猎犬追狐狸试题的多视角解析

猎犬追狐狸试题的多视角解析 许冬保

（九江市第一中学 江西 九江 332000） 1 试题

第6届全国中学生物理竞赛预赛试题：如图1所示，有一只狐狸以不变速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向

v1 A F L B 始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥L，试求此时猎

v2 犬的加速度的大小．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。 D 2 解析

图1 猎犬追狐狸 解析1：矢量方法分析[1]

狐狸、猎犬视为质点，猎犬作平面曲线运动，经极短时间t，速度方

向改变角度θ，可作出速度矢量三角形，如图2所示，由图中角度关系得聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。 v1tv， Lv2v1Δt A F L Δv v2 v θ 2D 图2 猎犬追狐狸矢量图

B 猎犬的加速度

va

t解得

vva12

L解析2：平面直角坐标系中分析

建立图3示的直角坐标系，经时间t速度方向改变角度为θ，将速度v2分解，有vxv2sin，vyv2cos．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。 且tanA F L y v1 B v1t．对时间t求导，得加速度 Lθ 322v2 x vvax12Lv1tv1v2v1tv1t1，ay1LLLL322

O 图3 猎犬追狐狸直角坐标系分析

当t=0时加速度大小为

aaxv1v2 Lv1 A F L θ D图4猎犬追狐狸在极坐标系中分析

解析3：平面极坐标系中分析

设D点为极点，DF为极轴，如图4所示，建立极坐标系．猎犬出发点计时，经极短时间t质点沿平面曲线运动到P处，在P处速度v2分解为沿径向及横向的分量v、vφ．由于时间极短，DP视为圆弧，则vv2cos，vv2sin．酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。 1 / 3

vρ v2 P vφ φ F B 个人资料整理，仅供个人学习使用

且2，tanv1tvt，于是1． L2LP处的加速度

a即

dvdvρ0vφ0 dtdta由于

dvddρ0dvdφ0vρ0dvφ0ρvφvdt0dt0dt dtdtdtdφ0ddρdρ0，0φ0．因此，有 dtdtdtdtdvdvddaaρ0aφ0vρvφ0 0dtdtdtdt由此可得

dvdvvvvavv2sin1v2sin112sin

dtdt2L2LLadvdvvvvvv2cos1v2cos112cos dtdt2L2LLv1v2．a即在D处的向心加速度． L在极短时间内，0，得a0，a解析4：自然坐标系中分析

猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故作匀速率曲线运动，

2v2由向心力公式a，r为猎犬所在处的曲率半径．由于r不断变化，

rv1 A F L θ v2 v2 D r θ D F故猎犬的加速度大小、方向均在不断变化．题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于v2大小不变，求出D点的曲率半径即可．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。 B 猎犬作匀速率曲线运动，在一段极短的时间t内，猎犬运动的轨迹可

2v2近似看成是一段圆弧，如图5所示，设其半径为r，则加速度为a，

r图5 猎犬追狐狸在自然坐标系中分析

其方向与速度方向垂直．在t时间内，设狐狸与猎犬分别到达F与D，猎犬的速度转过的角度为θ，

v2t謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。 r而狐狸跑过的距离可近似为v1tL 解得rv2L v1v1v2． L2 / 3

所以猎犬的加速度大小为a个人资料整理，仅供个人学习使用

3评议

猎犬追狐狸，猎犬作平面曲线运动，对平面曲线运动的研究，有矢量方法及坐标系分析的方法．由以上解答可以看出，矢量方法是一个较简单的分析方法，但考生由于受到平时练习题的定势思维的影响，往往在坐标系中求解，对于平面直角坐标系及极坐标系，因运算过程烦琐，而未能求得最终结果．对于在自然坐标系中分析，难点在于如何求曲率半径？要求考生能用微元法（化曲为圆）及小角度运算的方法进行分析．厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。 矢量运算及坐标系的选择是研究平面曲线运动的两大数学工具．质点的平面曲线运动，所涉及到的位移、速度、加速度均是矢量，矢量的运算是基础，

v0 有时利用矢量方法进行分析，会收到意想不到的功效．至于在具体问题的分

R 析中，选择什么样的坐标系，要依据问题的性质和研究的方便来确定．一般A O 地，当加速度为常量（如重力加速度），应选取直角坐标系；当加速度总指向

空间一点时，选取极坐标系较方便；当质点的轨迹已知时（如限定在某曲线轨道上运动），可选用自然坐标系[2]．茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。 附同类训练题：一只狼沿半径为R的圆形岛边缘以逆时针方向匀速跑动，如图6 猎犬追狼 图6所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点去追击狼．若追击过

程中，狼、犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的？在何处追上狼？（答案：轨迹是以OD为直径的圆周，猎犬在D处追上狼．）鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘。 ＊［基金项目］中国教育学会物理教学专业委员会研究课题：物理习题教学及其评价的研究（编号yb15004）

籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞。 参考文献

[1] 何述平．匀速圆周运动向心加速度的教学研究[J] ．物理教师 2011（12）：20～24 [2] 杨维纮．力学与理论力学（上册）[M]．北京：科学出版社，2008．24

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