05 第五节 克莱姆法则

分布图示

★ 引例

★ 齐次与非齐次线性方程组的概念 ★ 克莱姆法则

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 齐次线性方程组解的定理

★ 例4 ★ 例5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5

内容要点

n元线性方程组的概念

从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n元线性方程组的概念。 含有n个未知数x1,x2,,xn的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22x2a2nxnb2,an1x1an2x2annxnbn,(1)

称为n元线性方程组.当其右端的常数项b1,b2,,bn不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当b1,b2,,bn全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即

a11x1a12x2a1nxn0,a21x1a22x2a2nxn0,an1x1an2x2annxn0.(2)

线性方程组(1)的系数aij构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即 a11a21 Dan1a12a22an2a1na2n.

ann克莱姆法则

定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式D0, 则线性方程组(1)有唯一解,其解为

xjDjD(j1,2,,n) (3)

其中Dj(j1,2,,n)是把D中第j列元素a1j,a2j,,anj对应地换成常数项b1,b2,,bn,而其余各列保持不变所得到的行列式.

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.

克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.

定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式D0,则(1)一定 有解,且解是唯一的.

在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:

定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.

对齐次线性方程组(2), 易见x1x2xn0一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.

定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D0,则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式D0.

注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式D0,则齐次线性方程组(2)有非零解.

例题选讲

例1用克莱姆法则求解线性方程组：

2x13x25x325 x12x23x25x34235解 D120 035r1r3r1r3 12020222520,

35035200235D1520435225D21500452005420(2)2520, 35r1r2r12r2085105405150085404585560,

232D3125034由克莱姆法则,

r12r2018102354r1r21801820.

34034125 x1

DD1D1,x223,x331. DDD2x1x25x3x48,x13x26x49,例2 (E01) 用克莱姆法则解方程组 

2xx2x5,342x14x27x36x40.21511306r12r2解 D

0212r4r21476c12c2c32c20751375131306212

02127712077123301027.

727723538151285193061906D181, D2108,

52120512047610762181215813961309D327, D427,

0252021514061470x1D181D1083, x224, D27D27D327D271, x441. D27D27 x3

例3 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,3), 求系数a0,a1,a2,a3.

解 把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组

a0a1a2a33a2a4a8a40123, a3a9a27a31230a04a116a2a3311其系数行列式D1134而D133c1c211124812312112,

3927418100224224(1)36618

3618151248412481110c4c3248c3c22 3927c13c21615024 024618(3)36;

61831248类似地,计算得:

1311113114481248D218; D324;

1392713327131614311D4111132446;

3934163故由克莱姆法则,得唯一解

a03,a132,a22,a312, 即曲线方程为

y3

(1)x12x24x30例4 (E02) 问为何值时, 齐次方程组2x1(3)x2x30有非零解?

xx(1)x031231x2x2x3. 22解

12431D2111121310411(1)3(3)4(1)2(1)(3)

(1)32(1)23(2)(3),

齐次线性方程组有非零解，则D0,所以0, 2或3时齐次线性方程组有非零解.

xyzabc例5 设方程组 axbycza2b2c2

bcxcayabz3abc试问a,b,c满足什么条件时, 方程组有惟一解, 并求出惟一解.

1解 Da11bc bccaab00c1c2c2c30 ab01bcc

c(ba)a(cb)ab11c1(ab)c2(bc)1(ab)(bc)11c(ab)(bc)(ab)(bc)(ca)

cacaab显然,当a,b,c互不相等时,D0,该方程组有唯一解. 又

abcD1a2b2c23abc11bccaabc1bc2cc3a a21b1c abccaabc1a1 aa11bcaD. bccaab同理可得D2bD,D3cD,于是 xDD1Da,y2b,z3c. DDD

课堂练习

1. 如果下列齐次线性方程组有非零解, k应取何值?

kx1x40x12x2x40. (k2)xx4x01242x1x23x3kx40x1x22x33x40x12x23x3x402. 判定齐次线性方程组是否仅有零解.

3xxx2x034122x13x2x3x40