求数列通项公式的方法(教案+例题+习题)

1。定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

例1．等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数

2列,S5a5．求数列an的通项公式.

解：设数列an公差为d(d0)

2∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3a1a9，

即(a12d)a1(a18d)da1d

22∵d0， ∴a1d………………………………①

54d(a14d)2…………② 233

由①②得：a1，d

55

333∴an(n1)n

5552∵S5a5∴5a1点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比）后再写出通项。 练一练:已知数列3

1111,5,7,9,试写出其一个通项公式：__________； 481632anf(n)）an求an，用作差法：

2。公式法：已知Sn（即a1a2项公式.

n例2．已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1),n1．求数列an的通

S1,(n1).

SnSn1,(n2)解：由a1S12a11a11

n当n2时，有anSnSn12(anan1)2(1),

an2an12(1)n1,

an12an22(1)n2,……,a22a12.

an2n1a12n1(1)2n2(1)22(1)n1

2n1(1)n[(2)n1(2)n2(2)]2n12[1(2)n1](1)3n2[2n2(1)n1].3经验证a11也满足上式，所以an

2n2[2(1)n1] 3Snn1点评：利用公式an求解时，要注意对n分类讨论，但若

SSn2n1n能合写时一定要合并．

练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn1)n1,求an；

②数列{an}满足a14,SnSn1

5an1，求an; 3

f(1),(n1)f(n)anf(n)求an,用作商法:an3.作商法：已知a1a2。

,(n2)f(n1)2如数列{an}中,a11,对所有的n2都有a1a2a3ann，则a3a5______；

4。累加法：

若an1anf(n)求an：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)。

11例3. 已知数列an满足a1，an1an2，求an。

2nn解：由条件知：an1an1111 2nnn(n1)nn1分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累加之，即

(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)

1111111(1)()()()

22334n1n1所以ana11

n11131a1,an1

22n2n

如已知数列{an}满足a11,anan1

1n1n(n2)，则an=________；

an1aaf(n)求an,用累乘法：annn1anan1an22nan，求an。 例4. 已知数列an满足a1，an13n15。累乘法：已知a2a1(n2)。 a1解：由条件知

an1n，分别令n1,2,3,,(n1),代入上式得ann1(n1)个等式累乘之，即

aaa2a3a41123n1n ••••na1na1a2a3an1234n又a1

22,an 33n2如已知数列{an}中，a12,前n项和Sn,若Snnan，求an

6。已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列）。

n（1）形如ankan1b、ankan1b（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法

转化为公比为k的等比数列后，再求an。

①ankan1b解法：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中

t

例5. 已知数列an中，a11,an12an3，求an。

解:设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)即

q，再利用换元法转化为等比数列求解。 1pan12antt3.故递推公式为an132(an3),令bnan3，则b1a134,且

bn1an132 bnan3n1n1所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列，则bn422，所以

an2n13.

②ankan1bn解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公

式两边同除以qn1，得：

an1pan1anb•b引入辅助数列（其中），nnn1nnqqqqq得：bn1p1bn再应用ankan1b的方法解决。。 qq例6. 已知数列an中,a1511n1，an1an(),求an。 63211n12nn1n1解:在an1an()两边乘以2得:2•an1(2•an)1

32322nn令bn2•an,则bn1bn1，应用例7解法得：bn32()

33b1n1n所以ann3()2() n232

练一练①已知a11,an3an12，求an；

n②已知a11,an3an12,求an；

（2）形如an例7：anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan1ban1,a11

3an1113an1113 anan1an1解：取倒数：

1111(n1)31(n1)3an 是等差数列，aa3n2n1an

练一练：已知数列满足a1=1，an1ananan1，求an；

数列通项公式课后练习

1已知数列an中，满足a1＝６，an1+1=2（an+1） （n∈N）求数列an的通项公式。



2已知数列an中，an＞0,且a1＝３，an1＝an＋１ （n∈N）



3已知数列an中，a1＝３,an1＝

4已知数列an中，a1＝１，an1＝3an＋２,求数列an的通项公式

1an＋１（n∈N）求数列an的通项公式 2

5已知数列an中，an≠０,a1＝

6设数列an满足a1=4,a2=2,a3=1 若数列an1an成等差数列,求an

7设数列an中，a1=2，an1=2an+1 求通项公式an

8已知数列an中，a1=1,2an1= an+ an2 求an

an1，an1＝ (n∈N) 求an 212an