浙江省模拟向量专题

+

=

（m＞0）．若△ABP

，即有D在线段AC上，C到直线AB的距离

等于P到直线AB的距离的倍，故S△ABC=S△ABP，结合已知中△ABP的面积为8，即可得到答案． 【解答】解：由3可得可设

=+

+=

+4， ，

=m

，

则D，A，C共线，且D在线段AC上， 可得

=

，

即有D分AC的比为4：3，

即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍， 故S△ABC=S△ABP=×8=14． 故答案为：14．

【】【点评】本题考查向量共线定理的运用，以及三点共线的坐标表示，考查三角形的面积的求法，注意运用比例法，考查运算能力，属于中档题． 16．若非零向量，满足： ．

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】由题意可得•=（2+42），由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用基本不等式和向量的夹角公式，即可得到所求最小值．

2

=（5﹣4）•，则cos＜，＞的最小值为

【解答】解：非零向量，满足：

2

=（5﹣4）•，

=||•||，

可得•=（2+42）=（||2+4||2）≥•2即有cos＜，＞=

≥•

=，

当且仅当||=2||，取得最小值． 故答案为：．

16．两非零向量，满足：||=||，且对任意的x∈R，都有|+x|≥|﹣|，若||=2||，0＜λ＜1，则（

+1）] ．

的取值范围是 [（

﹣1），

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】由向量的平方即为模的平方，化简整理可得x22+2x•+•﹣

2

恒成立，可得4（•）﹣42•（•﹣

2

2

≥0

）≤0，（θ为，的夹角），即有（cosθ

==（2，0），

﹣）2≤0，可得cosθ=，sinθ===（1，

），

，可设||=||=2，||=1，设

=，C在单位圆上运动，由=λ+（1﹣λ）可得P在线段

AB上运动（不含端点），求出AB的方程，运用点到直线的距离公式可得O到AB的距离，即可得到所求最值和范围．

【解答】解：对任意的x∈R，都有|+x|≥|﹣即有（+x）2≥（﹣

）2，

2

|，

即为2+2x•+x22≥2﹣•+

，

2

由||=||，可得x22+2x•+•﹣可得4（•）2﹣42•（•﹣

2

≥0恒成立，

）≤0，（θ为，的夹角），

即为||4•cos2θ﹣||4•cosθ+||4≤0， 即有（cosθ﹣）2≤0，（cosθ﹣）2≥0，

可得cosθ=，sinθ=，

可设||=||=2，||=1， 设

==（2，0），

==（1，

），

=，C在单位圆上运动， 由

=λ+（1﹣λ）可得P在线段AB上运动（不含端点），

（x﹣2），

直线AB的方程为y﹣0=﹣即为

x+y﹣2

=0．

由原点到直线AB的距离为=，

﹣1，最大值为﹣1），（

+1，

即有单位圆上的点到线段AB的距离的最小值为则

故答案为：[（

=﹣1），（

的范围是[（+1）]．

+1）]．

8．向量，满足||=4， •（﹣）=0，若|λ﹣|的最小值为2（λ∈R），则•=（ ） A．0

B．4

C．8

D．16

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】向量，满足||=4， •（﹣）=0，即|=+

=

=

．|λ﹣

16λ2﹣2≥2（λ∈R），化为：

﹣4≥0对于λ∈R恒成立，必须△≤0，解出即可得出．

=

．

【解答】解：向量，满足||=4， •（﹣）=0，即若|λ﹣|=

=

≥2（λ∈R），

化为：16λ2﹣2∴△=∴•=8． 故选：C．

+﹣（

﹣4≥0对于λ∈R恒成立， ﹣4）≤0，化为

≤0，

16．已知△ABC的面积为8，cosA=，D为BC上一点，D做AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，则【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意，利用△ABC的面积求出|

|•|•

= ﹣ = ．

+，过点

|的值，再利用

|•|

|•|

=|•|

+|的

求出D是BC的四等分点，计算S△ABD和S△ACD的值，求|值，从而求出|

|•|

|的值，计算数量积

•

的值．

【解答】解：如图所示，

△ABC中，cosA=，∴sinA=∴S△ABC=|即|设则又

|•|=λ==

|•||=20； ，λ∈（0，1）， ++=

+λ（

﹣|sinA=|

|•|

=； |•=8，

）=（1﹣λ）+λ，

，∴λ=；

∴====3，

∴S△ABD=|∴|

|•|

|•||=12；

|=×8=6，

又S△ACD=|∴|∴|∴|∴

•|•||•||•|=|

|•||=4； |•||=|•|

|=2，

|•|=

|=48，

， |•cos=

×（﹣）=﹣

．

故答案为：﹣．

8．平面向量a , b , c不共线，且两两所成的角相等，|a||b|2,|c|1，ma2017c 则(ab)m（ ▲ ） A．2

B．3

C．23

D．6

rrurrrururrrurrrur8、答案D.解析：(ab)m(ab)mcosab,m23g36m|cosab,m为投影.

9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若

，则

A．

B．

C．

D．

=（ ）

【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴|由

，

由

则144+169+2×则故选：B

16．已知ab1，向量c满足cabab，则c的最大值为 ． 16、解法一：

|=||=||=1．

⇒5

+13

=﹣12

，则25+169+130

=144，⇒

⇒12+13=25⇒

=﹣5，

，

==﹣+=﹣．

cabab cabab222几何意义可以理解为，设OAa，OBb，取AB中点为D，所以

c的终点C在以2B D O C A D为圆心，以

2abAD为半径的圆上运动，所以c的最大值就是2ODAD

22又因为ODAD1，所以ODAD2 当且仅当ODAD解法二：

2，即ab时，c22 max2cabcabab

所以cabab2abab22a2b22 当且仅当ab时，cmax222222 8.已知ABC的边BC的垂直平分线交BC于Q，交AC于P，若|AB|1，|AC|2，则APBC的值为（ ）

A．3

答案B

16．已知|c|2，向量b满足2|bc|bc.当b,c的夹角最大时，|b| ▲ ． 16．提示：设b,c,2|bc|bc4|b|28bc4|c|2(bc)2， 即4|b|2sin216|b|cos1604cos|b|sin2所以max4|b|4sin．

B．

3 2C．3 D．

3 24，此时|b|22．

14．已知|a|=2，则(ab)(cb)的最大值为 ▲ ，最小值为 ▲ ． |b|=|c|=1，

15．已知ABC的外接圆圆心为O，且A60，若AOABAC

,R，则

的最大值为 .

9．记max{a，b}=

，已知向量，，满足||=1，||=2， •=0，

=λ+μ（λ，μ≥0，且λ+μ=1，则当max{•， •}取最小值时，||=（ ）

A． B． C．1 D．

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意画出图形，设

，则

，由已知

求得λ的范围，把•， •均用含有λ的代数式表示，求出分段函数的值域，得到max{•， •}的最小值，进一步求得||． 【解答】解：如图，

设，则，

∵λ，μ≥0，λ+μ=1，∴0≤λ≤1． 又=λ+μ， ∴

=λ； =4﹣4λ．

由λ=4﹣4λ，得

．

∴max{•， •}=．

令f（λ）=．

则f（λ）∈[∴∴∴故选：A．

]． ，此时=

．

．

，