湖南职高对口升学数学复习模拟试题06(含答案)

2014届湖南职高对口升学数学复习模拟试题06（含答案）

2219．（12分）设函数f(x)ax(1a)x,其中a0,区间I|xf(x)>0

(Ⅰ)求的长度(注:区间(,)的长度定义为); (Ⅱ)给定常数k(0,1),当时,求长度的最小值.

20．（12分）设函数f(x)xa定义域为(0,)，且xf(2)5. 2设点P是函数图像上的任意一点，过点P分别作直线yx和 y轴的垂线，垂足分别为M、N． （1）写出fx的单调递减区间（不必证明）；

（2）问：PMPN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；

（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

21．（12分）定义在R上的单调函数fx满足f3log23且对任意x,yR都有

fxyf(x)f(y)．

(1)求证fx为奇函数；

(2)若fk3xf(3x9x2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围．

22．（14分）（Ⅰ）已知函数yf(x),若存在x0，使得f(x0)x0,则称x0是函数yf(x)的一个不动点，设二次函数f(x)ax2(b1)xb2.

(Ⅰ) 当a2,b1时，求函数f(x)的不动点；

(Ⅱ) 若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围； (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数yf(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线ykx

1是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围. 2a1参

19．解：解: (Ⅰ)f(x)x[a(1a2)x]0x(0,(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,laa.所以区间长度为. )221a1aa1a211aa

已知k(0,1),01-ka1k.令111-kk201-k恒成立. 1k1kg(a)a11k1k 在a1k时取最大值这时l22a1(1k)1(1k)1k.

1(1k)2a55a的图象过点A(2,)，所以2a1函数x222所以当a1k时，l取最小值20．解：（1）、因为函数f(x)xf(x)在(0,1)上是减函数.

1（2）、设Px0,x0 ，直线PM的斜率1 ，则PM的方程x01yx0xxx0。

0yx111x,xN0,x联立 、1xx0 ，M002x0x yx2x0000x0111PA,,PBx,0PAPB， 0x2x001x,x （2）、（文）设P00x，直线PM的斜率为1，则PM的方程

01yx0xxx0 ，

0yx11xx联立,x010 ，Mx0 ， yx2x2x000x0x0y0113、 PM，OM2x0 ， 2x22x0011111， ∴SOPM2x10222x02x022x0111121，N0,xSxxOPN0x0x02x02， 200∴ SOMPNSOPMSOPN当且仅当x042121(x02)1，SOMPN1，

222x012时，等号成立，∴ 此时四边形OMPN面积有最小值1。 2221．解：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y) (x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0， 则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立， 所以f(x)是奇函数．

(2)解：f3log23＞0，即f(3)＞f(0)，又fx在R上是单调函数，

所以fx在R上是增函数

又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， ∴ k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立． 令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0 对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

22．(Ⅰ) 当a2,b1时，f(x)2x22x1，解2x2x1x，得x1,x21。 2所以函数f(x)的不动点为x1,x1。 2（Ⅱ）因为 对于任意实数b，函数f(x)恒有两个不同的不动点，所以，对于任意实数

b，方程f(x)x恒有两个不相等的实数根，即方程ax2(b1)xb2x恒有两个不

相等的实数根， 所以 xb24a(b2)0，即 对于任意实数b，b24ab8a0，所以 b(4a)248a0，解得 0a2

（Ⅲ）设函数f(x)的两个不同的不动点为x1,x2，则A(x1,x1),B(x2，x2) 且x1,x2是axbxb20的两个不等实根， 所以x1x22b a直线AB的斜率为1，线段AB中点坐标为(bb,) 2a2a因为 直线ykx1是线段AB的垂直平分线， 2a1bb1,)在直线ykx2上 2a2aa1所以 k1，且(则 bb12 a(0,2) 2a2aa1a111 当且仅当a1(0,2)时等号成立

1a2121a2aaa所以 实数b的取值范围[

所以b又 b0

1,0). 2