三角形辅助线

学生： 年级：九年级 科目：数学 地点：中海 时间：年 月 日 形式：单独 老师：

教学内容：三角形辅助线 课时安排： 2 学时 【知识要点】（按点列出） 1、与中点有关的辅助线作法 2、与角平分线有关的辅助线作法 【教学过程】：【复习、新授、训练（例题与训练中的基础、拓展、综合、链接部分必与知识点紧密联系）、小结、作业）】 与中点有关的辅助线常见五种模型： 模型一：中点+中点=中位线 例1．如图1，在四边形ABCD中，AB =CD，E、F 分别是BC、AD的中点，连结EF 并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N ，则∠BME = ∠CNE （不需证明）．（温馨提示：在图1 中，连结BD ，取BD的中点H ，连结HE、HF ，根据三角形中位线定理，证明HE = HF ，从而∠1 = ∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME = ∠CNE ．） 问题一：如图2，在四边形ADBC 中， AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E、F 分别是BC、AD的中点，连结EF ，分别交DC、AB 于点M、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论． *问题二：如图3，在△ABC 中， AC > AB ，D 点在AC 上， AB =CD ，E、F 分别是BC、AD的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC = 60°，连结GD ，判断△AGD的形状并证明． 模型二：倍长中线造全等 例2.已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 模型三：直角+中点，斜边中线等于斜边一半 例3.如图，在△ABC 中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G 是垂足，D、E 分别是BC、FG 的中点， 求证：DE⊥FG 模型四：等腰+中点，要用三线合一 例4．已知Rt△ABC 中，AB=BC，在Rt△ADE 中，AD=DE，连结EC，取EC 中点M，连结DM 和BM， （1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，求证：BM=DM 且BM⊥DM； *（2）如图①中的△ADE 绕点A 逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成 立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明． 模型五：已知中点且结论为比例式时，常过中点作平行线 *例5.过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F、E． 求证：AE：ED＝2AF：FB 与角平分线有关的常考三种模型 模型一：角平分线+平行线=等腰三角形 例6．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论． A 模型二：垂直于角平分线的线段应延长可得等腰 例7．如图所示，在ΔABC中，AB = AC ，∠BAC = 90°，BE 平分∠ABC ，交AC 于D ， 12CE ⊥ BE 于E 点，求证：CE =BD． 模型三：角平分线定理（到角两边距离相等） 例8．如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE． 【同步训练】 1.如图，已知矩形ABCD 中，AB=4cm，AD=10cm，点P 在边BC 上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC 的中点. ⑴求证：EF+GH=5cm； ⑵求当∠APD=90o 时，GHEF的值． *2．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F，且AF＝EF．求证：BE＝AC *3．已知Rt△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，D 为AB 边的中点，∠EDF = 90° ，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥ AC 于E 时（如图1），易证S△DEF+ S△CEF = 12S△ABC．当∠EDF 绕D 点旋转到DE和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立， S△DEF 、S△CEF 、S△ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 4．如图，ΔABC 中，AD是高，CE 为中线，DG ⊥ CE ，G 为垂足，DC=BE. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B = 2∠BCE . *5．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE⊥BC，垂足为E，交CA 的延长线于点D．若EF =3，BE =4，∠C =45°，则DF：FE 的值为 . 6．如图,在RtΔABC中, ∠ACB = 90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ,过点C 作CE ⊥ AD于E , CE 的延长线交AB 于点F , 过点E 作EG //BC 交AB 于G , AE ⋅AD =16 , AB = 45. （1）求证: CE = EF ； （2）求EG 的长. 【知识小结】（我来尝试小结，最后再请老师书面小结） 【作业】（我可下攻下此题！） 1.（深圳2003年12分）如图，已知△ABC，∠ACB=90º，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45º， （1）求证：△ACF∽△BEC （8分） （2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S （4分） （3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明． C 【学习后记】（对我在学习过程中的反应、吸收、优缺点进行反思）

E A F B