..........
2016-2017学年上海市虹口区高一（上）期末
数学试卷
一、填空题（本大题满分30分，共10题）
1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B= ． 2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是 ． 3．（3分）不等式
＞4的解集是 ．
4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为 ．
5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是 ．
6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 ．
7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是 ．
8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为 ． 9．（3分）已知函数f（x）=10．（3分）设（fx）=log（﹣22+|x|）
，若f（f（a））=2，则实数a的值为 ． ，则使得（fx﹣1）＞（f2x）成立的x取值范围是 ．
11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论： ①函数y=h（x）的图象关于原点对称； ②函数y=h（x）为偶函数；
③函数y=h（x）的最小值为0； ④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数
其中，正确结论的序号为 ．（将你认为正确结论的序号都填上）
二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）
12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁UB）=（ ）
A．{1，2，3，4，5，6}
B．{1，3，5} C．{2，4，6} D．∅
..........
..........
13．（4分）设x∈R，则“x＜﹣2”是“x2+x≥0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y=|x|
B．y=（）x
C．y= D．y=﹣x3
15．（4分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=6，则+的最大值为（ ） A． B． C．1
D．2
16．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=（x0））∈M，则x0的取值范围为（ ） A．（0，] B．[0，] C．（，] D．（，） 17．设f（x）=5|x|﹣A．（﹣1，﹣）
三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）
．若x0∈M且f（f
，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（ ）
C．（﹣1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）
B．（﹣3，﹣1）
18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁UA）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．
19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；
（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2． 20．（10分）已知函数f（x）=log2||x|﹣1|． （1）作出函数f（x）的大致图象；
（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点． 21．已知f（x）=|x|（2﹣x）
（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；
（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．
22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、
（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；
..........
..........
（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．
23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称． （1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；
（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值； （3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）． 24．已知函数f（x）=b+logax（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）． （1）求f（x）的解析式；
（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；
（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．
四、附加题
25．设函数φ（x）=a2x﹣ax（a＞0，a≠1）． （1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值； （2）当a=
时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数
m的取值范围．
..........
..........
2016-2017学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、填空题（本大题满分30分，共10题）
1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B= {0，2} ． 【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2}， B={x|x2=2x}={0，2}， ∴A∩B={0，2}． 故答案为：{0，2}．
2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是 [2，4] ． 【解答】解：∵|x﹣3|≤1， ∴﹣1≤x﹣3≤1， 解得：2≤x≤4， 故答案为：[2，4]．
3．（3分）不等式【解答】解：∵∴即
＞4的解集是 （2，12） ． ＞4，
＞0，
＜0，解得：2＜x＜12，
故答案为：（2，12）．
4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为 1 ．
【解答】解：f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），
∵函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），原函数与反函数的图象关于y=x对称 ∴f（x）=3x+a的图象经过（1，4）， 即3+a=4， 解得：a=1．
..........
..........
故答案为：1．
5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是 若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7” ．
【解答】解：命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是“若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”，
故答案为：若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”
6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 k≤﹣1 ．
【解答】解：∵p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件， ∴（﹣1，3]⊆[2k﹣1，﹣3k]， ∴
，解得：k≤﹣1，
故答案为：k≤﹣1．
7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是 （﹣2，0）∪（0，2） ．
【解答】解：函数y=f（x）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增 ∴函数y=f（x）在R上单调递增，且f（0）=0 ∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0． ∴当x＜﹣2时，f（x）＜0， 当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0， 当0＜x＜2时，f（x）＜0， 当x＞2时，f（x）＞0， 那么：xf（x）＜0，即∴得：﹣2＜x＜0或0＜x＜2． 故答案为（﹣2，0）∪（0，2）．
8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为 a=0或a＞4 ． 【解答】解：函数g（x）=|x2﹣4|的图象如图所示， ∵函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，
..........
或，
..........
∴a=0或a＞4．
故答案为：a=0或a＞4．
9．（3分）已知函数f（x）=16 ．
【解答】解：由f（x）=
，f（f（a））=2，
，若f（f（a））=2，则实数a的值为 ﹣，，
当log2a≤0时，即0＜a≤1时，（log2a）2+1=2， 即（log2a）2=1， 解得a=，
当log2a＞0时，即a＞1时，log2（log2a）=2， 解得a=16，
因为a2+1＞0，log2（a2+1）=2，即a2+1=4 解得a=
（舍去），或﹣
，
综上所述a的值为﹣故答案为：﹣
，，16，
，，16，
10．（3分）设f（x）=log2（2+|x|）﹣（﹣1，） ．
，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是
..........
..........
【解答】解：函数f（x）=log2（2+|x|）﹣当x≥0时，y=log2（2+x），y=﹣增函数，
，是偶函数，
，x≥0是
都是增函数，所以f（x）=log2（2+x）﹣
f（x﹣1）＞f（2x），可得|x﹣1|＞|2x|，可得3x2+2x﹣1＜0，解得x∈（﹣1，）． 故答案为：（﹣1，）．
11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论： ①函数y=h（x）的图象关于原点对称； ②函数y=h（x）为偶函数；
③函数y=h（x）的最小值为0； ④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数
其中，正确结论的序号为 ②③④ ．（将你认为正确结论的序号都填上）
【解答】解：∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称， ∴g（x）=
，
，
∴h（x）=g（1﹣x2）=故h（﹣x）=h（x），
即函数为偶函数，函数图象关于y轴对称， 故①错误；②正确；
当x=0时，函数取最小值0，故③正确；
当x∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h（x）在（0，1）上为增函数，故④正确； 故答案为：②③④
二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）
12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁UB）=（ ）
A．{1，2，3，4，5，6}
B．{1，3，5} C．{2，4，6} D．∅
..........
..........
【解答】解：全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}={1，2，3，4，5，6} B={x=2k﹣1，k∈Z}， ∴∁uB={x=2k，k∈Z}， ∴A∩（∁uB）={2，4，6}， 故选：C．
13．（4分）设x∈R，则“x＜﹣2”是“x2+x≥0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“x2+x≥0”，解得：x＞0或x＜﹣1， 故x＜﹣2”是“x＞0或x＜﹣1“的充分不必要条件， 故选：A．
14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y=|x|
B．y=（）x
C．y= D．y=﹣x3
【解答】解：对于A：y=f（x）=|x|，则f（﹣x）=|﹣x|=|x|是偶函数． 对于B：对于C：
，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．
定义为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定义域内不连续，承载断点，∴在（﹣∞，
0）和在（0，+∞）是减函数．
对于D：y=f（x）=﹣x3，则f（﹣x）=x3=﹣f（x）是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数． 故选D．
15．（4分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=6，则+的最大值为（ ） A． B． C．1
D．2
【解答】解：设x，y∈R，a＞1，b＞1，ax=by=3，a+b=6， ∴x=loga3，y=logb3，
∴+=log3a+log3b=log3ab≤log3（故选：D
..........
）=2，当且仅当a=b=3时取等号，
..........
16．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=（x0））∈M，则x0的取值范围为（ ） A．（0，] B．[0，] C．（，] D．（，） 【解答】解：∵0≤x0＜， ∴f（x0））∈[，1]⊆N，
∴f（f（x0））=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）， ∵f（f（x0））∈M， ∴0≤2（﹣x0）＜， ∴＜x0≤ ∵0≤x0＜， ∴＜x0＜ 故选：D
17．设f（x）=5|x|﹣A．（﹣1，﹣）
，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（ ）
C．（﹣1，+∞） ，
=f（x）为偶函数，
D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）
．若x0∈M且f（f
B．（﹣3，﹣1）
【解答】解：函数f（x）=5|x|﹣则f（﹣x）=5|﹣x|﹣∵y1=5|x|是增函数，y2=﹣故函数f（x）是增函数．
=5|x|﹣
也是增函数，
那么：f（2x+1）＞f（x）等价于：|2x+1|＞|x|， 解得：x＜﹣1或
使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（
..........
，+∞）．
..........
故选D．
三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）
18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁UA）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．
【解答】解：集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}， ∴1+p+1=0，解得p=﹣2； 又1+q+r=0，① （∁UA）∩B={﹣2}， ∴4﹣2q+r=0，②
由①②组成方程组解得q=1，r=﹣2； ∴实数p=﹣2，q=1，r=﹣2．
19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；
（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2． 【解答】解：（1）不等式：3≤x2﹣2x＜8， 即：
，解得：
，即x∈（﹣2，﹣1]∪[3，4）．（2）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2 =a2d2+b2c2﹣2abcd =（ad﹣bc）2≥0
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．
20．（10分）已知函数f（x）=log2||x|﹣1|． （1）作出函数f（x）的大致图象；
（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点．
【解答】解：函数f（x）=log2||x|﹣1|的定义域为：{x|x≠±1，x∈R}．
函数
f（x）=log2||x|﹣1|=，x=0时..........
f（x）=0，
..........
函数的图象如图：
（2）函数是偶函数，单调增区间（﹣1，0），（1，+∞）；单调减区间为：（﹣∞，﹣1），（0，1）； 零点为：0，﹣2，2．
21．已知f（x）=|x|（2﹣x）
（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；
（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）=|x|（2﹣x）=
，函数的图象如图：
函数的单调增区间（0，1），单调减区间（﹣∞，0），（1，+∞）． （2）函数f（x）=c恰有三个不同的解，函数在x=1时取得极大值：1， 实数c的取值范围（0，1）．
22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、
（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域； （2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．
..........
..........
【解答】解：（1）AB=2OA=2∴y=f（x）=2x
=2，
，x∈（0，40）．
=16002，即y≤1600，当且仅当x=20
时取等
（2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×号．
∴截取AD=20
时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．
23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称． （1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；
（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值； （3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称， ∴g（x）=
，
∵f（g（x））=6﹣x2， ∴
=6﹣x2=x，
即x2+x﹣6=0，
解得x=2或x=﹣3（舍去）， 故x=2，
（2）y=g（f（x2））=
=x2，
∵定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，
，
解得m=0，n=2， （3）令t=（）x，
..........
..........
∵x∈[﹣1，1]， ∴t∈[，2]，
则y=[f（x）]2﹣2af（x）+3等价为y=m（t）=t2﹣2at+3， 对称轴为t=a，
当a＜时，函数的最小值为h（a）=m（）=
﹣a；
当≤a≤2时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3﹣a2； 当a＞2时，函数的最小值为h（a）=m（2）=7﹣4a；
故h（a）=
24．已知函数f（x）=b+logax（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）． （1）求f（x）的解析式；
（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；
（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值． 【解答】解：（1）由已知得，b+loga8=2，b+loga1=﹣1，（a＞0且a≠1）， 解得a=2，b=﹣1；
故f（x）=log2x﹣1（x＞0）；
（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3， ∴log2x﹣1=0或3， ∴x=2或16；
（3）g（x）=2f（x+1）﹣f（x）
=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x++2）﹣1≥1， 当且仅当x=，即x=1时，等号成立）． 于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．
四、附加题
25．设函数φ（x）=a2x﹣ax（a＞0，a≠1）． （1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；
..........
..........
（2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数
m的取值范围．
【解答】解：（1）∵φ（x）=a2x﹣ax=（ax﹣）2﹣（a＞0，a≠1），x∈[﹣2，2]， ∴当a＞1时，φmax（x）=φ（2）=a4﹣a2； 当0＜a＜1时，φmax（x）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2； ∴φmax（x）=（2）当a=
时，φ（x）=2x﹣（
． ）x， ）4﹣（
）2=4﹣2=2，
由（1）知，φmax（x）=φ（2）=（
∴φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立
⇔∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，即∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立， 令g（m）=﹣2tm+t2，则
，即
，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．
∴实数m的取值范围为：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．
..........
