一阶系统的单位阶跃响应

C(s)11 （3-3） R(s)1Ts1s1K式中T1，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。 K 实际上，这个系统是一个非周期环节，T为系统的时间常数。 一、一阶系统的单位阶跃响应

因为单位阶跃函数的拉氏变换为1s，将R(s)1s代入方程(3-3)，得 C(s)将C(s)展开成部分分式，有

C(s)1s11sT11

Ts1s

（3-4）

对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用h(t)表示阶跃响应C(t)，有 h(t)1e由方程(3-5)可以看出，输出量h(t)的初始值等于零，而最终将趋于1。常数项“1”是由1s反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。方程(3-5)中第二项由1它随时间变化的规律1/(s)反变换得到，

T取决于传递函数1/(Ts1)的极点，即系统特

1tT

t0 (3-5)

征方程D(s)Ts10的根(1/T)在复平

面中的位置，若根处在复平面的左半平面

如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。 显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T，即

dh1t1|t0eT|t0 dtTT (3-6)

这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当tT时，输出量就能达到稳态值。

11一直下降T到t时的零值。因此，当tT时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当t2T时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当t3T，4T和5T时，响应曲线分别达到稳态

实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线h(t)的斜率是不断下降的，从t0时的

值的95%，98.2%和99.3%。

由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间ts，它表征系统过渡过程进行的快慢。由于t3T时，输出响应已达到稳态值的95%；t=4T时，输出达到稳态值的98.2%，故一般取

ts3T(s)，(对应Δ=5%的误差带) 或 ts4T(s)，(对应Δ=2%的误差带)

显然，时间常数T是表征系统响应特性的唯一参数，系统时间常数越小，输出响应上升得越快，同时系统调节时间ts也越小，响应过程的快速性也越好。

由图3-6(b)可以看出，图3－5所示系统的单位阶跃响应在稳态时与输入量之间没有误差，即

ess1h()110 假设，现有一个单位反馈系统，其开环传递函数为G(s)阶跃响应，并与图3-5系统比较其异同。

1，试自行推导其单位

2Ts1