江苏省盐城市2018-2019学年高二下学期期末考试 数学(附答案)

2018/2019学年度第二学期高二年级期终考试

数 学 试 题

1n1n2方差公式：样本数据x1,x2,,xn的方差s(xix)，其中xxi.

ni1ni12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知复数z11i，z22ai（其中i为虚数单位），若z1z2为实数，则实数a的值为 . 2．已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为

1，则数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为 . 2 开始 k←0 S←0 S←S＋3k k←k＋1 S＞15 3．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培 训活动，则2名男教师去参加培训的概率是 . 4．若命题“x[0,3]，使得xax30成立”是假命题，则实数a的取值 范围是 . 5．执行如图所示的流程图，则输出k的值为 . 2x0,y06．已知实数x,y满足xy10，则2y3x的最大值为 . 3xy607．若双曲线C:N xy1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y24x的准 22ab22 Y 输出k 结束 （第5题）

线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为 . 222x2y28．已知圆：xyr的面积为r，类似的，椭圆：221(ab0)的面积为 .

ab29．（理科学生做）5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有 种.（结果用数值表示）

（文科学生做）已知函数y2sin(2x)(0则的值为 ．

2)的一条对称轴为x6，

110．(理科学生做）在x的二项展开式中，常数项为 .（结果用数值表示）

x（文科学生做）若函数f(x)3a(a0且a1)是偶函数，则函数f(x)的值域为 . xx611．已知函数f(x)x(a2)xalnx，则“a0”是“函数f(x)有且仅有一个极值点”的

条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

2

12．设A,B分别为椭圆C:xy1(ab0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2,1)，当22ab22线段AB长最小时椭圆C的离心率为 . 13．若x,y为正实数，则

32xy的最大值为 .

2x2y21814．已知函数f(x)ax9x(x[1,2])的最大值为4，则实数a的值为 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤． 15．（理科学生做）（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为菱形，

AC8,BD6，O为对角线AC与BD的交点，PO底面ABCD且PO4. （1）求异面直线PA与BC所成角的余弦值；

（2）求平面APC与平面PCB所成锐二面角的余弦值.

（文科学生做）（本小题满分14分）设命题p：函数f(x)题q：x[0,P P A P O P 题 第15

D P C P B P 1312xmx在[1,0]是减函数；命322]，都有sinxm1成立.

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围.

16．（理科学生做）（本小题满分14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元

的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；若两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励. （1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；

（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期望．

（文科学生做）（本小题满分14分）设函数f(x)cos(2x). （1）若函数f(x)为奇函数，(0,)，求的值；

1,f(),(0,)，求f()的值. 323217．（理科学生做）（本小题满分14分）已知数列an各项均为正数，满足

（2）若



(n1)an1323n3.

2（1）求a1,a2,a3的值；

（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

（文科学生做）（本小题满分14分）设f(x)kxcosx(2k1)x，xR.

22（1）证明：对任意实数k，函数f(x)都不是奇函数； （2）当k1时，求函数f(x)的单调递增区间. 2 18．（本小题满分16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A,B两个村庄（村庄视为岸边上A,B两

点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽QH为

0.05km，通过测量可知，PAB与PBA的正切值之比为1:3.当地为方便村民出行，拟

在小河上建一座桥MN（M,N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A,B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次.设PMQ.（小河河岸视为两条平行直线）

（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示L； （2）试确定的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求.

P MNQH第18题 A B x2y2y2x21与椭圆C2:21(0m2)的离19．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C1:422m心率相同.

(1)求m的值；

之间）.

①求OPQ面积的最大值（O为坐标原点）；

(2)过椭圆C1的左顶点A作直线l，交椭圆C1于另一点B，交椭圆C2于P,Q两点（点P在A,Q

②设PQ的中点为M，椭圆C1的右顶点为C，直线OM与直线BC的交点为R，试探究点

R是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

20．（本小题满分16分）已知函数f(x)R y B P A M O Q C x 第19题 1(xa)2blnx,a,bR. 2(1)当a0,b1时，求函数f(x)在(0,)上的最小值；

(2)若函数f(x)在x1与x2处的切线互相垂直，求b的取值范围； (3)设b1，若函数f(x)有两个极值点x1,x2，且x1x2，求

f(x2)的取值范围． x12018/2019学年度第二学期高二年级期终考试

数学参

一．填空题 1.2 2.2 3.

1 4.a23 5.4 6.2 7. 5 8.ab 9.(理）72（文） 36

10.（理）20（文）[2,) 11.充分不必要 12.二．解答题 15.（理科）

26 13. 14.5 212 因为底面为菱形，ACBD，PO底面ABCD，AO,BO底面ABCD， 所以POAO,POBO，以OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 （如图所示），则P(0,0,4),A(4,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0)……………………………2分 （1）设为直线PA,BC所成的角， ， PA(4,0,4),BC(4，3,0）cosPABC|PA||BC|=25， 525………………………………………6分 5所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为

（2）因为BO平面APC，所以平面APC的法向量取n1(0,1,0)，………………8分 设平面PCB的法向量为n2(x,y,z)，PB(0,3,4),BC(4，， 3,0）则由n2PB0,n2BC0， 即3y4z0，取n2(3,4,3)，…………………………………………………12分

4x3y0n1n2|n1||n2|234， 17设为两个平面所成的锐二面角的平面角，则cos所以平面APC与平面PCB所成锐二面角的余弦值为

(文科)

(1) p为真：因为函数f(x)234………………………14分 171312xmx在[1,0]是减函数， 322所以f(x)xmx0在x[1,0]上恒成立，………………………………………2分

所以f(1)0，所以m1……………………………………………………………4分

f(0)0恒成立， 2(2)q为真：因为sinxm1对x0,所以1sinxm1对x0,因为msinxm1m，

恒成立， 21m1所以即0m1，………………………………………………………………8分

m1当p真q假即m1，

m0或m1所以m1………………………………………………………………………………10分 当q真p假即0m1且m1，

所以0m1……………………………………………………………………………12分 综上0m1或m1……………………………………………………………14分

16.（理科）解：（1）记一名顾客摸球中奖20元为事件A，

2C21则P(A)2.………………………………………………………………………2分

C510（2）记一名顾客摸球中奖10元为事件B，不中奖为事件C，

C3236则P(B)2，P(C)1P(A)P(B)，…………………………………4分

10C510所以P(X0)P(C)P(C)36， 10036， P(X10)2P(B)P(C)100P(X20)P(B)P(B)2P(A)P(C)P(X30)2P(A)P(B)21， 1006， 1001P(X40)P(A)P(A)，…………………………………12分

1000 10 20 30 40

X 362116 10010010010036362161所以E(X)01020304010…………………14分

100100100100100p （文科）解：（1）因为函数f(x)为奇函数， 所以f(0)cos0， 又(0,)，所以当36 100

2，………………………………………………………………2分

2时，f(x)cos(2x2)sin2x是奇函数，

所以（2） 因为2.………………………………………………………………………………4分

3，f()211，所以cos()， 333又， （0，）2所以2252，sin()1cos()，…………………6分 （，）333336所以sin2(3)2sin(3)cos(3)42， 9cos2(3)cos2(3)sin2(12227)()2()……………10分 3339所以f()cos(2)cos[2()]……………………………………12分

333所以f()cos2(3)cos71423467sin2()sin. 333929218………………14分

17（理）解：（1）当n1时，13(当n2时，12(33a122)，又an0，所以a11， 2

a232)，解得a22， 2a42333当n3时，123(3)，解得a33.………………………………2分

2

(2)猜想：ann.……………………………………………………………………4分 证明：（1）当n1时，由（1）可知结论成立；………………………………6分 （2）假设当nk时，结论成立，即akk成立，………………………8分 则nk1时，

由1323a(k1)33k3k与1222232a(k2)(k1)3k1，

2222a(k2)ak(k1)ak1(k2)k(k1)所以(k1)k1， 22222232222所以ak1(k2)4(k1)k(k1)(k1)(4k4k)，

又an0，ak1k1成立，…………………………………………12分 根据（1）、（2）猜想成立.………………………………………………14分 （文）证明：（1）假设函数f(x)为奇函数，则f(0)0，

这与f(0)k0cos0(2k1)01矛盾，

所以函数f(x)不可能是奇函数.…………………………4分 解：（2）当k2112时，f(x)xcosx， 22所以f(x)xsinx，f(x)1cosx0， 所以f(x)在R单调递增，………………………10分 又f(0)0，

所以不等式f(x)0的解集为(0,)，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,).…………………………14分

18.解：（1）因PAB与PBA的正切值之比为1:3，

PHPH:1:3，所以PA:PB3:1，即PA6,PB2，……………2分 PAPB22因PQ2，所以PM，MQ，…………………………………4分

sintan所以

所以L1000(ANMNMP)500(BNMNMP)，

22220.05)500m(20.05)， tansintansin31化简得L7075m1000m()，(0,).……………………………7分

sintan23cos（2）由（1）知L7075m1000m()，

sin(3cos)sin(3cos)(sin)所以L1000m，

sin213cos化简得L1000m， 2sin1由L0，得cos，……………………………………………………………10分

31令cos0，且0(0,)，

3211当(0,0)时，cos，L0；当(0,)时，cos，L0；

323所以L1000m(6所以函数L()在(0,0)上单调递减；在(0,2)上单调递增；

1时，符合建桥要求，……………14分 3所以0时函数L()取最小值，即当cos答：（1）L7075m1000m(（2）当cos

2231)，(0,)； sintan21时，符合建桥要求.……………………………………………16分 319.(1) 椭圆C1中a12,b12，又a1b1c1， 所以c122，离心率e1c12………………………………………………2分 a12222又椭圆C2中a22,b2m，又a2b2c2， 所以c22m2，

c222m2=，又因为0m2， e2a222所以m1………………………………………………………4分 （2）当直线AB与x轴重合时，O,P,Q三点共线，不符合题意 故设直线AB的方程为：xmy2且m0 设P(x1,y1),Q(x2,y2)

y2x21 由(1)知椭圆C2的方程为：2联立方程消去x得y2(my2)20即(12m)y8my60

2222解得y1,2又Sm4m26m（）

12m22POQSAOQSAOP1AOy1y2 224m26 …………………………………………8分 212m令12mt4

2124m2622t82t81222此时………………10分 t28()22812mtttt28m4所以 xx122212m12m24m所以M(,) 2212m12m(3)由(2)知y1y2所以直线OM的斜率kOM2m

直线OM的方程为y2mx…………………………………12分

x2y2122联立方程4消去x得(m2)y4my0 2xmy2得yB4m

m22

4m22m2422所以xB2

m2m24m2m2m…………………………………14分 所以kBC2m2422m22m则直线BC的方程为y(x2)

2y2mx24m联立直线AB和BC的方程解得点坐标为(,) Rm33y(x2)2所以点R在定直线x

20. 解：

（1）当a0,b1时，f(x)2上运动.……………………………………16分 312xlnxx(0,)， 21x21f(x)x，由f(x)0得x1，

xx所以函数f(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1,)单调递增，

1…………………………………………………………………3分 2b（2）由函数f(x)得f(x)xa

xf(x)minf(1)因为函数f(x)在x1与x2处的切线互相垂直，所以f(1)f(2)1

即(1ab)(2a)1，…………………………………………………………5分

b2125bb30， 2231252该关于a的方程有解，所以(b3)4(bb3)0，

222法一. 展开整理得a(b3)a232即b4b120，

2所以b2或b6，…………………………………………………………………………9分 法二. 由(1ab)(2a)1，……………………………………………………5分 即(1ab)(2a)1，

b2b2

bb(1ab)(2a)1b22， 所以1(1ab)(2a)222即(b2)16，所以b2或b6……………………………………………………9分

2221x2ax1（3）当b1时，f(x)xa，

xx所以x1,x2是方程xax10的两根，从而x1x2a,x1x21，………………10分 因为x1x2且x10,x20， 所以x21，ax221， x21(x2a)2lnx2f(x2)21x2lnx2，…………………………………………12分

1x12x2x2记g(x)1xlnx(x1) 2x11lnx1(1,)在单调递增，所以g(x)g(1)0， 2222x2因为g(x)1xlnx在(1,)单调递增， 2x1所以g(x)g(1)……………………………………………………14分

21又因为g(x)xlnxxlnxlnx，

2x从而g(x)所以

f(x2)1的取值范围为(,)……………………………………………………16分 x12