数学八年级上册知识点汇总及常考题型

汇编人：高科寿

第一章 全等三角形

【知识结构框图】 命题、公理与定理

全等三角形的判定 三 角 形直角三角形全等的判定 全 等 的尺规作图 判 逆命题与逆定理 【知识点】 一、定义及表示 1、定义

能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况）

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；

（S．A．S．） （A．S．A．） （S．S．S．） （H．L．） 作作线段 角 （A．A．S．） 作角平分线 作垂线 作垂直平分线 (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、表示

全等用“≌”表示，读作“全等于”。如：△ABC全等于△DEF，写作：△ABC≌△DEF

注意：若△ABC≌△DEF，点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F 二、判定定理

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

由3可推到

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)

所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。 6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。 三、性质

三角形全等的条件：

1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等

3、全等三角形的对应顶点相等。

2

4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。

9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法：

1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）

5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 【运用】

1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和军事。

5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。 【做题技巧】

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 因此我们可以采取逆向思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件 ，要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用

（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。 分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。 【例题分析】

例1：（2006·浙江金华） 如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明.

分析： 要说明AC=BD，根据图形想到先说明 △ABC≌△BAD，题目中已经知道∠1＝∠2， AB＝AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可.

解：添加的条件是：BC=AD.

证明：在△ABC与△BAD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠A=∠A'

3

∴ △ABC≌△BAD（SAS）. ∴ AC=BD. 小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD. 例2 （2006·攀枝花）如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明. C 所添条件为_______________. 你得到的一对全等三角形是： E A B △ ≌△ . 证明： D 分析： 在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形. 解：所添条件为CE=ED. 得到的一对全等三角形是△CAE≌△DAE. 证明：在△CAE和△DAE中，AC=AD，AE=AE，CE=DE， 所以 △CAE≌△DAE（SSS）. 小结： 本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视. 例3.(2008年永州) 下列命题是假命题的是（ ） ．．．

A．两点之间，线段最短．

B．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．

C．一组对应边相等的两个等边三角形全等．

D．对角线相等的四边形是矩形． 答案:D

解析:考查假命题的判定.一般判定假命题采用对比定义或举反例.随意可以画出一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来,所以D是假命题. 例4．具备下列条件的两个三角形，全等的是 A．两个角分别相等，且有一边相等 B．一边相等，且这边上的高也相等

C．两边分别相等，且这两边的夹角也相等 D．两边且其中一条对应边的对角对应相等 知识点扫描:全等三角形的判定. 注意对应！

题目解析:A项没有对应，可举反例：两个三角形，一大一小，有两个角分别相等，但大三角形的短边=小三角形的长边.

B项高的位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等. C项两边及夹角相等，由全等公理可以得到.

4

D项SSA不能判定全等. 故选C

例5. 在△ABC与△A′B′C′中, ∠A+∠B=∠C, ∠B′+∠C′=∠A′,且b-a=b′-c,b+a=b′+c′,则这两个三角形( ) (A)不一定全等 (B)不全等 (C)根据“SAS”全等 (D)根据“ASA”全等

题目解析:∵∠A+∠B=∠C, ∠B′+∠C′=∠A′,∴∠C=∠A′=90°. 又∵b-a=b′-c′,b+a=b′+c′，两式相加，得b=b′，则a=c′. 则△ABC≌△C′B′A′(SAS) 故选C

例6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由．

题目解析:全等三角形的实际应用问题，要测量的条件必须是可以证明三角形全等的. 所以测量∠A，∠B的度数和线段AB的长度，用ASA得全等.

解:测量∠A，∠B的度数和线段AB的长度，做∠A′=∠A，A’B’=AB∠B′=∠B，则△A′B′C′和原三角形全等，据ASA定理．

例7．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AF=CE，BE∥DF，BE=DF．求证：AB∥CD．

知识点扫描:全等三角形的判定、性质. 平行线的判定.

题目解析:从图形来看，是一个典型的全等图形.所以想到由全等得到等角，再从等角推出两线平行. 但是注意：在证△AEB≌△CFD中，不要错误地把AF与CE当成了这两个三角形的对应边．其实，AE与CF才是这两个三角形的对应边． 证明：∵AF=CE，A、F、E、C共线，∴AE=CF.

∵BE∥DF，∴∠AEB=∠CFD.

AFCE∴在△AEB和△CFD中，AEBCFD

BEDF∴△AEB≌△CFD，∴∠A=∠C，∴AB∥CD.

例8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：BF=CE．

5

知识点扫描:全等三角形的判定及性质. 和同角互余的两角相等.

题目解析:这个图形也是很典型的全等三角形图形. 所以考虑证△ACE≌△CBF（AAS），从而由全等性质得到：BF=CE. 证全等用AAS，直角相等，和AC=BC都是显见的，再找一角：∠EAC=∠FCB，这一相等由同角（∠ACE）的余角相等得到.

证明：∵AE⊥CF，∴∠ECA＋∠CAE=90°．

又∠BCA=90°，∴∠BCF＋∠ECA=∠ECA＋ ∠CAE．∴∠BCF=∠CAE． ∵AE⊥CF，∴∠AEC=90°． ∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．

又AC=BC，∴△BCF≌△CAE．∴BF=CE．

例9．已知：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰三角形. 求证：（1）BD=CE；（2）∠1=∠2.

题目解析:图形复杂，要在复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了. 找全等要充分利用等边直角三角形的等边和直角条件. 证△EAC≌△DAB.

证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC.即∠BAD=∠EAC.

又∵AE=AD,AB=AC,∴△EAC≌△DAB,∴BD=CE, ∠1=∠2.

例10.如图，在△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD. 题目解析:构造全等三角形，过E作EG⊥AB于G. 证明△EFG≌△DFA即可. （AAS）.

证明：过E作EG⊥AB于G.则∠AEG=30°.

在△AEG与△ABC中，

AE=AB，∠AEG=∠CAB=30°，∠BCA= ∠EGA=90°，∴△EAG≌△ABC， ∴EG=AC=AD.

又在△ADF与△GEF中，AD=GE，∠AFD=∠GFE， ∠DAF=∠EGF=90°

∴△ADF≌△GEF，∴DF=EF.

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例11．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，求证：BA⊥AC． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．

题目解析:直接证明垂直无路，要“曲线救国”，设法证明∠DAB+∠EAC=90°，这还是不能直接达到，注意到∠DAB和∠EAC所在三角形均为直角三角形，所以再转化一下：证∠DAB=∠ACE，这由全等不难得到. 第二问方法与第一问类似，故不赘述. 证明：（1）在Rt△ABD和Rt△CAE中，ABCA

ADCE∴△ABD≌△CAE（HL），∴∠DAB=∠ACE．

又∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠DAB+∠CAE=90° ∴∠BAC=90°，∴AB与AC垂直． （2）成立．证明同上．

例12.(2008年湘潭) （本题满分6分）

如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，

D 且DE=AB，

过C作CF⊥DE，垂足为F.

（1）猜想：AD与CF的大小关系； （2）请证明上面的结论.

A 解：（1）ADCF．

（2）四边形ABCD是矩形，

AEDFDC,DEABCD

C F EB 又CFDE,CFDA90,

△ADE≌△FCD ADCF

解析:考查矩形的性质及直角三角形全等的判定.猜想AD与CF的关系,可以分析AD,CF所在的两个三角形ADE与三角形FCD的关系.由条件可归纳得:∠A=∠CFD=900,∠AED=∠FDC,DE=AB=CD,可证△ADE≌△FCD,从而AD=CF. 【练习】： 1、（2008年泰州市）27．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3． 7

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分） ．

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；（3分）

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分） 2、（2008年南京市）21．（6分）如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，

A 且BECF，AFDE． D

求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形．

B C

E F

3、（2008福建福州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：MBMC．

4、（2008年遵义市）如图，OAOB，OCOD，O50，D35，则AEC等于（ ） O A．60 C．45

B．50

B A C

D．30 E D

5、（2008年遵义市）22．（10分）在矩形ABCD中，AD2AB ，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． A6、 （2008年郴州市）如图，ΔABC为等腰三角形，把它 沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．

7．(2008年双柏县)如图，点P在∠AOB的平分线上， BCA DP O B

8

若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：

8．（2008年荆州市）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．

A D F B E C 9．（2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．43 B．3 3 C．23 D．

3

10.（2008年沈阳市）如图所示，正方形ABCD中，点E是CDD 边上一点，连接AE， A

交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有F （ ）

E A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

C B

11.（2008苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，12，34．

求证： （1）△ABC≌△ADC；

（2）BODO． 12.（2008无锡）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中 所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图的右 边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能， 请说明理由．

（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是

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3cm和4cm，一个内角为40”，那么满足这一条件，且 彼此不全等的三角形共有

个．

友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边 的长度,“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

13.(2008年西宁市23)如图，一块三角形模具的阴影部分已破损． （1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带 残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大 小完全相同的模具ABC？请简要说明理由．

B

14.（2008年广东湛江市23）如图7所示，已知等腰梯形

A A C D ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请 在图中找出一对全等的三角形，并加以证明． O 15.（2008年重庆市）已知：如图，在梯形ABCD中， B C AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF DA的延长线交DC于点E。 求证：（1）△BFC≌△DFC； E（2）AD=DE

F

CB

16、（2008年宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC

DDC COO

AABB

17.（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

D A B 图1

0 1

C 图2

E

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：DCBE．

F

18.（2008年聊城市）如图，矩形ABCD中，O是

D A

AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的 延长线分别交于E，F．

O

（1）求证：△BOE≌△DOF；

C （2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F B

为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

E

第二章 轴对称

【知识结构框图】

【知识点】

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 一、 轴对称 1.轴对称

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

2. 图形轴对称的性质

如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平

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分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 4.线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

二、轴对称变换 1.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

2.轴对称变换的性质

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

三、用坐标表示轴对称 1.关于坐标轴对称

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y） 2.关于原点对称]

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y） 3.关于坐标轴夹角平分线对称

点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）

4.关于平行于坐标轴的直线对称

点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）； 点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；

2 1

四、等腰三角形 1.等腰三角形

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 3.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形． 4.利用“三角形奠基法”作图

根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形. 五、等边三角形 1.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． 2.等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60° 3.等边三角形的判定方法

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 六、角平分线的性质

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1.角平分线的作法

见课本 2.角平分线的性质

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

A∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， ∴PM=PN

OMPCBNA3.角平分线的判定

到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN ∴OP平分∠AOB 4.三角形的角平分线的性质

MPCBON三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 七、添加辅助线口诀

几何证明难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，倍长中线把线连. 线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现； 公共角、公共边，隐含条件要挖掘； 平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。 【例题】

1. 下列图形中对称轴最多的是（ ） A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段 2. 数字______在镜中看作

3. 如右图的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（ ）

A．l个 B．2个 C．3个 D．4个 4.下列说法中，正确的是（ ）

4 1

A．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．正方形的对角线互相垂直平分且相等 C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．菱形的对角线相等

5. 字母A，B，C，D，E，F，S，X，Y，Z中，是轴对称图形的有_______个．

6.如图，请在ABCDE中，以线段DE所在的直线为对称轴，画出它的轴对称图形．

7.如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形. A

B

lC

8.填空：

(1)点（－2，6）关于x轴的对称点的坐标是（ ， ），关于y轴的对称点的坐标是（ ， ）；

(2)点（1，－2）关于x轴的对称点的坐标是（ ， ），关于y轴的对称点的坐标是（ ， ）；

(3)点（1，3）关于x轴的对称点的坐标是（ ， ），关于y轴的对称点的坐标是（ ， ）；

(4)点（－4，－2）关于x轴的对称点的坐标是（ ， ），关于y轴的对称点的坐标是（ ， ）；

(5)点（1，0）关于x轴的对称点的坐标是（ ， ），关于y轴的对称点的坐标是（ ， ）.

9.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，4），B（0，2），C（3，0），作出与△ABC关于x轴对称的图形. y 5 A4 32

1B Co-5-4-3-2-112345x

-1 -2 -3 -4-5 15

10.填空：

(1)如果等腰三角形的一个底角等于70°，那么顶角等于 °； (2)如果等腰三角形的顶角等于70°，那么底角等于 °. 12.根据等腰三角形的性质2填空：

A(1)如图，AB＝AC，AD是中线，则 ⊥ ，

∠ ＝∠ ；

CB D(2)如图，BA＝BC，BD是高，则

AB ＝ ，

∠ ＝∠ ； D

C

B(3)如图，CA＝CB，CD是角平分线，则 ⊥ ， D ＝ ； CA

11.填空：

(1)等腰三角形的一个角是150°，则它的另外两个角的度数是 .

(2)等腰三角形的一个角是90°，则它的另外两个角的度数是 .

(3)等腰三角形的一个角是30°，则它的另外两个角的度数是 . 12.完成下面的解题过程：

已知等腰三角形的一个底角等于顶角的2倍，求顶角和底角的度数. 解：设顶角为x度，则底角为 度.

根据三角形的内角和等于180°，列方程得 . 解方程得x= .

答：顶角是 °，底角是 °. 13.完成下面的证明过程：

A已知：如图，AB＝AC，OB＝OC.

求证：AD⊥BC，BD＝CD.

12证明：在△ABO和△ACO中，

ABAC,

OBOC,

AOAO,

OBDC ∴△ABO≌△ACO（ ）. ∴∠1＝∠2.

∴AD⊥BC，BD＝CD.（ ）

6 1

14.证明等腰三角形底边中点到两腰的距离相等. 已知： 求证：

D证明：

15.已知：如图，BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，AB＝7.4，

A∠A＝30°，

E则BC＝ ， ADE＝ .

16.已知：如图，等边△ABC中，M是AC的中点，MN⊥BC于N. M 求证：CN＝BC.

14BC【练习】 N1.正多边形是轴对称图形，观察下面的正多边形，它们各有几条对称轴？从中你发现了什么规律？

2.如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形.

A

B C l3.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（－4，0），C（3，2），作出与△ABC关于x轴对称的图形. y 5 43A

2C

1B

o12345x -5-4-3-2-1-1 -2-3

-4

-5

4.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.

(1)角是轴对称图形. （ ）

17

BC(2)平行四边形是轴对称图形. （ ） (3)圆有无数条对称轴. （ ） (4)成轴对称的两个三角形是全等三角形. （ ） (5)两个三角形全等，它们一定成轴对称. （ ） (6)点（3，2）关于y轴的对称点是（3，-2）. （ ） (7)点（3，0）关于x轴的对称点是（－3，0）. （ ） (8)等腰直角三角形的底角等于45°. （ ） (9)有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形. （ ）

A5.填空题：

(1)已知：如图，∠E＝°， DBD垂直平分AE，

E则∠A＝ °， BAC∠ABC＝ °.

E(2)已知：如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，

△ABD的周长是10，AC＝3，则△ABC的周长是 . BCD(3)如果等腰三角形的顶角等于100°，那么底角等于 °. (4)等腰三角形的一个角是120°，则它的另外两个角的度数是 . (5)等腰三角形的一个角是80°，则它的另外两个角的度数是 . (6)已知等腰三角形的顶角等于一个底角的2倍，则底角是 °，顶角是 °.

(7)等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm，则底边上的高为 cm. (8)已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，C BC＝8，则 AB＝ ，

BABD＝ . D6.已知：如图，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，求∠B和∠DAC的度数. A BCD

7.已知：如图，如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB，BE⊥AC.

C求证：AC＝AB. E

AB D

A

8.已知：如图，∠B＝∠C，DE∥BC.

ED求证：DB＝EC.

B C

DCE9.已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.

求证：△EAB是等腰三角形.

AB 8 1

10.已知：如图，AB＝AC，AD＝BD＝DC. 求∠B的度数.

BDAC

第三章:实数

【知识结构框图】

1．本章知识的内在结构如下图所示：

2．本章知识的展开顺序如下图所示：

【知识点】：

1．实数的性质

（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；

（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；

（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开

19

奇次方，不能开偶次方；

（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同．

2．实数与数轴的关系

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．

3．实数的分类 （1）按实数的定义分类：

正整数整数零负整数有理数 实数 分数正分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数（2）按实数的正负分类：

正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零（既不是正数也不是负数）

负整数负有理数负实数负分数负无理数

4．实数的大小比较

两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．

实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．

5.平方根的概念：

若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±a，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.

6.算术平方根的概念:

0 2

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作a,0的算术平方根是0. 7.平方根及算术平方根的性质:

1.正数有两个平方根,它们互为相反数; 2. 0的平方根是0; 3.负数没有平方根;

4.一个非负数的算术平方根是非负数,即a≥0. 8.立方根的概念及性质:

若x2=a，则x叫做a的立方根，记作x=3a.0的立方根是0,任何实数都有立方根,并且只有一个,同时立方根的符号与其本身符号相同.

【典型例题】

例181的平方根是( ).

A.±9 B. ±3 C.9 D.3

解:因为81=9,所以81的平方根就是9的平方根,即±9=±3,故选择B. 注:应现将81化简后再求值.

例2若a<0,则a2的算术平方根是( ).

A.-a B.a C. ±a D. ±a 解:当a<0时,

a=|a|=-a,故选择A.

例3一个数的算术平方根是a,则比这个数大5的数是( ). A.a+5 B.a-5 C. a2+5 D. a2-5

解: 一个数的算术平方根是a,则这个数是a2,故比这个数大5的数是a2+5,从而选择C.

例4若m的平方根是2a-3和a-12,求m的值.

解:由正数有两个平方根,它们互为相反数知,(2a-3)+(a-12)=0,解得a=5,所以m=(2a-3)2=72=49.

例5若2a-3和a-12是m的平方根,求的值.

解析:本例与例4貌是一样,其实不然.因为“若m的平方根是2a-3和a-12”，得知2a-3和a-12互为相反数，而“若2a-3和a-12是m的平方根”，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时, a= -9.所以2a-3=-18-3=-21,所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时, a=5,所以2a-3=10-3=7,所以m=72.故m=441或=49.

例6若(x-2)2+x2=0,则x2的平方根是多少? 解:因为(x-2)2≥0, 方根是±2.

21

x2≥0,又(x-2)2+x2=0,则x-2=0,的x=2,故22的平

例7求4

17的立方根. 2731712551251255解:因为4=的立方根是. ,,所以

2727327327例8（2005年陕西省实验区中考题）用计算器比较大小:311 5(填

“＞、＜、＝”).

解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目,要注意按键顺序.

311=2.2240, 5=2.2361,故填＜.

例8若a为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a2 B. －( a+1)2 C.－a2 D.－(a+1)

分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a为实数, a2、( a+1)2、a2均为非负数，∴－a2≤0，－( a+1)2≤0，－a2≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A、B、C不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a+1)﹤0．故选D

例9实数a在数轴上的位置如图所示, 化简:a1(a2)2=

分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a﹤2,于是

a1a1,(a2)2a22a,

所以, a1(a2)2=a－1+2－a=1.

例10 如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ）

A. C.

5－2 B. 2－5 5－3 D.3－5

分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B、 2 2

C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是5－1，所以点C到点A的距离也是5－1，设点C到点O的距离为a，所以a+1=5－1，即a=5－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－5．

例11 已知a、b是有理数，且满足（a－2）2+b3=0，则ab的值为 分析：因为（a－2）2+b3=0，所以a－2=0，b－3=0。所以a=2，所以ab=8。 【练习】 1. 下列各数

227，8，3，中，无理数共有 个. 2. 在数轴上和原点距离等于7的点表示的数是 ． 3. 81平方根是 ．算术平方根是 ． 4. 一个数的立方根等于它本身，这个数是 ． 5. 比较大小：300 17，102 32. 6. 比5大的负整数的和为 ．比5大5的实数是 ．7. 已知一个数的平方根为a3与2a15，则这个数是 ． 8. a3a3，则a____3．

9. 已知实数x，y满足x13xy120,则5xy2的值是 ．10. 请你观察思考下列计算过程．

∵112121 ∴12111

∵111212321 ∴12321111

由此猜想：123456787654321______．

11. 三个实数0.2，12，12之间的大小关系为（ ）

Ａ．0.21212

Ｂ．0.21212

Ｃ．0.21212

Ｄ．120.212

12. 下列说法正确的是（ ）

23

b=3； Ａ．无理数都是无限小数 Ｂ．有理数都是有限小数 Ｄ．带根号的数都是无理数

Ｃ．无理数都是开方开不尽的数 13. 下列说法正确的有（ ）

⑴一个数立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根 ⑵的平方根是8，立方根是4 ⑶a表示a的平方根，3a表示a的立方根 ⑷3a不一定是负数 Ａ．⑴⑶

Ｂ．⑵⑷

Ｃ．⑴⑷

Ｄ．⑴⑶⑷

14. 给出下列说法：①6是36的平方根；②16的平方根是4；③3232；④327是无理数；⑤一个无理数不是正数就是负数．其中，正确的说法有（ ） Ａ．①③⑤

Ｂ．②④

Ｃ．①③

Ｄ．①

15. 343开立方所得的数是（ ） Ａ．7

Ｂ．7

Ｃ．7

Ｄ．3343 16. 已知38.9662.078，3y0.2078，则y（ ） 0.2708Ａ．0.66 Ｂ．0.0066 Ｃ．.66 Ｄ．0.000066 17. 以下四个命题

①若a是无理数，则a是实数；②若a是有理数，则a是无理数；③若a是整数，则a是有理数；④若a是自然数，则a是实数．其中，真命题的是（ ） Ａ．①④

Ｂ．②③

Ｃ．③

Ｄ．④

18. 已知实数a满足1992aa1993a，则a19922的值是（ ） Ａ．1991 19.计算：20．计算：

Ｂ．1992

Ｃ．1993

Ｄ．1994

4321322 1233812274 21.已知：x20.125 ，求x的值. 22.已知：81x2250 ，求x的值.

23.若实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：

abcabca．

4 2

a b 0 c 24.已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求c2d2xyz的值。 a第四章:一次函数

【知识结构框图】

建立数学模型

变化的世界 函数

图象

一次函数

应

用 再认识 性质

一元一次方程

课题学习

一元一次不等式

二元一次方程组 选择方案

【知识点】：

一、平面直角坐标系

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征：

（1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0； 点P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0； 点P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0； 点P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征：

点P（x, y）在x轴上y为0，x为任意实数。 点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数。 3．点P（x, y）坐标的几何意义： （1）点P（x, y）到x轴的距离是| y |； （2）点P（x, y）到y袖的距离是| x |； （3）点P（x, y）到原点的距离是x2y2 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P（a, b）关于x轴的对称点是P1(a,b)；

25

（2）点P（a, b）关于x轴的对称点是P2(a,b)； （3）点P（a, b）关于原点的对称点是P3(a,b)；

二、函数的概念

1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 （1）自变量取值范围的确是：

①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。

③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。

注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。

（2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法

（4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线

三、一次函数 1.一次函数的概念：函数（，为常数，）叫做的一次函数。

学习这个定义应明确下面几点：

（1）作为一次函数自变量的最高次数是1，且其系数，这两个条件缺一不可。

（2）函数

（

）中可以为任意常数，当

时，一次函数

就成（为常数，且），这时叫做的正比例函数，也可

以说与成正比例，常数叫做因变量与自变量的比例系数．因此正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。

2.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像是一条与坐标轴斜交的直线。因此，只需求出直线y＝kx＋b上的两点，就可得到它。

一般，作正比例函数y＝kx的图像常取点（0，0）和（1，k）；作一次函数

b,0

ykxb(b0)的图像常取（0,b）和（k）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。

3.一次函数的性质：

（1）参数k、b的意义和对一次函数y＝kx＋b的图像与性质的影响。 当

时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右呈上升趋势；直线向

上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；

6 2

当时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左到右呈下降趋势。直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；

因此，k的符号与直线的方向、函数的增减性是相互决定的。

（2）b是一次函数y＝kx＋b中，当x＝0时所对应的函数值，因此直线y＝kx＋b与y轴交于点（0，b），b是直线y＝kx＋b与y轴上的交点的纵坐标，所以，b的符号和直线与y轴交点位置是相互对应的． b＞0直线与y轴交点在x轴的上方； b＝0直线过原点；b＜0直线与y轴交点在x轴的下方

（3）k、b的符号对直线位置的影响：

图像过一、二、三象限 图像过一、三、四象限

图像过一、二、四象限 图像过二、三、四象限

讨论k、b符号与直线y＝kx＋b在坐标系中的位置要注意用k、b的意义去解决，不必死记对应的结论。

4.解析式的确定：确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法，它的一般步骤如下：

（1）写出函数解析式的一般形式：（），其中k，b是待定系数。

（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数k，b的方程或方程组。

（3）解方程或方程组求出待定系数k，b的值，从而写出一次函数的解析式。 注：已知两直线：yk1xb1(k10)和yk2xb2(k20)，且b1b2，则

k1k2l1//l2

5.一次函数y＝kx＋b（k≠0）和二元一次方程Ax＋By＝C之间在A≠0且B≠0的条件下是可以互相转化的。

即：AxByC0（A0,B0）

ACx(A0,B0)BB

由此可知，在直角坐标系中，一次函数的图像所对应的是直线，同时也对应于一个二元一次方程。因此两直线yk1xb1(k10)和yk2xb2(k20)的交

y 27

yk1xb1点坐标也就是相应的二元一次方程组yk2xb2的解。 【典型例题】

例1、求下列函数自变量的取值范围： （1）y2x6；（2）解：（1）x取任意实数

（2）3x50，所以

x53

yx51yx1 3x5（3）y6x；（4）

（3）6x0，所以x6

x50（4）x10，所以x5

方法点拨：

（1）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数；

（2）当函数的解析式是分式时，自变量取使分母不为零的任意数；

（3）当函数的解析式是二次根式时，自变量取使被开方的式子为非负数的实数；

（4）需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。

例2、下列函数关系式中，哪些y是x的一次函数？哪些是正比例函数？ （1）x1y（2）

x2y3（5）y23x（6）3x2y0 （4）

解：（2）（4）（5）（6）是一次函数，（2）（6）是正比例函数

mym1x3是一次函数，求m的值，并写出解析式。 例3、若函数

2解：由题意得，m1，则m1，

因为m10，所以m1 则m1

22y32xy2（3）3x

例4、直线经过第一、二、四象限，求m的取值范围。

。

分析：直线过第一、二、四象限，则

解：由直线经过第一、二、四象限，可得

解得

例5、根据下列条件写出相应的解析式：

（1）直线ykx5经过点(2,1)

（2）一次函数中，当x1时，y3，当x1时，y7。

8 2

解：（1）由于直线ykx5经过点(2,1)

则1k(2)5 得k3 故y3x5

（2）可设一次函数为ykxb由于

例6、已知一次函数图像过点（－2，3）和点（3，－2），求函数解析式，画出函数图像并求：

（1）图像与x轴、y轴的交点坐标．

（2）图像与两坐标轴围成的三角形面积． 解：设所求函数解析式为

因为图像过点（,3）和点（3,

则

解得

时，

，解得

）

y2x5

x1时，y3，x1时，y7 kb3b5得得kb7k2

所求函数解析式为图像如图：（1）

时，

所以图像与x轴交点为A（1，0）；图像与y轴交点为B（0，1） （2）如图：

例7、已知一次函数y(2m3)x4n满足下列条件，分别求出字母m,n的取值范围

（1）使得y随x的减小而增大；

（2）使得函数图像与y轴交点在x轴下方； （3）使函数经过第二、三、四象限． 解：（1）∵y随x的减小而增大

2m30

3m2 3当m时，y随x的减小而增大2

（2）∵函数图像与y轴的交点在x轴下方

n44n0，3m2m302 3n4，m2

29

32，n4时，函数图像与y轴交点在x轴下方 当

（3）∵函数图像经过二、三、四象限

m32m30，24n0n4

3m2，n4时，函数图像经过二、三、四象限 当

例8、如图，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，L2反映了该公司的销售成本与销售量的关系．

观察图像，回答下列问题．

（1）当销售量分别为2吨和6吨时，销售收y/（元） 入与销售成本分别为多少元？ L1 （2）当销售量为多少吨时，销售收入等于销6000 5000 L2 售成本？

（3）当销售量为多少吨时，该公司赢利（收4000 入大于成本）？当销售量为多少吨时，该公司亏损3000 2000 （收入小于成本）？ 1000 （4）写出L1和L2对应的函数表达式． 1 2 3 4 5 6 x（吨） 解：（1）销售量为2吨时收入2000元，成本3000元．

（2）当销售量为4吨时，收入＝成本

（3）当x>4吨时，收入大于成本，当x<4吨时，收入小于成本． （4）L1：设y＝kx（4，4000） y1000x

L2：设ykx2000，过（4，4000），则k500 y500x2000

m例9、m为何值时，直线与的交点在第三象限？

分析：本题有一定的难度，先求出两直线的交点，再由此交点在第三象限，知其横纵坐标均为负，进而求出m的取值范围．

解：由题意得，

y3xm1x4m3y2x3m2y11m8 又∵交点在第三象限 4m303m11m80解得4

1yx2和例10、如图所示，已知正比例函数

一次函数yxb，它们的图像都经过点P（a，1），且一次函数图像与y轴交于Q点。

（1）求a、b的值；（2）求△PQO的面积。

0 3

解：

1（1）由于正比例函数yx过点P（a，1）2

1故a11) a2即P(2，2又一次函数图像过P点，故12b，b3 得一次函数为yx3

（2）由题知P（－2，1），故P到OQ的距离为2 而OQ＝3

1故SOPQ3232

例11、已知a，b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x的一次函数. 分析： 应写出y+b与x+a成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.

证明： 由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.

整理，得y=kx+(ka－b). ①

因为k≠0且ka－b是常数，故y=kx+(ka－b)是x的一次函数式.

例12、填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，则此直线经过第________象限.

acaa分析： 先把ax+by+c=0化为x.因为a＜0，b＜0，所以0,0，又bc

bbbbccac＜0，即＜0，故－＞0.相当于在一次函数y=kx+l中，k=－＜0，l=－＞

bbbbc0，此直线与y轴的交点(0，－)在x轴上方.且此直线的向上方向与x轴正方

b向所成角是钝角，所以此直线过第一、二、四象限.

例13、拖拉机开始工作时，油箱有油45升，如果每小时耗油6升．

（1）求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式； （2）画出函数的图象． 答：（1）Q=45-6t．

（2）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由自变量t的取值范围0≤t≤7.5决定是一条线段，而不是直线

例14、 已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1）两点.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设该一次函数的图象向上平移2个单位后，与x轴、y轴的交点分别

是点A、点B，试求AOB的面积.

分析：本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式和函数图象的平移. 解答：（1）设一次函数的解析式为ykxb.

31

把点（2，5）和（-1，-1）的坐标分别代入ykxb，得

2kb5 ， 解这个方程组，得 kb1∴ 一次函数的解析式为y2x1.

k2. b1（2）将直线y2x1向上平移2个单位后，可得 y2x3. 在函数y2x3中，令x0，得y3；令y0，得2x30， 即x3. 231139，OB3. ∴ SAOBOAOB3. 22224 ∴ OA例15、 如图，某地区一种商品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1x60，y22x36. 需求量为0时，即停止供应. 当y1y2时，该商品的价格称为稳定价格，此时的需求量称为稳定需求量.

（1）求该商品的稳定价格与稳定需求量；

（2）价格在什么范围内，该商品的需求量低于供应量？ （3）当需求量高于供应量时，常通过对供应方提

供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量. 现若要

O y y22x36 y1x60

x使稳定需求量增加4万件，应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应

量等于需求量？

分析：本题主要考查一次函数与一次方程及一元一次不等式间的联系. 在解答时

要弄清在具体的实际问题中，比例系数k的实际意义. 解答：（1）由y1y2，得 x602x36，解得 x32（元/件）. 当x32（元/件）时，y1x60326028（万元）. （2）由y1y2，得 x602x36，解得 x32（元/件）. 由y1x600，得 x60.

2 3

∴ 当32x60时，需求量低于供应量.

（3）当y128432（万件）时，x6032，解得 x28（元/件）. 当y2y132（万件）时，2x3632，解得 x34（元/件）. ∴ 应补贴34286（元）. 【练习】

x3的图像上的是（） 225(,3)(5,)2 A.(3,2) B.(4,1) C.3 D.

2、如果一次函数yxb的图像经过点(0,4)，那么b的值是（）

1、下列各点在函数y=A.1 B.－1 C.－4 D.4

3、下面给出的m的值中，能使一次函数（但不是正比例函数）y(3m1)xm1的y随x增大而增大的m值是（）

12mm3 C.m0 D.3 A.m1 B.

4、已知一次函数ykxk，若y随x的增大而减小，则它的图像经过（）

A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限

5、下列函数（1）y＝πx（2）y＝2x－1（3）y＝x2－1（4）y＝2－1－3x中，是一次函数的有（）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6、已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y＝－x＋2上，则y1、y2大小关系是（）

A.y1>y2 B.y1＝y2 C.y19、已知点A(4,a)、B(2,b)都在直线小关系是a＿＿b。

10、已知函数yx4，它的自变量x的取值范围是3x1，则函数y的取值范围是＿＿。

11、一次函数y2x4的图像与x轴交点坐标是＿＿＿，与y轴交点坐标是＿＿＿。

12、已知一个正比例函数的图像经过点（－2，4），则这个正比例函数的表达式是＿＿＿。

13、若函数y＝－2xm＋2是正比例函数，则m的值是＿＿＿。 14、已知一次函数y＝kx＋5的图像经过点（－1，2），则k＝＿＿＿。

33

y1xk2（k为常数）上，则a与b的大

15、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式＿＿＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）.

（1）y随着x的增大而减小。（2）图像经过点（1，－3）

16、已知一次函数ykxb的图像经过点(1,0)和(0,2)，求①k和b的值；②在直角坐标系内画出ybxk的图像；

17、已知y－2与x成正比例，且当x＝1时，y＝－6 （1）求y与x之间的函数关系式

（2）若点（a，2）在这个函数图像上，求a 18、已知函数y＝（2m＋1）x＋m－3 （1）若函数图像经过原点，求m的值

（2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围。

119、已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数y=x2的图像相交于点（2，a），求（1）a的值；（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。

20、已知一次函数y(2m1)x(n3)，求： （1）当m为何值时，y的值随x的增加而增加； （2）当n为何值时，此一次函数也是正比例函数；

（3）若m1,n2,求函数图像与x轴和y轴的交点坐标；

y0。（4）若m1,n2，写出函数关系式，画出图像，根据图像求x取什么值时， 21、（2007·晋江）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出

发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段y1、y2分别表示小东、 y（千米）小明离B地的距离（千米） 与所用时间（小时）间的关系y2 y1. （1）试用文字说明交点P所表示的实际意义； （2）试求出A、B两地之间的距离.

P 7.5 x（小时） 22、龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).

O 2.5 4

23、杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：

（1）买进每份0．2元，卖出每份0．3元；

（2）一个月内（以30天计）有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能

4 3

卖出120份；

（3）一个月内，每天从报社买进的报纸数必须相同,当天卖不掉的报纸，以每份0．1元退给报社． ①填下表：

②设每天从报社买进该种晚报x份(120≤x≤200 )时，月利润为y元，试求出y与x之间的函数表达式，并求月利润的最大值．

24、 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝10－3

毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后： （1）分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效

y（微克）的，那么这个有效的时间多长？

6

3

xO210（小时）

问题二图 25、如图，直线l1、l2相交于点A,l1与x轴的交点坐标为（－1，0），

l2与y轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题：

⑴求出直线l2的一次函数的表达式；

⑵当x为何值时, l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？

第五章:整式的乘除与因式分解

【知识结构框图】

35

【知识点】： 1.单项式的概念：

由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：2a2bc的 系数为2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2.多项式：

几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：a22abx1，项有a2、2ab、x、1，二次项为a2、2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：x32x2y2xy2y31

按x的升幂排列：12y3xy2x2y2x3 按x的降幂排列：x32x2y2xy2y31 按y的升幂排列：1x3xy2x2y22y3 按y的降幂排列：2y32x2y2xyx31

5、同底数幂的乘法法则：am•anamn（m,n都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：(ab)2•(ab)3(ab)5

6、幂的乘方法则：(am)namn（m,n都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35)2310

6 3

幂的乘方法则可以逆用：即amn(am)n(an)m 如：46(42)3(43)2

7、积的乘方法则： (ab)nanbn（n是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（2x3y2z)5=(2)5•(x3)5•(y2)5•z532x15y10z5

8、同底数幂的除法法则：amanamn（a0,m,n都是正整数，且mn)

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4(ab)(ab)3a3b3 9、零指数和负指数；

a01，即任何不等于零的数的零次方等于1。

ap1，即一个不等于零的数的p次方等于这个数p（a0,p是正整数）

a的p次方的倒数。

11如：23()3

2810、科学记数法：如：0.=7.21106（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）

11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：2x2y3z•3xy

12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如：2x(2x3y)3y(xy)

37

13、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

(3a2b)(a3b)

(x5)(x6)14、平方差公式：(ab)(ab)a2b2注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：(xyz)(xyz)

15、完全平方公式：(ab)2a22abb2

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

a2b2(ab)22ab(ab)22ab (ab)2(ab)24ab

(ab)2[(ab)]2(ab)2 (ab)2[(ab)]2(ab)2

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 16、三项式的完全平方公式：

(abc)2a2b2c22ab2ac2bc

17、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：7a2b4m49a2b

18、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：(ambmcm)mammbmmcmmabc

19、因式分解

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

8 3

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。 易错知识辨析：

（1）注意因式分解与整式乘法的区别；

（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.

20、因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3x2xx(13x)） 基本方法：

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

11 注意：把2a2变成2(a2)不叫提公因式

24 39

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3．

公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。 （3）分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 【典型例题】 一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(xy)6b2(yx)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，

0 4

应继续分解。

2、十字相乘法：

例2、（1）x45x236；（2）(xy)24(xy)12

分析：可看成是x2和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。

3、分组分解法：

例3、x32x2x2

分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略

[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。

4、求根公式法：

例4、x25x5解：略 二、式的运算

1212)(1) abab分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略

[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。 例5、计算：(15x2(3x25x2)(4y27xy)，例6、先化简，再求值：其中x= – 1 y =12

[规律总结]一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。 例7若a0且ax2，ay3，则axy的值为（ ）

23 D． 32[规律总结]灵活运用同底数幂除法运算法则

例8（06 广东）按下列程序计算，把答案写在表格内：

n n 平方 +n -n

⑴ 填写表格： A．1

B．1

C．

输入n 输出答案 3 1 1 2答案 —2 —3 1 … … ⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 例9 先化简，再求值：

41

1(1) （08江西）x (x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中x＝－；

21(2) (x3)2(x2)(x2)2x2，其中x．

3[规律总结]灵活运用乘法公式进行计算 例10（2006年江苏省）先化简，再求值： [（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x其中x=3，y=-1．5．

[规律总结]本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确 例11、分解因式：

①x3-x2=_______________________;

②（2006年绵阳市）x2-81=______________________; ③（2005年泉州市）x2+2x+1=___________________;

1 ④a2-a+=_________________;

4 ⑤（2006年湖州市）a3-2a2+a=_____________________.

[规律总结]运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。 例12.把式子x2-y2-x—y分解因式的结果是 ．．

分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1) 例13.分解因式：a2—4a+4=

分析：考查运用公式法分解因式。答案：(a-2)2 【练习】

1. 计算(-3a3)2÷a2的结果是( )

A. -9a4 B. 6a4 C. 9a2 D. 9a4

2.（06泉州）下列运算中，结果正确的是（ ）

x3x6 B.3x22x25x4 C.(x2)3x5 D．(xy)2x2y2 A.x3·43.（08枣庄）已知代数式3x24x6的值为9，则x2x6的值为（ ）

3A．18 B．12 C．9 D．7

4. 若2x3ym与3xny2 是同类项，则m + n ＝____________.

5．观察下面的单项式：x，-2x，4x3，-8x4，…….根据你发现的规律，写出第7个式子是 . 6. 先化简，再求值：

⑴ (a2b)(a2b)ab3(ab)，其中a2，b1；

⑵ (xy)22y(xy) ，其中x1,y2．

7．（08巴中）大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）

2 4

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．

(ab)1ab(ab)2a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4

Ⅱ

Ⅰ

(ab)5 ． 根据前面各式规律，则

8.（06 温州）若x－y＝3，则2x－2y＝ ． 9.（08茂名）分解因式：3x2－27= ． 10．若x2axb(x3)(x4),则a ,b ． 11. 简便计算：2008220092008 ＝ . 12. (08东莞) 下列式子中是完全平方式的是（ ）

A．a2abb2 B．a22a2 C．a22bb2 D．a22a1 13． 分解因式：

⑴（08聊城）ax3yaxy32ax2y2__________________. ⑵（08宜宾）3y2－27＝___________________. ⑶（08福州）x24x4_________________. ⑷ (08宁波) 2x212x18 ． 14． 已知ab5,ab3，求代数式a3b2a2b2ab3的值.

15． 如图所示，边长为a,b的矩形，它的周长为14，面积为10，求a2bab2的值．

b

a

16．计算： （1）992； （2）(1111)(1)(1)222234(111)(1)． 2291017．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4b2c2b4a2c2，试判断△ABC

43

的

形状.阅读下面解题过程： 解：由a4b2c2b4a2c2得：

a4b4a2c2b2c2 ① a2b2a2b2c2a2b2 ② 即a2b2c2 ③

∴△ABC为Rt△。 ④ 试问：以上解题过程是否正确： ；

若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ； 错误原因是 ；

本题的结论应为 .

4 4