量子力学2009级量子力学期末考试A

徐州工程学院试卷

2011 — 2012 学年第 2 学期 课程名称 量子力学 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟

命 题 人 刘冬冬 2012 年5月20日 使用班级 09电子及09应物1、2班 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号

题号 总分 得分 一 24 二 16 三 15 四 15 五 30 总分 100 一、填空题（共7小题，每空3分，共计24分）

1.在量子力学中，几率流密度矢量的具体表达式为 。 2.在坐标表象中动量的本征态为 。 3.不考虑电子的自旋，氢原子能级En的简并度为 。 4.在任意状态中，xpx 。

5.用Dirac符号来表示本征函数封闭性表达式为 。

22ˆn= ，6.以线性谐振子哈密顿的本征态n为基矢，aˆ†n= 。 a7.全同性原理为： 。 二、证明与推导题（共2小题，每题8分，共计16分） 1.试推导角动量算符x分量和角动量算符y分量的对易关系； 2.试证明幺正变换不改变算符的本征值。

ˆ01及Sˆ0i的本征值和所属的本征函数。 三、（15分）求Sxy2102i0ˆ的久期方程为 解：Sx

220 2()20

22

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ˆ的本征值为。 ∴ Sx2设对应于本征值

a1的本征函数为 1/2b 21ˆ ，得 由本征方程 Sx1/21/22b1a101a1a1   b1a1 210b12b1a1b1由归一化条件 1/21/2a11，得(a,a)a1

1*1*1即 2a11 ∴ a1212 b112

11对应于本征值的本征函数为 1/21 22设对应于本征值a2的本征函数为 1/2 2b2a2b2a2ˆ b2a2 由本征方程 Sx1/21/2abb2222由归一化条件，得

a**2,a2) (a2a1 2即 2a221 ∴ a212 b212

对应于本征值11的本征函数为 1/2 221ˆ的本征值为。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy211111 1i 22i22

四、（15分）设氢原子的状态是

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1RrY，21112。 3RrY，21102ˆ的期望值； ˆ和自旋角动量z分量S（1）求轨道角动量z分量Lzz（2）求总磁矩

ˆ （SI） ˆeLˆeSM2mm的z分量的平均值（用玻尔磁子表示） 解：ψ可改写成

1013R21(r)Y11(,)02R21(r)Y10(,)12

13R21(r)Y11(,)1(Sz)R21(r)Y10(,)1(Sz

2222ˆ的可能值为  0 从ψ的表达式中可看出Lz相应的几率为

13 Lz 444ˆ的可能值为   Sz22 相应的几率Ci为

213 44SzCiSziMz213 24244eeeee1LzSz()MB 2244244

五、（30分）一粒子在一维势场

,Ux0,,

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x00xaxa中运动，求粒子的能级及对应的波函数；

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该粒子受到微扰

ax2 (0x)a2 H(x) 作用，

xa2(1) (xa)a2试求基态能级的一级修正。（利用xcosaxdx

基态波函数（零级近似）为 1(0)1xcosaxsinax）

aa22sinx (0xa) aa(0)0 (x0, xa) 1 ∴能量一级修正为

(1)(0)(0) E11*H1dx

2a/2x2ax222(1)sinxdx 2sinxdx

a0aaaa/2aaa2a/222[x(1cosx)dxa(1cosx)dx20a/2aaa

a2   x(1cosx)dx]a/2a212a2a22a/32[(xxsinxsinx)a(x2022aaa4 2a21a2a2aa  sinx)a/2(x2xsinxcosx)]2a/22a22aa4212a2a212a2(a)] 2[a22828a222a2a212 2(2)(2)

42a

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