初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题18 直角三角形_答案

例1 （1）12或30；6或30； 提示：x2x125，得x3；由x252x1，得x12， （2）得x102 提示：作DE⊥AB于E，设CD=x，则BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由x28212x， 310． 322例2 B 提示：过B作BD⊥AC延长线于D点，设CD=x，BD=y，可求得：x=y，则∠BCD=45°，故∠BCA=135°．

提示：过C作CQ⊥AP于Q，连接BQ，则AQ=BQ=CQ． 例3 ∠ACB=75°

例4 提示：过E作EG⊥AB于G，先证明Rt△EAG≌Rt△ABC，再证明△EFG≌△DFA． 例5 连接AC

∵AD=DC，∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形，DC=CA=AD，

以BC为边向四边形外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE， 则∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°， ∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，

连接AE，则AE2AB2BE2AB2BC2，

易证△BDC≌△EAC，得BD=AE，故BD2AB2BC2． 例6 过A作AE⊥BC于E，

设DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则

AE2b2vxc2uxt2x2，

22ADCEBA故t2b2v22ux，t2c2u22ux，

2222B消去x得t2bucvbBDcCDuv，即AD2BDDC． uvaDECA级

1．14 2．3 3．135°

4．261 提示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则△ACD≌△EBD，∴BE=AC=13，AE=12，又AB=5，则∠BAD=90°，

5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC≌△BEA，∠BPQ=60°． 10．（1）（2）略 （3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是AP2AB2BPCP 11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：,816254525451,,1； 12．10． ,,5,5,55255B级

1．

60 2．135° 提示：将△PAC绕A点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。 13124．B 5．D

6．C 提示：设直角三角形两直角边长为a，b（a≤b），则aba2b2kab（a，b，k均为正整数），化简得：(ka-4)(ka-b)=8，∴ka41ka42或，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2，

kb48kb443，4）或（1，6，8）． 7．

169 提示：连接AD，由△ADE≌△CDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，4EFAE2AF213．

8．提示：延长ED至G，使DG=ED，连接CG，FG，则BE=CG，EF=FG． 9．解：设此直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a，b，面积为S，则： abcababc62ab2c2S1ab为整数2①②③ ④由①②得：2由②得：a2b26c，把③④代入上式得：3c=9-S， 即6<3c<9，而S为整数，从而3c=7或8，

若3c=7，则S=2，代入②、④得：

ab=113，ab=4，次方程1．一副三角板，按图11-2-1所示

2方式叠在一起，则图中的度数是（）．

A．75°B．60° C．65° D．55°

2．如图11-2-2所示，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，则∠A的度数为（） A．36°B．72°C．108°D．144°

AαDBC

图11—2—1 图11—2—2 3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．

A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°

4．（1）在△ABC中，若∠A﹕∠B﹕∠C=2 ﹕3 ﹕4，则∠A=，∠B=，∠C=． （2）在△ABC中，若A11BC，则∠C=． 23（3）若三角形的三个外角的比是2﹕3﹕4，则这个三角形按角分是三角形．

5．已知：如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30°，则∠C的度数为． 6．已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处

测得灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB=．

BCED25°60°ACAB

图11—2—3图11—2—4

7．如图11-2-5所示，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．

AEHBFCP图11—2—5 8．（1）已知，如图11-2-6所示，AD是高，AE是∠BAC的平分线，是说明：DAED

1(CB)． 2ABEDC

图11—2—6

（2）如图11-2-7所示，在△ABC中，已知三条角平分线AD、BE、CF相交于点I，

IH⊥BC，垂足为H，∠BID与∠HIC是否相等？并说明理由．

AFIEBDHC

能力提升

9．在三角形中，最大角的取值范围是（）．

A．090B．60180C．6090D．60180

图11—2—7

10．直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（）． A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对

11．如图11-2-8所示，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+

∠2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（）．

1A．A12B．A(12)

2C．A

BA12ED12(212)D．A(12) 33C12．已知△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C，且AB，BC，

图11—2—8

AC，则,,中，锐角的个数最多为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

13．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大，若

∠A减少，∠B增加，∠C增加，则,,三者之间的关系是．

14．在△ABC中，高BD、CE所在的直线相交于点H，且点H与点B、C不重合，∠A=50°，则∠

BHC=．

15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20°角，则这个三角形的顶角是．

16．如图11-2-9所示，在△ABC中，A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，A2B平分∠A1BD，A2C平

分∠A1CD，A3B平分∠A2BD，A3C平分∠A2CD，若∠A=°，则∠A3=；依此类推，若∠A=，∠An=．

AA1A2A3BCD图11—2—9

17．（1）如图11-2-10所示，在△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别交于G1，G2，

G3，…，Gn-1，试猜想：∠BGn-1C与∠A的数量关系．（其中n是不小于2的整数）．首先得到：当n=2时，如图（a）所示，∠BG1C=，当n=3时，如图（b）所示，∠BG2C=，…，如图（c）所示，猜想∠BGn-1C=．

AAAAGn-1 ……G2DPG2G1G1CG1CBBBCBC

（a）（b）（c）（d）

图11—2—10

（2）如图（d）所示，在四边形ABCD中，BP、CP仍然是∠ABC，∠BCD的角平分线，则

∠P与∠A、∠D之间的数量关系为．

18．如图11-2-11所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，AG⊥AE，CG是△ABC的外角∠

ACF的平分线，若∠G-∠DAE=60°，则∠ACB=．

ADBEDCF

图11—2—11

19．阅读材料：如图11-2-12所示，AD与CB相交于O点，在△AOB和△COD中，∠A+∠B+ ∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠B=∠C+∠D． 图形类似数字“8”，所以我们称之为“8”字形． 根据上述材料解决下列问题：

如图11-2-13所示，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠A=48°，∠C=46°，BE与AD相交于点G，BC与DE相交于点H．

（1）仔细观察图11-2-13中有个“8”字形． （2）求∠BED的度数．

（3）试探究∠A，∠E，∠C之间的关系．（直接写出结论）

ABABGOEHDODC

C

图11—2—12图11—2—13

20．如图11-2-14所示，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点， （1）若∠ABM，∠BAN的平分线交于点C．问：点B、A在OM、ON上运动过程中，∠C的度数是

否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由．

（2）如图11-2-15所示，若∠ABO、∠BAN的平分线所在的直线相交于点C，其他条件不变，（1）

中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．

NCNDACAOBMOBM

图11—2—14图11—2—15

21．如图11-2-16所示，在△ADE和△ABC中，∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°， ∠BAD=∠BCF．

（1）求∠ECF+∠DAC+∠ECA的度数；

（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．

BEFDA图11—2—16

22．如图11-2-17（a）所示，在平面直角坐标系中，△DEQ的一个顶点在x轴的负半轴上，边DQ

交x轴于点C，且CE平分∠DEQ，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使∠ADE=∠BDC，已知C(m,0)，E(n,0)，其中m，n满足m3(n4)0． （1）求点C、E的坐标．

（2）若∠ABC=30°，求∠Q的度数．

（3）如图11-2-17（b）所示，在平面直角坐标系中，若直线AB绕点D旋转，过D作DH⊥AB，交

x轴于点G，交y轴于点H，直线AB绕点D转动时，下列结论：①∠Q的大小不变；②的值不变．选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．

yyAC

QOHDADGCEOHQOCDEBxQBx （a）（b） 图11-2-17 中考链接

23．（2011·四川绵阳）将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中∠AOB的度数为

A．75° B．95°C．105° D．120°

24．一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度.

BOA

图11—2—18图11—2—19

巅峰突破

25．如图11-2-20所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=DBA，EBG线AF与BG（）

A．平行B．延长后相交C．反向延长后相交D．可能平行也可能相交

26．如图11-2-21所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若A，B，则∠C=．（用,表示）

ADF131EBA，则射3CAGBCBEDE

图11—2—20图11—2—21

（2）如下图所示，过点G作GM⊥BC于M，连接HF. ∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH.

∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH.∴∠AHE=∠MFG. 又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF， ∴△AHE≌△MFG.∴GM=AE=2. ∵BC=12，BF=a，∴FC=12－a. ∴SGFC1FCGM12a. 2

(3)△GFC的面积不能等于2.

∵点H在AD上，∴菱形边上EH的最大值为

EHAE2AD2237.

∴BF的最大值为221.

又因为SGFC12a的值随着a的增大而减小， 所以SGFC的最小值为12221.

又∵122212，∴△GFC的面积不能等于2.

第三节 梯形

基础演练

1.C； 2.B； 3.C； 4.D； 5.B； 6.①②③

能力提升

7.D； 8.B； 9.A； 10.B； 11.32

12.如下图所示，作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形AQCED为平行四边形，∴AD=CE. ∵AC⊥BD，∴∠BDE=90°.

∴梯形的中位线长111ADBCCEBCBE. 222∵BEBD2DE29212215.

∴梯形的中位线1157.5. 2

13.(1)如下图所示，把等腰梯形的两腰分别延长后可得一个边长为2的等边三角形.

（2）四种.分别用3，4，5个小梯形拼出较大的等腰梯形. ①3个梯形，周长为11cm，如下图所示；

所以它可以由一个边长为2的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得.

②4个梯形，周长为10cm，如下图所示；

③5个梯形，周长为17cm，如下图所示；

④5个梯形，周长为11cm，如下图所示；

14.（1）∵AB∥DF，∴∠1=∠ADF. ∴∠1=∠2，∴∠2=∠ADF.∴EA=ED. 又AC=DF，∴EC=EF.

∴△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠ADF=∠DFC， ∴AD∥CF.又∵CF＜AD，∴四边形ADCF是梯形， ∵AC=DF，∴ADCF是等腰梯形.

(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF.① ∵△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米）.② AF=3（厘米）.③ FC=AC－3.④ 将②，③，④代入①得：

四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC－3)+AF=(AD+DC+AC)－3+3=16（厘米）. 15.(1)解：∵∠BCD=75°，AD∥BC， ∴∠ADC=105°.

由等边△DCE可知∠CDE=60°，故∠ADE=45°. 由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°， ∴∠AED=45°.

（2）证明：如图（a）所示，由（1）知∠AED=45°， ∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上.

由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上. 连接AC，∵∠AED=45°，∴∠BAC=45°. 又AB⊥BC，∴∠ACB=45°.∴BA=BC. （3）如图（b）所示，∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°. 连接AF，BF，AD的延长线相交于点G， ∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，

∴∠BFC=75°，故BC=BF.

由（2）知：BA=BC，故BA=BF， ∵∠ABF=60°，∴AB=BF=FA， 又∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴∠FAG=∠G=30°，∴FG=FA=FB. ∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG， ∴△BCF≌△GDF.

∴DF=CF，即点F是线段CD的中点.∴

DF1. FC 16.（1）证明：∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分， ∴

11xAFmnxnAFm. 22∴2AF2n2x.∴AFnx.

又∵ECBCBEnx，∴AFEC. （2）当直线EE经过原矩形顶点D时，如图

'∵DCBCm，EC∥EB，∴DEEE.

''''∴2ECEB.即2nxx，

''∴2n3x.∴x:n2:3. 17.（1）NE=MB且NE⊥MB. （2）成立.

理由：如下图所示，连接AE.

∵E为CD中点，AB=BC=

1CD，∴AB=EC. 2又AB∥CD，即AB∥CE， ∴四边形ABCE为平行四边形. ∵∠C=90°，∴四边形ABCE为矩形. 又AB=BC，∴四边形ABCE为正方形. ∴AE=AB.∵等腰直角三角形AMN中， ∴AN=AM，∠NAM=90°. ∴∠1+∠2=90°.

又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.

∴△NAE≌△MAB.∴NE=MB. 延长NE、BM交于点F.

由△NAE≌△MAB可得，∠AEN=∠ABM. ∴∠4=∠6.

∵∠5=∠6，∴∠4=∠5.

又∠EMF=∠BMC，∴∠EFB=∠C=90°. ∴BM⊥NE.

中考链接

18.（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm， ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm， ∴AD+CD+CB=12xkm，

∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；

（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：

10x12x1.解这个方程得x1.∴10x10. 408010答：市区公路的长为10km. 19.（1）略

（2）解：如下图所示，作BH⊥AD，CK⊥AD， 则有BC=HK，

∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°, ∴AB2BH2AH，

2CK2KD，

同理：CD∵S梯形ABCDADBC2HB，ABa，

∴S梯形ABCD22a22BC22a2a22aBC，

2而SABESDCF32a22aBC32a，∴2a， 424∴BC62a 2巅峰突破

20.(1)10； 33. （2）如下图(a)、（b）所示.

①∵△BEF与梯形ABCD等高，梯形ABCD的高DN3，

∴SBEF311x； BF33x，即y222②∵

LSL，k（k为常数），

BEBFyBEBF63kx33.∴k. 2x

∴kyS.∴∴0k6,0x4，k为整数，∴x1,2,3. 即BF的长为：1cm、2cm、3cm.

21.（1）略.

(2)解：如下图所示，延长CD和BE的延长线交于H，

∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°， ∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°， ∴∠EBF=∠ECH，

∵BE=CE，∠BEC=∠CEH，∴△BEG≌△CEH（ASA）， ∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB.∴∠GED=∠HED， ∵ED=ED，∴△GED≌△HED（SAS）， ∴DG=DH，∴BG=DG+CD， ∵DG=2cm，BG=6cm， ∴CD=BG－DG=4（cm）

第四节 线段中点的应用

基础演练

1. C； 2.C； 3.B； 4.C

5.如下图所示，连接CM，AM， ∵∠DAB=∠BCD=90°,M为BD中点， ∴CM=

1BD=AM.∴△AMC为等腰三角形. 2∵N为AC中点，∴MN⊥AC.

6.如下图所示，连接PR、PQ，∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°. ∵△MPS是等边三角形，

∴PS=PM，∠MPS=60°.

∵P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点， ∴PQ∥BC,PR∥AC. ∴PQ=PR.

1212∴

∴∠APQ=∠BPR=60°，∴∠RPQ=180°－2×60°=60°. 又∵∠QPS=∠MPS－∠MPQ=60°－∠MPQ， ∠RPM=∠RPQ－∠MPQ=60°－∠MPQ， ∴∠QPS=∠RPM.∴△PRM≌△PQS. ∴PM=QS.

7.△AGD是直角三角形

如下图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，

∵F是AD的中点， ∴HF∥AB，HE=

1AB.∴∠1=∠3. 21CD.∴∠2=∠EFC. 2同理，HE∥CD，HE=

∵AB=CD，∴HF=HE， ∴∠1=∠2，∵∠EFC=60°. ∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°. ∴△AGF是等边三角形.

∴AF=GF.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°. ∴∠AGD=90°.即△AGD是直角三角形.

能力提升

8.

122012 9.

39 10.∵点E、F分别是AD、AB的中点， ∴EF∥BD，∴EF=

1BD，∴∠FCD=∠CFE， 2在△ABC中，∠ACB=90°. ∵E是AD的中点，∴CE=

1AD. 2∵AD=BD，∴EF=CE.∴∠ECF=∠CFE.

∴∠FCD=∠ECF.即CF是∠ECB的平分线.

11.如下图所示，取AD中点G，连接EG、FG， ∵E是AC的中点，∴EG是△ACD的中位线. ∴EG=

11CD.同理可证：FG=AB. 221CDAB. 2在△EFG中，EFEGFG.∴EF

12.∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点， ∴FG∥BC，FE∥AC，FE=

1AC.∴FG∥ED. 2∵FE∥AC，DG与AC是相交的，

∴DG与EF不平行.∴四边形EFGD是梯形. ∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形. ∵DG是斜边上的中线，∴DG=

1AC. 2∴DG=EF.∴梯形EFGD是等腰梯形.

13.（1）如图（a）所示，连接CF，线段CF与FE之间数量关系是CE （2）（1）中的结论仍然成立.

如图（b）所示，连接CF，延长EF交CB于点G，

2FE；

①先送2根，再送4根，二次共走行驶：

10001002110040025200米；

②先送4根，再送2根，二次共行驶：

10003002130020025600米；

（2）两次各送3根时，所行路程为

10002002120030025400米.

故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：

100010021100400215004002

19004002230040019000米故所用最少油费为19000mn100019mn元

例6 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.点P到BC，CA，AB的距离分别为

1111d1,d2,d3，连接PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：5d112d213d3512.

2222即 5d112d213d360.显然有5d1d2d35d112d213d313d1d2d3.

故

60d1d2d312. 13d3取最大值时， 当d2d30时，有d1d2d312，即d1d2P与A重合；当d1d20时，有d1d2d3

60，即d1d2d3取最小值时，P与C重合. 13

A级 1.27 原式=3abc2.6

32390A2ABBC3.15° 提示： 66222abc227

270ABC69015 . 2c1c 提示：bac,acb，∴2ac,2，又把bac代入a2ac1c1.故2. a2a2bc中，得acc，∴

5.D 6.B 7.A 8.B 9.设

x12yz3k，则x2k1,y3k2,z4k3. 2342k1012∴x,y,z均为非负实数. ∴3k20，解得：k.

234k+30故3x4y5z32k143k254k314k26. ∴121142614k261426，即1935， 23313所以的最小值是19，最大值是35.

10.20套. 1800元.提示：设生产L型号的童装套数为x，则生产M型号的童装为50x套，所得利润S45x3050x15x1500.

0.5x0.950x38由

x0.250x26得17.5x20，x18,19,20.

11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为17952mm，图略. B级 1.27 当b2,a25时，ab的值最大. 2.102 提示：mn19n98,19n980. 3.1157 提示：a25b8bb,c,d. 85254.B，D，E 93.62百元

5.13800元 提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则

y5x6600x6800x9600x2x138000x6006.C 提示：

abcd

abcdabcdabcdabcdMabcd. ababcdcd故1M2.

7.B 提示：设SAODx，则SBOC8.（1）a1a2 m2363636132x25. .故S四边形ABCD13xxxxa200222m20122m.

a2002a12a22a1a2a2002201222.

当a1a2a20021或1时，m取最大值2003001.当a1,a2,,a2002中恰有1001个1，1001

个1时，m取最小值1001.

2（2）因为大于2002的最小完全平方数为452025，且a1a2a2002必为偶数，所以

a1a2a200246或46；即a1,a2,,a2002中恰有1024个1，978个1或1024个1，

978个1时，m取得最小值

1462200257. 2,a20062a200524a20054，以上各式相加，得

9.由条件得：a120,a22a124a14,4a1a2a1,a2,a200542005a200620，故a1a2a20052005.由已知

,a2005都是偶数，因此a1a2a20052004.另一方面，当

a1a3a20050，a2a4a20042时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的

最小值是2004.

10.仓库地址应选在C处，假定仓库另选一地O，设ABc,BCa,CAb,AOx,

BOy，COz（单位：千米），又假定A厂产量为2m，B厂产量为3m，C厂产量为5m，（单

位：吨）.仓库在O处的总运费可表示为2mx3my5mz；仓库在C处的

组无解，这种情况不可能；

若3c8，则S1，代入②、④得ab575710,b,ab2，解得a， 333而c8222，且abc. 3故这样的直角三角形存在，且只有一个.

10. 15 提示：将三△ADC，△ADB分别沿AC，AB折叠至△AEC，△AFB.延长FB，EC交于G，设AD=x，则AE=AF=x，FB=BD=3,易证:四边形AFGE为正方形，EC=DC=2. ∴BGCGBC，即x3x225.

22222解得：x6. ∴SABC1BCAD15 2

'11. EFBECF 提示：将△BAE绕A点旋转90°得CAE，连接EF，

222'则BAE≌CAE，EAF≌EAF.

12.（1）将△ACM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.

∵△DCM≌△ACM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A. 又∵CA=CB，∴CD=CB.

由∠DCN=∠MCN－∠DCM=45°－∠DCM，∠BCN=∠ACB－∠MCN－∠ACM=90°－45°－ ∠ACM =45°－∠ACM，得∠DCN=∠BCN，又CN=CN，

∴△CDN≌△CBN.∴DN=BN，∠CDN=∠B，∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.

''在Rt△MDN中，MNDMDN，即MNAMBN. （2）关系式仍成立，同理可证.

222222