2013年全国卷数学试题及答案(理)

1． 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

1．B [解析] 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．

2． (1＋3i)3＝( ) A．－8 B．8 C．－8i D．8i

2．A [解析] (1＋3i)3＝13＋3×12(3i)＋3×1×(3i)2＋(3i)3＝1＋33i－9－33i＝－8.

3． 已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)(－)，则λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

3．B [解析] (＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔2＝2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.

4． 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( ) 1

－1，－ A．(－1，1) B.21

C．(－1，0) D.2，1

1

4．B [解析] 对于f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－121

－1，－. 为2

1

1＋(x>0)的反函数f－1(x)＝( ) 5． 函数f(x)＝log2x11

A.x(x>0) B.x(x≠0) 2－12－1

C．2x－1(x∈) D．2x－1(x>0)

111

1＋，则y>0，且1＋＝2y，解得x＝y，交换x，y得f5．A [解析] 令y＝log2xx2－1

－1

(x)＝

1

(x>0)． 2－1

x

4

6． 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )

3A．－6(1－3C．3(1－3

－10

1

) B.(1－310)

9

－10

－10

) D．3(1＋3)

an＋11

6．C [解析] 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an}是公比

an3

1

为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝

3

1

4×1－－3

1

1＋3

10

1－

＝3×1－3＝3(1－310)．



10

7． (1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( ) A．56 B．84 C．112 D．168

422

7．D [解析] (1＋x)8展开式中x2的系数是C28，(1＋y)的展开式中y的系数是C4，根

2C2＝28×6＝168. 据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为C84

x2y2

8．、 椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取

43值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )

1333， B.， A.248413

，1 D.，1 C.24

8．B [解析] 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2

2

y0y0y0x2y2333002＝(4－x2)，＝·＝2，而＋＝1，即y0A2＝－，所以kPA1＝－0所以kPA1kP43444kPA2x0＋2x0－2x0－433∈8，4.

11

，＋∞是增函数，则a的取值范围是( ) 9．、 若函数f(x)＝x2＋ax＋在x2A．[－1，0] B．[－1，＋∞)

C．[0，3] D．[3，＋∞)

1111

，＋∞上恒成立，即a≥2－2x在 ，＋∞上9．D [解析] f′(x)＝2x＋a－2≥0在22xx11

，＋∞上单调递减，所以y<3，故只要a≥3. 恒成立，由于y＝2－2x在2x

10． 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正

弦值等于( )

23A. B. 33C.21 D. 33

10．A [解析] 如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝2，CC1·OC4 24

OC1＝18＝3 2，所以CE＝＝＝，

OC13 23

CE2

所以sin∠CDE＝＝.

CD3

11．、 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于→A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝( )

12

A. B. 22

C.2 D．2

11．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.

→→MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4 11＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.

2t12．、 已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )

A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 π

B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称

2C．f(x)的最大值为

3 2

D．f(x)既是奇函数，又是周期函数

12．C [解析] 因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cos xsin 2x－cos xsin 2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cos xsin 2x＝f(x)，故函数f(x)图

π

像关于直线x＝对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对

2选项C中，f(x)＝2cos2xsin x＝2(1－sin2x)sin x，令t＝sin x∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝＋

11

，所以y在[－1，1]上的极大值为－33

13

12 32 3＝，函数的端点值为0，故函数y在区间[－1，1]的最大值为，函数f(x)的最399

43大值为，所以选项C中的结论错误．

9

1

13． 已知α是第三象限角，sin α＝－，则cot α＝________．

3

2 2cosα

13．2 2 [解析] cosα＝－1－sin2α＝－，所以cotα＝＝2 2. 3sinα

14．、 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字

作答)

4，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数14．480 [解析] 先排另外四人，方法数是A4

42

是A25，根据乘法原理得不同排法共有A4A5＝24×20＝480种．

x≥0，

15． 记不等式组x＋3y≥4，所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，

3x＋y≤4则a的取值范围是________．

1

15.2，4 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC及其内部，直线y＝a(x＋1)是过点(－1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值1－0为MA的斜率，最大值为MB的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA的斜率等于

1－（－1）4－011

＝，MB的斜率等于＝4，故实数a的取值范围是2，4. 20－（－1）

3

16．、 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，

2且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．

16．16π [解析] 设两圆的公共弦AB的中点为D，则KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即为圆O和和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O为球心，故OK

OK32

垂直圆K所在平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝

OD233，设球的半径为r，则DO＝16π.

33

r，所以r＝3，所以r＝2，所以球的表面积为4πr2＝22

17．、 等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

17．解：设{an}的公差为d.

2由S3＝a22，得3a2＝a2，故a2＝0或a2＝3.

2＝SS. 由S1，S2，S4成等比数列得S214

又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．

若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0， 此时Sn＝0，不合题意；

若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝0或d＝2.

因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1. 18．、 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B；

(2)若sin Asin C＝

3－1

，求C. 4

18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b21

由余弦定理得cos B＝＝－，

2ac2因此B＝120°.

(2)由(1)知A＋C＝60°，所以

cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C ＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C ＝cos(A＋C)＋2sin Asin C 3－11

＝＋2× 24＝3， 2

故A－C＝30°或A－C＝－30°， 因此C＝15°或C＝45°. 19．、 如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求二面角A－PD－C的大小．

19．解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形． 过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O. 联结OA，OB，OD，OE.

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点， 故OE⊥BD，从而PB⊥OE.

因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P， 故CD⊥平面PBD.

又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.

取PD的中点F，PC的中点G，连FG. 则FG∥CD，FG⊥PD.

联结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角． 联结AG，EG，则EG∥PB. 又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

1

设AB＝2，则AE＝2 2，EG＝PB＝1，

2故AG＝AE2＋EG2＝3，

1

在△AFG中，FG＝CD＝2，AF＝3，AG＝3.

2FG2＋AF2－AG26

所以cos∠AFG＝＝－.

2·FG·AF3因此二面角A－PD－C的大小为π－arccos

6

. 3

解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．

→

以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

→

设|AB|＝2，则

A(－2，0，0)，D(0，－2，0)， C(2 2，－2，0)，P(0，0，2)，

→→

PC＝(2 2，－2，－2)，PD＝(0，－2，－2)， →→

AP＝(2，0，2)，AD＝(2，－2，0)． 设平面PCD的法向量为1＝(x，y，z)，则 PC＝(x，y，z)·(2 1·→→

2，－2，－2)＝0，

2，－2)＝0，

PD＝(x，y，z)·(0，－1·

可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.

取y＝－1，得x＝0，z＝1，故1＝(0，－1，1)． 设平面PAD的法向量为2＝(m，p，q)，则 AP＝(m，p，q)·(2·

AD＝(m，p，q)·(2·→→

2，0，2)＝0， 2，－2，0)＝0，

可得m＋q＝0，m－p＝0.

取m＝1，得p＝1，q＝－1，故2＝(1，1，－1)． 于是cos〈，2〉＝

n1·n26

＝－. |n1||n2|3

由于〈，2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π－arccos6

. 3

20．、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结1

束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独2

立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望． 20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”， A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2.

1P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.

4

(2)X的可能取值为0，1，2.

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 1

则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，

81

P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，

4

115

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，

84

E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.

8

x2y2

21．、、 已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为

ab3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.

(1)求a，b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

a2＋b2c

21．解：(1)由题设知＝3，即2＝9，故b2＝8a2.

aa所以C的方程为8x2－y2＝8a2. 将y＝2代入上式，求得x＝±由题设知，2

1a2＋.

2

1

a2＋＝6，解得a2＝1.

2

所以a＝1，b＝2 2. (2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.① 由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜2 2，代入①并化简得 (k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1≤－1，x2≥1，

9k2＋86k2

x1＋x2＝2，x1x2＝2.

k－8k－8

22

于是|AF1|＝（x1＋3）2＋y21＝（x1＋3）＋8x1－8＝－(3x1＋1)，

22|BF1|＝（x2＋3）2＋y22＝（x2＋3）＋8x2－8＝3x2＋1.

2

由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.

3

6k22419故2＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－. 359k－8

22

由于|AF2|＝（x1－3）2＋y21＝（x1－3）＋8x1－8＝1－3x1，

22

|BF2|＝（x2－3）2＋y22＝（x2－3）＋8x2－8＝3x2－1， 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，

所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

x（1＋λx）

22． 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.

1＋x(1)若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；

1111

(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋＞ln 2.

23n4n（1－2λ）x－λx2

22．解：(1)由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.

（1＋x）21

若λ＜，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.

21

若λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.

21

综上，λ的最小值是.

2

1

(2)令λ＝.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，

2即

x（2＋x）

＞ln (1＋x)．

2＋2x

2k＋1k＋11

取x＝，则＞ln.

kk2k（k＋1）112n－11

于是a2n－an＋＝ 2k＋2（k＋1）

4nk＝n2k＋1

＝ 2k（k＋1）k＝n

1＞2n－ln

2n－1

k＋1

k＝nk

＝ln 2n－ln n ＝ln 2.

1

所以a2n－an＋＞ln 2.

4n