备战中考数学 反比例函数 综合题及详细答案

一、反比例函数

1．如图，已知A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x

轴于

C，BD⊥y

轴于

D．

（2）求一次函数解析式及m的值；

（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标． 【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；

（2）把A（﹣4， ），B（﹣1，2）代入y=kx+b得 ， 解得

，

所以一次函数解析式为y= x+

，

把B（﹣1，2）代入y=

得m=﹣1×2=﹣2；

（3）解：如下图所示：

），

设P点坐标为（t， t+

∵△PCA和△PDB面积相等， ∴

•

•（t+4）=

•1•（2﹣

t﹣

），即得t=﹣

，

∴P点坐标为（﹣ ，

）．

【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到 • •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣ ），解方程得到t=﹣ ，从而可确定P点坐标．

2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．

（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；

（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．

【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12， ∴y= ． OA= ∵OA=OB， ∴OB=5，

∴点B的坐标为（0，﹣5），

把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得： 解得： ∴y=2x﹣5．

（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，

=5，

∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）， ∵MB=MC， ∴

解得：x=2.5，

∴点M的坐标为（2.5，0）．

【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .

3．抛物线y=

+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点

M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB； （3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=

，求点M的坐标．

【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1） ∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1） ∵顶点在直线y=x+3上， ∴﹣2+3=m﹣1， 得m=2；

（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，

∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为： a2+a+2，

即点N（a， a2+a+2）

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a， ∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2 ， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4， 而NB2=（ a2+a+2）2 ， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4 ∴NF2=NB2 ， NF=NB

（3）解：连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA， ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴， ∴MA∥NB， ∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°， ∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°， ∵∠MAB+∠NBA=180°， ∴∠FBA+∠FAB=90°， 又∵∠FAB+∠MAF=90°， ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA， 又∵∠FPA=∠BPF， ∴△PFA∽△PBF， ∴ = ，PF2=PA×PB=

，

过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中， PG=

= ，

∴PO=PG+GO= ，

∴P（﹣ ，0）

设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣ ，0）代入y=kx+b， 解得k= ，b= ， ∴直线PF：y= x+ ， 解方程 x2+x+2= x+ ，

得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去）， 当x=﹣3时，y= ， ∴M（﹣3， ）．

【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ， 用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2 ， 即可得出到NF=NB。

（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。

4．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣ （x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意知，点A（a， ），B（b，﹣ ）， ∵AB∥x轴， ∴ ∴a=﹣b； ∴AB=a﹣b=2a， ∴S△OAB= •2a• =3

（2）解：由（1）知，点A（a， ），B（b，﹣ ）， ∴OA2=a2+（ ）2 ， OB2=b2+（﹣ ）2 ， ∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形， ∴OA=OB， ∴OA2=OB2 ，

∴a2+（ ）2=b2+（﹣ ）2 ， ∴a2﹣b2=（ ）2﹣（ ）2 ，

∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（ ﹣ ）= ∵a＞0，b＜0， ∴ab＜0，a﹣b≠0， ∵a+b≠0， ∴1=

，

，

，

∴ab=3（舍）或ab=﹣3， 即：ab的值为﹣3；

（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点． 理由：如图， ∵a≥3，AC=2，

∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，

∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，

∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a， ）的左上方， ∴C（a﹣2， ）， ∴D（a﹣2， +2），

设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F， ∴F（a﹣2， ∴FC=

﹣ =

= ），

，

，

∴2﹣FC=2﹣ ∵a≥3，

∴a﹣2＞0，a﹣3≥0， ∴

∴2﹣FC≥0， ∴FC≤2，

∴点F在线段CD上，

即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．

≥0，

【解析】【分析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．

5．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；

（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；

（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围； （4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值． 【答案】 （1）解：y=2x+1中k=2＞0， ∴y随x的增大而增大，

∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9． ∵y= 中k=2＞0，

∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．

∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1， ∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19

（2）解：令y= ≤2， 解得：x＜0或x≥1．

∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1

（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0

（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1， 解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1， 解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1， 整理得：2m2﹣15m+29=0．

∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．

∴m的值为1或3． ①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；

【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．

6．如图，已知函数

的图象与一次函数

的图象相

交不同的点A、B，过点A作AD⊥ 轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为 ，△AOD

的面积为2.

（1）求 的值及 =4时 的值； （2）记

表示为不超过 的最大整数，例如：

， ，求

值

【答案】（1）解：设A（x0 ， y0），则OD=x0 ， AD=y0 ， ∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2， ∴k=x0y0=4； 当x0=4时，y0=1， ∴A（4，1），

代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1

（2）解：∵

，

∴ ＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0， ∵A的横坐标为x0 ， ∴mx02+5x0=4， 当y=0时，mx+5=0， x=- ，

∵OC=- ，OD=x0 ， ∴m2•t=m2•（OD•DC）， =m2•x0（- -x0）， =m（-5x0-mx02）， =-4m，

，设

,若

∵- ＜m＜- ， ∴5＜-4m＜6， ∴[m2•t]=5

【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；

（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。

7．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b ， 可作如下变形a+b=

+

又∵

, ≥0， ∴

+

≥0+

，即

≥

．

=

-

+

=

（1）根据上述内容，回答下列问题：在 定值p ， 则a+b≥

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a ， DB＝2b, 试根据图形验证

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数

的图象上一点，A点的横坐标为1， ≥

成立，并指出等号成立时的条件． ≥

（a、b均为正实数）中，若ab为

．

，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值

将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b

（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2

,CO≥CD,即

≥2

.

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解：

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小， 所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE=

（4+3）=28.

,

【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。 （2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=立时的条件。

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S小，由此可证得结论。

四边形ADFE

，再由（1）中的结论即可得出等号成=S△ADE+S△FDE ， 可知当DH=EH时DE最

8．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接

AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=

．

．tanD=tan15°= = =

思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设

α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =

．

思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …

请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）类比：求出tan75°的值；

=

（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；

（3）拓展：如图3，直线 请说明理由．

【答案】（1）解：方法一：如图1，

与双曲线

交于A，B两点，与y轴交于点C，

将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=

．tan∠DAC=tan75°= =

=

=

；

方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = =

（2）解：如图2，

在Rt△ABC中，AB=

=

=

，sin∠BAC=

，即 ， =

∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ∴DB=AB•tan∠DAB=

．

答：这座电视塔CD的高度为（

）米

•（

）=

，∴DC=DB﹣BC=

（3）解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C

作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．

解方程组： ﹣2）．对于

，得： 或 ，∴点A（4，1），点B（﹣2，

，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣

，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan

（﹣1）=2，∴tan∠ACF=

（45°+∠ACF）= = =3，即 =3．设点P的坐标为（a，b），

则有：

，

解得： 或

，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（ ，3）；

②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．

由①可知∠ACP=45°，P（ ，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，则

∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴ ．∵CH=3

﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1，∴ ，∴GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG的解析

式为 ，则有： ，解得： ，∴直线CG的解析式为

．联立： ，∵△=

不存在．

，消去y，得： ，整理得：

，∴方程没有实数根，∴点P

综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（ ，3）．

【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°，tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°，从而得到∠DAB=75°，在Rt△ABD中，可求出DB，DC=DB﹣BC.分两种情况讨论，设点P的坐标为（a，b），根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a，b的方程组，求出a，b.利用已知证明△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出G的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△<0 点P不存在.

9．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；

（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．

【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ， 把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6， ∴反比例函数解析式为y= ； 把A（3，m）代入y= ，可得3m=6， 即m=2， ∴A（3，2），

设直线AB 的解析式为y=ax+b，

把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得 解得

，

，

∴直线AB 的解析式为y=x﹣1

（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方 （3）解：存在点C．

如图所示，延长AO交双曲线于点C1 ，

∵点A与点C1关于原点对称， ∴AO=C1O，

∴△OBC1的面积等于△OAB的面积， 此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；

如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ， 则△OBC2的面积等于△OBC1的面积， ∴△OBC2的面积等于△OAB的面积， 由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x， 可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，

把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'， 解得b'= ，

∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，

解方程组

，可得C2（

）；

如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3 ， 则△OBC3的面积等于△OBA的面积， 设直线AC3的解析式为y= x+

， ，

把A（3，2）代入，可得2= ×3+ 解得

=﹣ ，

∴直线AC3的解析式为y= x﹣ ，

解方程组

，可得C3（

）； （）

）．

综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（

【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式

（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标

（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。

10．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 n）．

（1）求反比例函数

的解析式；

的图象经过点A（1，4），B（m，

（2）若二次函数

（3）若反比例函数

的图象经过点B，求代数式

的值；

的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交

点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】 （1）解：将A（1，4）代入函数y＝ 得：k=4 反比例函数y＝ 的解析式是

（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝ 上， ∴mn=4，

又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点 B（m，n）， ∴ ∴

即n-1=m2-2m

（3）解：由反比例函数的解析式为 ∴反比例函数 如图，

，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．

的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．

当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2； 当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－ . ∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），

∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－ .

【解析】【分析】（1）只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。

（2）根据B（m，n）在反比例函数图像上得出mn=4，将点B的坐标代入y=（x-1）2得到n-1=m2-2m，再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解决问题。

（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题。

11．

（1）如图1所示，

在

中， ，求证：

（2）如图2所示，

，

.

，点 在斜边

上，点 在直角边

上，若

在矩形

中，

，

，求 的长；

中，

，

，

，点 在

上，连接

，过点 作

交

(或 的延长线)于点 . ①若

②若点 恰好与点 重合，请在备用图上画出图形，并求 的长. 【答案】 （1）证明：∵在 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴

， .

是矩形，

，

， ，

，

（2）解：①∵四边形 ∴

，

∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴

， ，

，

， ； ， ， ，

， ，

，

②如图所示，设 ，由①得

，

∴

，即

， ，

，

或

， .

即可证得结

，再利用相似三角形的性质即可求得结果； ，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，

整理，得： 解得：

所以 的长为

【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明 论；（2）①仿（1）题证明 ②由①得

解方程即可求得结果.

，设

12．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ， 点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线

经过B、C两点，顶点D在正方形内部．

（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；

（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；

（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP ， 将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

【答案】 （1）解：∵点D（m ， n），∴点D（m ， n）的特征线是x=m ， y=n ， y=x+n﹣m ， y=﹣x+m+n；

（2）解：点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为

，∴

，∵四边形OABC是正方形，且D点为正

，将

方形的对称轴，D（m ， n），∴B（2m ， 2m），∴ n=m+1带入得到m=2，n=3； ∴D（2，3），∴抛物线解析式为

．

（3）解：①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：

根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN=

=

，∴抛物线需要向下平移的距离=

=

．

②如图，

当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p ， 3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′=

=

，∴A′F=4﹣

，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣ ，∴P（4，

），∴直线OP解析式为y=

=

． ）2+

（3﹣c）2=c2 ， ∴c= x ， ∴N（2，

），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣

或

综上所述：抛物线向下平移

距离，其顶点落在OP上．

【解析】【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．