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课时提升作业(十一)
椭圆及其标准方程
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2021·南充高二检测)设P是椭圆点,则|PF1|+|PF2|等于( )
+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦
A.4 B.5 C.8 D.10
【解析】选D.由椭圆的方程所以|PF1|+|PF2|=2a=10.
+=1得2a=10.
2.(2021·广州高二检测)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.
3.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.x2+=1 D.+=1
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【解析】选D.由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,
所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为+=1,故选D.
4.(2021·济宁高二检测)已知点P是椭圆:+=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2
是椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上一点,且
·
=0,则|OM|的取值范围是( )
)
A.[0,3) B.(0,2C.[2
,3) D.[0,4]
【解析】选B.由椭圆+=1的方程可得,c=2.
由题意可得,当点P在椭圆与y轴交点处时,点M与原点O重合,此时|OM|取最小值0.当点P在椭圆与x轴交点处时,点M与焦点重合,此时|OM|趋于最大值c=2
.
).
的椭圆方程是
因x≠0,y≠0,所以|OM|的取值范围是(0,2
5.(2021·南昌高二检测)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且b=2
( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
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【解析】选D.由9x2+4y2=36,得所以
=9,
=4,得c1=
,
).
+=1,
所以焦点坐标为(0,),(0,-
因为所求椭圆与9x2+4y2=36有相同焦点,设方程为a2=b2+c2=(2
)2+(
)2=25,
+=1,则
所以所求方程为+=1.
【一解多解】由9x2+4y2=36,得+=1,设与9x2+4y2=36共焦点的椭圆的方
程为:由4+k=(2
+=1. )2,得k=16.
所以所求椭圆方程为+=1.
6.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x
轴的距离为( )
A. B. C. D.
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【解题指南】由距离.
【解析】选C.由
·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的
·=0,得MF1⊥MF2,可设||=m,||=n,在△F1MF2
中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,
所以=·mn=1,
设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,故h=,故选C.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|
的最大值是 .
【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,
所以|PF1|·|PF2|≤
号,故|PF1|·|PF2|的最大值是16. 答案:16
==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”
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8.(2021·双鸭山高二检测)已知F1,F2是椭圆C:为椭圆C上的一点,且【解析】因为所以PF1⊥PF2,
因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2, 所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2, 因此|PF1|·|PF2|=2b2.
⊥
, ⊥
+=1(a>b>0)的两个焦点,P
,若△PF1F2的面积为9,则b= _________
由答案:3
=|PF1|·|PF2|=b2=9,所以b=3.
【变式训练】(2021·德州高二检测)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭
圆上一点,且∠F1AF2=45°,则△AF1F2的面积为 __________. 【解析】如图所示, |F1F2|=2
,
|AF1|+|AF2|=6, 由|AF1|+|AF2|=6,
得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=36. 又在△AF1F2中,
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|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=2|AF1||AF2|cos45°, 所以36-2|AF1||AF2|-8=
|AF1||AF2|,
所以|AF1||AF2|==14(2-),
所以=|AF1||AF2|sin45°
=×14(2-答案:7(
)×=7(-1).
-1)
9.(2021·哈尔滨高二检测)已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,设P(x0,y0)为椭圆
上一点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标x0= .
【解析】由椭圆的方程为所以F1(-2,0),F2(2,0),
=(2-x0,-y0). 因为∠F1PF2为直角,所以即
+
=4,①
+y2=1,得c=2,
=(-2-x0,-y0),
·=0,
又+=1,②
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①②联立消去得=,所以x0=±.
答案:±
+
,则
【举一反三】若把条件“当∠F1PF2为直角时”改为|PF1|=∠F1PF2= .
【解析】由椭圆的方程为得2a=2所以|PF2|=
+y2=1,
,
,2c=4,因为|PF1|+|PF2|=2a=2-, +
)2+(
-
而|PF1|2+|PF2|2=(所以∠F1PF2为直角. 答案:90°
)2=16=|F1F2|2,
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2021·石家庄高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,
点D是P在x轴上投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|. 当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.
【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程. 【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),
因为点D是P在x轴上投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.
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因为P在圆x2+y2=25上,
所以x2+=25,整理得+=1,即C的方程是+=1.
11.已知点P(6,8)是椭圆
·
=0.试求
+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若
(1)椭圆的方程. (2)求sin∠PF1F2的值. 【解析】(1)因为
·
=0,
所以-(c+6)(c-6)+=0,所以c=10, 所以F1(-10,0),F2(10,0), 所以2a=|PF1|+|PF2| =所以a=6
+
,b2=80.
=12
,
所以椭圆方程为(2)因为PF1⊥PF2,
+=1.
所以=|PF1|·|PF2|=|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=160,
,
又|PF1|+|PF2|=12所以|PF2|=4
,
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所以sin∠PF1F2===.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2021·齐齐哈尔高二检测)对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当m<0且n<0时,mn>0,但方程mx2+ny2=1不表示椭圆;当方程
mx2+ny2=1的曲线是椭圆时,有能得出mn>0,故选B.
2.(2021·太原高二检测)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选C.设椭圆的方程为+=1,
令x=c,则y=±,由|AB|=3,
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得=3,①
又a2-b2=c2=1,② 联立①②得a2=4,b2=3.
所以椭圆的方程为+=1.
3.(2021·福州高二检测)椭圆+=1上一点A到焦点F的距离为2,B为AF的
中点,O为坐标原点,则|OB|的值为( )
A.8 B.4 C.2 D. 【解析】选B.如图,设椭圆的另一个焦点为F′, 则|AF|+|AF′|=10, 又|AF|=2, 所以|AF′|=8.
因为B为AF的中点,O为F′F的中点,
所以|OB|=|AF′|=4.
4.(2021·唐山高二检测)已知椭圆C:l,线段AF交C于点B,若A.
=3
,则|
+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈|=( )
B.2 C. D.3
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【解析】选C.设A(2,y0), B(x1,y1), =(1,y0), =(x1-1,y1), 由
=3
,
即(1,y0)=3(x1-1,y1),
所以又点B在椭圆C上,
所以+=1,解得y0=±1,
所以A点坐标为(2,±1), 所以|
|=
=
.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2021·衡水高二检测)已知F1,F2分别为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭
圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,则△PF1F2的面积为 __________.
【解题指南】分别讨论以F1,F2,P为直角顶点,求出点P的坐标,进而求出△PF1F2
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的面积.
【解析】依题意,可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时,点P的坐标为
,则点P到x轴的距离为,此时△PF1F2的面积为;
当以点P为三角形的直角顶点时,点P的纵坐标的绝对值为>3,舍去.故
△PF1F2的面积为.
答案:
【误区警示】本题在讨论以P点为三角形的直角顶点时,求出P点的纵坐标为
,而忽视P点在椭圆上,应满足yP≤3的,而得出面积为9的错误结论.
【变式训练】(2021·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P
在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是 _______. 【解析】由已知得|F1F2|=2c=2所以得|PF1|=3,|PF2|=1, 因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2, 所以△PF1F2是直角三角形,
,|PF1|+|PF2|=4,
所以=·|F1F2|·|PF2|=.
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答案:
6.(2021·济南高二检测)若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)
的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论:
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;②>;③-=-;④a1-a2其中,所有正确结论的序号是 . 【解析】由题意,又-=
--=
-,因为a1>a2,所以b1>b2,所以①③正确;
,a1>b1>0,a2>b2>0,
所以④正确. 答案:①③④
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2021·天津高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,
,求椭圆C的方程.
点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|=,|EF2|=【解析】因为点E在椭圆C上,
所以2a=|EF1|+|EF2|=+在Rt△EF1F2中,|F1F2|=所以椭圆C的半焦距c=
=6,即a=3.
=
.
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=2,
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因为b===2,
所以椭圆C的方程为+=1.
8.(2021·南京高二检测)设F1,F2分别是椭圆且坐标为(0,-1).
+y2=1的两焦点,B为椭圆上的点
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|(2)若C为椭圆上异于B的一点,且
|·|=λ
|的最大值. ,求λ的值.
(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
【解析】(1)因为椭圆的方程为所以a=2,b=1,c=即|F1F2|=2
,
,
+y2=1,
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|≤
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”, 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4, 即|
|·|
|的最大值为4.
,0),
==4,
(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-
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由=λ得x0=,y0=-.
又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,
与
方向相反,故λ=1舍去.
解得λ=-7或λ=1,又
(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|, 所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|≤8,
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.
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