU0U 微分方程的解为

uCU(U0U)etRCU(U0U)e （6）

t它也是由稳态分量和暂态分量组合而成。图（7）画出了uC随时间变化的曲线。当U0U时，uC由初始值U0逐渐增加到稳态值U，这是一个充电过程，如图（7）（a）所示；当U0U时， uC由初始值U0逐渐衰减到稳态值，这是一个放电过程，如图（7）（b）所示。

电路的电流

duCUU0te iCdtR可见，U0U时i为正，

U0U时i为负，即两种情况下电路中电流的方向相反，它们分别为充电电流和放电电流。

5

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电阻上的电压

uRiR(U0U)et

讨论了RC串联电路的过渡过程后，可以归纳出解线性电路过渡过程的一般步骤：[5]

（1）列出换路后的电路的微分方程；

（2）求微分方程的特解，即稳态分量；

（3）求对应的齐次微分方程的通解，即暂态分量；

（4）按换路定律确定过渡过程的初始值，定出积分常数。

例1： 如图（4）所示RC电路中，U100V,R50,C0.2F,电容原无储能。在t0时合开关K，

求：（1）电路的时间常数，（2）电容上的电压uC和电流i，（3）最大充电电流，（4）开关合上后20s时

的uC和i，（5）电容电压充到95V所需时间。

解：

（1）该RC电路的时间常数

RC500.210（2）电容上的电压

t uCU1e610106s10s

105t)V 100(1e电路电流

5Ut100105te2e10tA ieR50（3）开关K刚合上时，即t0时，电容电压uC（0）=uC（0）=0，这时电源电压全部降落在电阻R上，电路的电流

i(0)

U1002A R506

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为最大充电电流，此后该电流按时间常数逐渐衰落到零。 （4）合上开关后20s时，即t20s2010s时

6uC100(1e102010)100(1e2)86.5V

i2e20.27A

（5）设tt1时uC=95V，即 UC(t1)U(1e故 e105tt156t1)100(1e105t1)95

950.05 1001n0.055 t1310s30s 510即电容电压充到95V所需时间为30s。

2 RL电路的过渡过程

12．1 RL 电路的短接

如图（8）所示，开关K原在打开位置，电路已处于稳定状态，这时电感中的电流

I0U

RR图（8）RL电路的短接 图（9）i,uL,uR随时间的变化曲线

这也是电感电流的初始条件。合上开关后，电路的微分方程为

LdiRi0 dtRtL这是一个齐次微分方程，它只有暂态分量，即 iAe

按照换路定律，电感电流不能跃变，即

i(0)i(0)I0

故得 AI0 于是有 iI0e电感上的电压

tdiuLLRI0e

dtRtLI0e （7）

t电阻上的电压为

7

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uRRiRI0e

电感电压与电流的变化率成正比，电阻电压与电流成正比，在RL串联电路短接后的任一时刻，两者的数值相等而方向相反。电流i和电压uL,uR随时间的变化曲线如图（9）所示。

从能量观点看，RL串联电路短接后，电感中原来储存的磁场能量WLt12LI0逐渐转换为电阻中的热2能而消耗掉。这个过程的时间常数与电感L成正比，与电阻R成反比。电感L越大，电感中储存的磁场能量越多，能量转换的时间就越长，即越大；电阻越大，在同样电流的条件下，电阻消耗的能量就越多，能量转换的时间就越短，即越小。而在RC串联电路中，电阻对时间常数的作用正好相反，R越大，越

1CuC2,而在电压uC相同的条件下，电阻越大，电阻消耗的能2量就越小，因而能量转换的时间就越长，即越大。[6]

大。这是因为电容中储存的电场能量WC2．2 RL电路接通直流电压源

如图（10）就相当于这种情况，根据基尔霍夫电压定律，有

LdiRiu （8） dt这是一个一阶、线性、常系数、非齐次微分方程，它的解是 iii 这时微分方程（8）的稳态分量 i其通解为

U R 图（10）RL电路

tUiAe （9） iiR若换路前电感中没有电流，即i(0)0，按照换路定律，有i(0)i(0)0，代入上面的通解中，得 AU RtUUtU故 ie1eRRR （10） 电感和电阻上的电压分别为

diULLUe

dtttuRRiU1e 8

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图（11）i,uL,uR随时间变化的曲线 图（12）非零状态的RL电路

图（11）画出了电流i和电压uL,uR随时间变化的曲线。

从能量观点看，RL电路在零状态下接通直流电源后，电感电流由零增至稳态值

2U，电感中的磁场能R121U量WCLi亦由零增至稳态值L，而电阻R在过程中总是吸收电能的，这两部分能量均由直流

22R电源提供。[7]

若换路前电感中已有电流，如图（12）所示，这是一个非零状态的问题。换路前电流

i(0)I0U

R0R在to时开关闭合，即成为一个RL接直流电源的电路。

这时，微分方程的通解仍为式（9）。由初始条件i(0)i(0)I0，代入通解，得

AI0所以

U RtUURLi(I0)e

RR2．3 RL电路接通正弦交流电源

这时的电路仍如图（10）所示，其中电压变为u(t)Umsin(tu),电路在t=0时接通，u为接通电路时电源电压的初相角，又称为接入相位角。电路接通后，电路的微分方程为

RiLdiUmsin(tu) dtRtL其通解iii，其中i为对应的齐次方程的通解，形式仍为Ae，而i应为上面方程的特解，其形式

应与电源电压函数的形式相同。[8] 可以设定i的表示式，然后用待定常数的方法求得i。从电路上讲，i就是电路电流的稳态分量（强制分量），因此可以通过相量法写出，即为

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iUmR(L)22sin(tutg1LR)

Umsin(tu) ZRtL因而电路电流的通解为

iiiAeUmsin(t) Z若电感中原来没有电流，即i(0)0，按照换路定律，i0i00，代入上式，得

Umsinu ZU故 Amsinu

Z 0A最后得到电路电流

RtUmUmisintusinueL

ZZtUmUmsintusinue （11） ZZ其中时间常数 电感上的电压uLLL Rdi dttLR=UmsintuUmsinue

Z2Z电阻上的电压

uRRi

tRUmRUmsintusinue =ZZ从i、uL、uR的表示式可以看到，电流和电压的稳态分量（强制分量）与电源电压有相似的正弦规律。电流、电压的暂态分量（自由分量）则按同一指数规律衰减，而且这些分量前面的系数与正弦电压的接入相位角有关，即与开关合上的时刻有关。

若在开关合上时，u，则 A这时，i=0

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Umsinu0 ZRC及RL电路的过渡过程 第11页共15页

故 i=i=

Umsint Z

即开关合上后不发生过渡过程，立即进入稳态。其电流波形见图（13）（a）

(a)u时 (b)u2时

图（13）RL电路接正弦交流电源时的电流波形

若在开关合上时，u A2，则

UmUsinumsin ZZ2U这时，i=me

ZtUm ZUU故 imsintme

Z2Z在这种情况下开关合上后的暂态分量（自由分量）最大。图（13）（b）画出了ut2时的电流波形。

可见，RL电路接通交流电源，电路过渡过程不仅与电源电压u和电阻R、电感L有关，还与开关动作的时刻，即接入相位角有关[9]。这一现象是RL电路接通直流电源时所没有的。

RC电路接通正弦电源也可类似计算。

在有损耗的无电源一阶电路和直流一阶电路中，电路中的电流、电压都是随时间按指数规律变化的，从初始值逐渐增长或衰减到稳态值，而且同一电路各元件电流、电压变化的时间常数都相同。因此在过渡过程中，电路各部分的电流或电压均由初始值、稳态值和时间常数三个要素确定。[10]若以f表示稳态值，f0表示初始值，电路的时间常数为，则电流和电压的一般表示式为

ftff0fe （12）

t这就是分析一阶线性电路过渡过程中电压电流的一般公式。只要计算出初始值f0，稳态f和时间常数三个要素，按式（12）就可直接写出结果。因此这一方法称为一阶电路分析的三要素法[11]

。

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例如对RL电路的短接过程，若用三要素法分析，可先求初始值i0I0，稳态值i0，和电路的时间常数=

L，然后直接写出电路电流的表达式 RRtL i0I00eI0eRtL

上式就是解电路的微分方程所得到的电路电流式（7）。

又如对RL电路在零状态下接直流电压源的过渡过程，其初始电流i00，稳态电流

iUL,时间常数,用三要素法可直接写出 RRRttUURU i0eL1eL

RRR这一结果与式(10)相同。

例2：图（14）中，L、R分别是发电机励磁绕组的电感和电阻，Rf为励磁调节电阻。正常运行时，开关在位置1，直流压源U通过电阻Rf向励磁绕组提供直流电流，从而建立励磁磁场。当不需要

图（14）例（2）电路

励磁磁场时，开关从位置1断开，因为励磁绕组电感L很大，储存的磁场能量很强，为了不烧坏开关的触头，在开关从位置1断开的同时接到位置2，使放电电阻R与励磁绕组连接。经过一段时间后，再将开关板到位置3，使电路完全断开。现已知U300V,L20H,R100,Rf50,R200，电机原在稳态运行，在t=0时开关断开电源并与R接通，求： （1）开关接通R的瞬间绕组电压uRL；

（2）开关接通R后多长时间绕组电流衰减到原稳态电流的5%？ （3）写出励磁绕组电压uRL随时间变化的表示式。 解 原来稳定运行时，励磁绕组电流 IU3002A

RRf10050这也是换路前一瞬间t0时电感电流的初始状态。

（1）按照换路定律，开关接通R的瞬间电感电流不能跃变，即i(0)i(0)I2A,这时励磁绕组上的电压等于电阻R和Rf上电压降之和，其数值为

uRL(0)i(0)(RRf)2(20050)500V

（2）换路后（即t0时）的电路为电阻电感的短接状态，按式（7），电路电流可写为

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ii(0)e 2e17.5tRRfR'Lt2e10050200t20

A

设绕组电流衰减到原稳态电流I=2A的5%的时间为t0，则有

2e17.5t025%

故得 t0这时的磁场能量为

1n0.050.1712s

17.51211Li(t0)L(0.05I)20.25%LI2 222即只有原储存能量的0.25%。

（3）在整个短接过程中，励磁绕组电压uRL等于电阻R和Rf上电压之和

uRL(RRf)i(20050)2e17.5t

500e17.5tV

例3：图（15）电路中开关K在t=0时闭合，求t0时的uC和uR。已知初始状态

uC(0)0,U10V,C0.01F,R20k,R20k。

解 这是一个接直流电压源的一阶电路，可用三要素法求解。

（1）确定初始值

根据换路定律uC(0)uC(0)0. （2）确定稳态值

稳态时，电容相当于开路，故有

图（15）例（3）电路

UR10201035V uC()33RR20102010（3）确定时间常数

按换路后的电路，求出从储能元件电容两端看进去的等效电阻R0，有

RR20103201033R0101010k 33RR20102010因而电路的时间常数

R0C101030.01106104s

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于是可直接写出uC的表示式 UC5(05)e由基尔霍夫电压定律

t10455e104tV

uRUuC10(55e104t)55e104tV

当然，求uR时也可用三要素法直接写出表达式。

3．小结

RC及RL电路的过渡过程基本原理基于换路定理，本文运用KVL,KCL等基本理论，以数学微分方程为手段分析了RC及RL电路的各种输入及响应关系。其目的是为了在实际生产生活中更加充分利用过渡过程特性的有利一面，同时也预防它所产生的危害。

参考文献：

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[10]Hagt, W.H, kemmerly, J.E《Engineer circuit Analysis》McgRAW-Hill,inc, 1978. [11]Syed, Nasar, 《Hand book of Electrical machines》McGraw-Hill Book Co, 1987.

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The transition process of RC and RL electric circuit

Xunyong Yong

(School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College, Anqing 246011)

Abstact:The chang of an electric circuit from original steady state to new one needs a process of time which is called transition process of electric circuit.Although it is very short,its function and effect are very important.This article will analyse fully on the one step linear electric circuit of RC and RL by mathonatic analize mathod aims at recognizing and grasping relevant law,taking advantage of the positive side of transition process of characteristic to prevent or restrais the negative side. transition process.

Key words:releasing electicity process,charge(abattery)process,single state, not single state ,transition process

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