四川省广元市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)

四川省广元市2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.计算 |−3|−(−2) 的最后结果是（ ）

A. 1 B. −1 C. 5 D. −5 【答案】 C

【考点】绝对值及有理数的绝对值，有理数的减法 【解析】【解答】解：原式 =3+2=5 ， 故答案为：C.

【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数以及减去一个数等于加上它的相反数可计算.

2.下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】 C

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，

D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故答案为：C.

【分析】由轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形;中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形可得结果. 3.下列运算正确的是（ ）

A. (𝑎−2)2=𝑎2−4 B. (𝑎+3)(𝑎−3)=𝑎2−9 C. −2(3𝑎+1)=−6𝑎−1 D. (𝑎+𝑏)(𝑎−2𝑏)=𝑎2−2𝑏2

1

1

【答案】 B

【考点】多项式乘多项式，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，去括号法则及应用 【解析】【解答】解：A. (𝑎−2)2=𝑎2−𝑎+4 ，原选项计算错误，不合题意； B. (𝑎+3)(𝑎−3)=𝑎2−9 ，原选项计算正确，符合题意； C. −2(3𝑎+1)=−6𝑎−2 ，原选项计算错误，不合题意；

D. (𝑎+𝑏)(𝑎−2𝑏)=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑎𝑏−2𝑏2=𝑎2−𝑎𝑏−2𝑏2 ，原选项计算错误，不合题意. 故答案为：B

【分析】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2 ， 平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2以及去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内的各项符号不变；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内的各项符号与原来的符号相反和多项式×多项式：用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加可得结果.

4.一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】 B

【考点】平均数及其计算，中位数，方差，众数 【解析】【解答】解：A、原来数据的平均数是 所以平均数发生了变化，故A不符合题意；

B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B与要求相符； C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C与要求不符； D、原来数据的方差= 4[(1−2)2+(2−2)2+(2−2)2+(3−2)2]=2 ， 添加数字3后的方差= 5[(1−

1

112)5

1

1

1+2+2+3

4

1

1

= 2，添加数字3后平均数为

1+2+2+3+3

5

=

115

，

+(2−

112

)5

+(2−

112

)5

+(3−

112112

)(3−)]+55

=

145

，故方差发生了变

化，故答案为：D不符合题意. 故答案为：B.

【分析】分别计算平均数、中位数、众数、方差，比较即可. 5.下列命题中，真命题是（ ） A. 2𝑥−1=2𝑥

B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形

D. 已知抛物线 𝑦=𝑥2−4𝑥−5 ，当 −1<𝑥<5 时， 𝑦<0 【答案】 D

【考点】负整数指数幂的运算性质，菱形的判定，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，真命题与假命题 【解析】【解答】解：A、 2𝑥−1=𝑥 ，错误，故不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意； C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；

2

1

D、由抛物线 𝑦=𝑥2−4𝑥−5 可得与x轴的交点坐标为 (−1,0),(5,0) ，开口向上，然后可得当 −1<𝑥<5 时， 𝑦<0 ，正确，故符合题意； 故答案为：D.

【分析】由负整数指数幂计算：底变倒，指变反；菱形的判定以及抛物线的性质可得判断. 6.观察下列作图痕迹，所作线段 𝐶𝐷 为 △𝐴𝐵𝐶 的角平分线的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】 C

【考点】作图-角的平分线

【解析】【解答】解：A：所作线段为AB边上的高，选项错误； B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误； C：CD为 ∠𝐴𝐶𝐵 的角平分线，满足题意。 D：所作线段为AB边上的高，选项错误 故答案为：C.

【分析】根据角平分线的画法可得结果.

7.如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）

A. 4 B. √2 C. 2 D. 1

4

𝜋1

【答案】 B

【考点】圆周角定理，扇形面积的计算，圆锥的计算，等腰直角三角形 【解析】【解答】解：如下图：

连接BC，AO， ∵ ∠𝐵𝐴𝐶=90∘ ， ∴BC是直径，且BC=2， 又∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶 ，

∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45∘ ， 𝐴𝑂⊥𝐵𝐶, 又∵ sin45°=𝐴𝐵 ， 𝑂𝐴=2𝐵𝐶=1 ， ∴ 𝐴𝐵=sin45°=1×√2=√2 ， ⌢ 的长度为： ∴ 𝐵𝐶

×𝜋×√2=180

290

√2𝜋 2

𝑂𝐴

2𝑂𝐴

1

，

∴围成的底面圆周长为 √𝜋 ，

2设圆锥的底面圆的半径为r， 则： 2𝜋𝑟=√𝜋 ，

2∴ 𝑟=√2𝜋×

2

√2 2𝜋=412.

故答案为：B

【分析】连接BC，AO，由∠A=90°可得BC经过圆心O，由勾股定理可得AB的长度，根据扇形的弧长=底面圆周长可得底面圆半径.

8.将二次函数 𝑦=−𝑥2+2𝑥+3 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线 𝑦=𝑥+𝑏 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）

A. −4 或 −3 B. −4 或 −3 C. 4 或 −3 D. 4 或 −3 【答案】 A

【考点】二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【解答】解：由 𝑦=−𝑥2+2𝑥+3 知，当 𝑦=0 时，即

−𝑥2+2𝑥+3=0

解得： 𝑥1=−1,𝑥2=3

∴𝐴(−1,0),𝐵(3,0)

作函数 𝑦=𝑥 的图象并平移至过点B时，恰与所给图象有三个交点，此时有：

0=3+𝑏 ∴𝑏=−3

平移图象至过点C时，恰与所给图象有三个交点，即当 −1≤𝑥≤3 时，只有一个交点 当 −1≤𝑥≤3 的函数图象由 𝑦=−𝑥2+2𝑥+3 的图象关于x轴对称得到

21132113

∴ 当 −1≤𝑥≤3 时对应的解析式为 𝑦=𝑥2−2𝑥−3 即 {

𝑦=𝑥+𝑏

𝑦=𝑥2−2𝑥−3

，整理得： 𝑥2−3𝑥−3−𝑏=0

∴𝛥=(−3)2−4×1×(−3−𝑏)=21+4𝑏=0

∴𝑏=−

21 4综上所述 𝑏=−3 或 −4 故答案是：A.

【分析】令y=0可得抛物线与x轴的两个交点，分类讨论当直线 𝑦=𝑥+𝑏 刚好过点B已知直线 𝑦=𝑥+𝑏 与抛物线相切时满足条件可得结果.

9.如图，在边长为2的正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐸 是以 𝐵𝐶 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）

21

A.

3+𝜋2

B. 𝜋−2 C. 1 D.

5−𝜋2

【答案】 D

【考点】勾股定理，扇形面积的计算，切线长定理

【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°， ∵ 𝐴𝐸 是以 𝐵𝐶 为直径的半圆的切线， ∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°， ∴AB=AF=2，CE=CF， ∵OA=OA，

∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL）， 同理可证△OCE≌△OFE，

∴ ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐹,∠𝐶𝑂𝐸=∠𝐹𝑂𝐸 ，

∴ ∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐶𝑂𝐸=90°=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐵𝐴𝑂 ， ∴ ∠𝐶𝑂𝐸=∠𝐵𝐴𝑂 ， ∴ △𝐴𝐵𝑂∽△𝑂𝐶𝐸 ， ∴ 𝐴𝐵=𝑂𝐵 ， ∴ 𝐶𝐸=2 ，

∴ 𝑆阴影=𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐸−𝑆半圆=2𝑆△𝐴𝐵𝑂+2𝑆△𝑂𝐶𝐸−𝑆半圆=2+2−2=故答案为：D.

【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.

10.如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶=4 ，点D是 𝐵𝐶 边的中点，点P是 𝐴𝐶 边上一 个动点，连接 𝑃𝐷 ，以 𝑃𝐷 为边在 𝑃𝐷 的下方作等边三角形 𝑃𝐷𝑄 ，连接 𝐶𝑄 .则 𝐶𝑄 的最小值是（ ）

1

𝜋

5−𝜋2

1

𝑂𝐶

𝐶𝐸

；

A. √ B. 1 C. √2 D. 2 2【答案】 B

【考点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，三角形全等的判定（SAS） 【解析】【解答】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：

33

∵ △𝑃𝐷𝑄 是等边三角形，

∴ ∠𝐶𝐸𝐷=∠𝑃𝐷𝑄=∠𝐶𝐷𝐸=60°,𝑃𝐷=𝑄𝐷,𝐶𝐷=𝐸𝐷 ， ∵∠CDQ是公共角， ∴∠PDC=∠QDE， ∴△PCD≌△QED（SAS），

∵ ∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶=4 ，点D是 𝐵𝐶 边的中点， ∴∠PCD=∠QED=90°， 𝐶𝐷=𝐷𝐸=𝐶𝐸=2𝐵𝐶=2 ， ∴点Q是在QE所在直线上运动， ∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值， ∴ ∠𝑄𝐸𝐶=90°−∠𝐶𝐸𝐷=30° ， ∴ 𝐶𝑄=2𝐶𝐸=1 ； 故答案为：B.

1

1

【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由等边三角形的性质易证△PCD≌△QED，可得∠PCD=∠QED=90°，当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，可得∠𝑄𝐸𝐶=90°−∠𝐶𝐸𝐷=30° ， 可得结果.

二、填空题（共6题；共6分）

11.16的算术平方根是________． 【答案】 4

【考点】算术平方根 【解析】【解答】解：∵42=16， ∴ √16 =4． 故答案为：4．

【分析】本题考查的是算术平方根的定义，根据算术平方根的定义即可求出答案．

12.中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失.袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献.截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤.将20亿这个数据用科学记数法表示为________. 【答案】 2×109

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解： 20×108=2×109 故答案为： 2×109 .

【分析】 用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.

13.如图，实数 −√5 ， √15 ，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D.若m为整数，则m的值为________.

【答案】 -3

【考点】估算无理数的大小，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为 √15 ， ∴点D表示的数为 −√15 ，

∵A点表示 −√5 ，C点位于A、D两点之间， ∴ −√15<𝑚<−√5 ， ∵m为整数， ∴ 𝑚=−3 ； 故答案为： −3 .

【分析】根据点B关于原点O的对称点为D可得点D表示的数，根据点C在A、D两点之间，估计无理数的大小可得整数的值.

14.如图，在 4×4 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 ⊙𝑂 上，点E是线段 𝐶𝐷 与 ⊙𝑂 的交点.则 ∠𝐵𝐴𝐸 的正切值为________.

【答案】 2

【考点】圆周角定理，锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°， ∵∠BAE=∠BDC，

∴ tan∠𝐵𝐴𝐸=tan∠𝐵𝐷𝐶=𝐵𝐷=2 ， 故答案为 2 .

【分析】根据圆周角定理可得∠BAE=∠BDC，再Rt△DBC中，由正切函数定义可得结果.

15.如图，点 𝐴(−2,2) 在反比例函数 𝑦=𝑥 的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且 𝑂𝑀=𝑂𝑁=5 .点 𝑃(𝑥,𝑦) 是线段 𝑀𝑁 上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接 𝑂𝐴 、 𝑂𝑃 .当 𝑆△𝑂𝐴𝐷<𝑆△𝑂𝑃𝐸 时，x的取值范围是________.

𝑘

1

𝐵𝐶

1

1

【答案】 1<𝑥<4

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】解：∵点 𝐴(−2,2) ∴ 𝑘=2×(−2)=−4 ，

所以反比例函数的解析式为： 𝑦=−𝑥 ， 因为 𝑂𝑀=𝑂𝑁=5 ，

4

∴ 𝑀(5,0),𝑁(0,−5) ，

设线段MN解析式为： 𝑦=𝑝𝑥+𝑞(0≤𝑥≤5) ， 5𝑝+𝑞=0∴ { ，

𝑞=−5𝑝=1∴ { ，

𝑞=−5

∴线段MN解析式为： 𝑦=𝑥−5(0≤𝑥≤5) ，

𝑦=𝑥−5

4 ， 联立以上两个解析式得： {

𝑦=−

𝑥

𝑥=1𝑥=4

或 { ，经检验，符合题意； 解得： {

𝑦=−4𝑦=−1由图可知，两个函数的图象交点分别为点B和点C， ∴ 𝐵(1,−4) ， 𝐶(4,−1) ， ∵ 𝑆△𝑂𝐴𝐷<𝑆△𝑂𝑃𝐸 ，

∴P点应位于B和C两点之间， ∴ 1<𝑥<4 ， 故答案为： 1<𝑥<4 .

【分析】由点 𝐴(−2,2) 在反比例函数图像上可得k的值，由 𝑂𝑀=𝑂𝑁=5 可得点M、N的坐标，即可得直线MN的解析式，令直线解析式与反比例解析式相等可得交点B、C的坐标，根据 𝑆△𝑂𝐴𝐷<𝑆△𝑂𝑃𝐸 可得P点应位于B和C两点之间，可得结果.

16.如图，在正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，点O是对角线 𝐵𝐷 的中点，点P在线段 𝑂𝐷 上，连接 𝐴𝑃 并延长交 𝐶𝐷 于点E，过点P作 𝑃𝐹⊥𝐴𝑃 交 𝐵𝐶 于点F，连接 𝐴𝐹 、 𝐸𝐹 ， 𝐴𝐹 交 𝐵𝐷 于G，现有以下结论：① 𝐴𝑃=𝑃𝐹 ；② 𝐷𝐸+𝐵𝐹=𝐸𝐹 ；③ 𝑃𝐵−𝑃𝐷=√2𝐵𝐹 ；④ 𝑆△𝐴𝐸𝐹 为定值；⑤ 𝑆四边形𝑃𝐸𝐹𝐺=𝑆△𝐴𝑃𝐺 .以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）.

【答案】 ①②③⑤

【考点】正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形 【解析】【解答】解：∵四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， 𝑃𝐹⊥𝐴𝑃 ， ∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°， ①∵ ∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝑃𝐹=180° ，

∴由四边形内角和可得 ∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐵𝐹𝑃=180° ， ∴点A、B、F、P四点共圆，

∴∠AFP=∠ABD=45°， ∴△APF是等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝑃=𝑃𝐹 ，故①正确；

②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：

∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE， ∴ ∠𝐻𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝐹=45° ， ∵AF=AF，

∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴HF=EF，

∵ 𝐻𝐹=𝐵𝐻+𝐵𝐹 ，

∴ 𝐷𝐸+𝐵𝐹=𝐸𝐹 ，故②正确；

③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：

∵点O是对角线 𝐵𝐷 的中点， ∴OB=OD， 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 ，

∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝐵=√2𝐴𝑂 ，

由①可得点A、B、F、P四点共圆， ∴ ∠𝐴𝑃𝑂=∠𝐴𝐹𝐵 ， ∵ ∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝑂𝑃=90° ， ∴△AOP∽△ABF， ∴ 𝑂𝑃=𝑂𝐴=𝐴𝑃=√2 ，

𝐵𝐹

𝐴𝐵

𝐴𝐹

2

∴ 𝑂𝑃=√2𝐵𝐹 ，

2

∵ 𝐵𝑃−𝐷𝑃=𝐵𝑃−𝐵𝑀=𝑃𝑀=2𝑂𝑃 ， ∴ 𝑃𝐵−𝑃𝐷=√2𝐵𝐹 ，故③正确； ④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：

由②可得∠AFB=∠AFN， ∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF， ∴△ABF≌△ANF（AAS）， ∴AN=AB，

若△AEF的面积为定值，则EF为定值， ∵点P在线段 𝑂𝐷 上，

∴ 𝐸𝐹 的长不可能为定值，故④错误； ⑤由③可得

𝐴𝑃

=𝐴𝐹

√2 2

，

∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG， ∴△APG∽△AFE， ∴ ∴

𝐺𝑃𝐸𝐹

=

𝐴𝑃𝐴𝐹

=

√2 2

，

1

𝑆△𝐴𝐺𝑃𝑆△𝐴𝐸𝐹

=(2)2=2 ，

1

√2∴ 𝑆△𝐴𝐺𝑃=2𝑆△𝐴𝐸𝐹 ，

∴ 𝑆四边形𝑃𝐸𝐹𝐺=𝑆△𝐴𝑃𝐺 ，故⑤正确； 综上所述：以上结论正确的有①②③⑤； 故答案为①②③⑤.

【分析】由正方形的性质可得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①易得点A、B、F、P四点共圆，可得△APF是等腰直角三角形，可得结果；

②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，可得DE=BH，∠DAE=∠BAH，易得△AEF≌△AHF可得结果；

③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD， OP=OM，易证△AOP∽△ABF可得结果；

④过点A作AN⊥EF于点N，易得AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，可得结果； ⑤由③可得

𝐴𝑃𝐴𝐹

=

√2 2

，易得△APG∽△AFE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结果.

三、解答题（共10题；共99分）

17.解方程：

𝑥−32

+

𝑥−13

=4 .

【答案】 解：去分母得： 3(𝑥−3)+2(𝑥−1)=24 ， 去括号得： 3𝑥−9+2𝑥−2=24 ， 移项并合并同类项得： 5𝑥=35 ， 系数化为1得： 𝑥=7 ， 故答案为： 𝑥=7 .

【考点】解含分数系数的一元一次方程

【解析】【分析】方程两边同乘最小公倍数去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得结果. 18.先化简，再求值： (𝑥−𝑦+𝑥+𝑦)÷𝑥2+𝑥𝑦 .其中 𝑥=√2 ， 𝑦=1 . 【答案】 解：原式= (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)×𝑥⋅(𝑥+𝑦)=𝑥−𝑦 ， 把 𝑥=√2 ， 𝑦=1 代入得：原式=

2×(√2)2

√2−1𝑥+𝑦+𝑥−𝑦

2𝑥2

1

1

1

=4√2+4 .

【考点】利用分式运算化简求值，分母有理化

【解析】【分析】根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减先计算括号内的，再根据分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘可化简原式，代入x、y的值，分母有理化可得结果.

19.如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，E为 𝐷𝐶 边的中点，连接 𝐴𝐸 ，若 𝐴𝐸 的延长线和 𝐵𝐶 的延长线相交于点F.

（1）求证： 𝐵𝐶=𝐶𝐹 ；

（2）连接 𝐴𝐶 和 𝐵𝐸 相交于点为G，若 △𝐺𝐸𝐶 的面积为2，求平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ 𝐴𝐷//B𝐶 ， 𝐴𝐷=𝐵𝐶 ， ∴ ∠𝐴𝐷𝐸＝∠𝐸𝐶𝐹 ， ∵点E为DC的中点， ∴ 𝐷𝐸=𝐶𝐸 ，

在 △𝐴𝐷𝐸 和 △𝐸𝐶𝐹 中

∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐸𝐶𝐹

{

𝐷𝐸=𝐶𝐸

∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐶𝐸𝐹

∴ △𝐴𝐷𝐸≌△𝐸𝐶𝐹(𝐴𝑆𝐴) ， ∴ 𝐴𝐷=𝐶𝐹 ， ∴ 𝐵𝐶=𝐶𝐹 ；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴ 𝐴𝐵//𝐷𝐶 ， 𝐴𝐵=2𝐸𝐶 ，

∴ ∠𝐺𝐸𝐶=∠𝐴𝐵𝐺 ， ∠𝐺𝐶𝐸=∠𝐺𝐴𝐵 ， ∴ △𝐶𝐸𝐺∼△𝐴𝐵𝐺 ， ∵ △𝐺𝐸𝐶 的面积为2， ∴ 𝑆

𝑆△𝐴𝐵𝐺

△𝐶𝐸𝐺

=()2=()2= ，即 𝑆△𝐴𝐵𝐺=4𝑆△𝐶𝐸𝐺=4×2=8 ， 𝐶𝐸24

𝐴𝐵11

∵ △𝐶𝐸𝐺∼△𝐴𝐵𝐺 ∴ 𝐺𝐶=𝐶𝐸=2 ，

∴ 𝑆△𝐵𝐺𝐶=2𝑆△𝐴𝐵𝐺=2×8=4 ， ∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐺+𝑆△𝐵𝐶𝐺=8+4=12 ， ∴ 𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×12=24 .

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定（ASA）

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质易得 𝐴𝐷//B𝐶 ， 𝐴𝐷=𝐵𝐶 ， 由平行线的性质可得 ∠𝐴𝐷𝐸＝∠𝐸𝐶𝐹 ， 易得 △𝐴𝐷𝐸≌△𝐸𝐶𝐹 可得 𝐴𝐷=𝐶𝐹 ， 等量代换可得结果；

（2）由平行四边形的性质易得 𝐴𝐵//𝐷𝐶 ， 故可得 △𝐶𝐸𝐺∼△𝐴𝐵𝐺 ， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得 𝑆△𝐴𝐵𝐺 ， 根据△ABG与△BCG同高，且 𝐺𝐶=𝐶𝐸=2 可得 𝑆△𝐵𝐺𝐶=2𝑆△𝐴𝐵𝐺=

12

𝐴𝐺

𝐴𝐵

1

1

1

1

𝐴𝐺

𝐴𝐵

1

×8=4 ， 即可得 𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐺+𝑆△𝐵𝐶𝐺 ， 由平行四边形面积等于2倍 𝑆△𝐴𝐵𝐶可得结果.

20.为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球.甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个.

（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的 3 .学校有哪几种购买方案？

（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费.若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？

【答案】 （1）解：设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，

2

200𝑥+150(20−𝑥)≤3550

{2

𝑥>(20−𝑥)

3

解得， 8<𝑥≤11 ∵x是整数， ∴x=9，10或11 ∴20-x=12，10或9

故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；

（2）解：设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，

在甲商场花费： [200𝑥+150(20−𝑥)−500]×90%+500=(45𝑥+2750) 元； 在乙商场花费： [200𝑥+150(20−𝑥)−2000]×80%+2000=(40𝑥+2800) 元； ∴要使学校到甲商场花费最少，则有： 45𝑥+2750<40𝑥+2800 解得， 𝑥<10

∵ 8<𝑥≤11 ，且x是整数， ∴x=9，

即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少.

【考点】一元一次不等式组的应用，一次函数与不等式（组）的综合应用

【解析】【分析】（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据“ 学校计划用不超过3550元的总费用购买 ”可得200x+150(20-x)≤3550，根据“ 购买篮球的数量多于购买足球数量的 3 ”可得x≥

23

2(20−x) ， 求解不等式组，取正整数解即可得方案；

（2）根据优惠方案可分别得x与总费用的函数关系式，令学校到甲商场花费最少，可得 45𝑥+2750<40𝑥+2800 ，即 𝑥<10 ，由（1）可得x的范围，即可得到甲商城最省的方案，反之，即为到乙最省的方案.

21.“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种.截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%.以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图： 年龄段 甲医院 乙医院 频数 频率 频数 频率 18－29周岁 900 0.15 400 0.1 30－39周岁 a 0.25 1000 0.25 c 0.225 40－49周岁 2100 b 50－59周岁 1200 0.2 1200 0.3 60周岁以上 300 0.05 500 0.125

（1）根据上面图表信息，回答下列问题：

①填空： 𝑎= ________， 𝑏= ________， 𝑐= ________；

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为________；

（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率. 【答案】 （1）1500；0.35；900；108° （2）解：画树状图为：

∴所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数， ∴三人在同一家医院接种的概率 𝑃=8=4 .

【考点】频数与频率，频数（率）分布表，扇形统计图，列表法与树状图法 【解析】【解答】解：（1）①900÷0.15=6000（人），400÷0.1=4000（人）

∴a=6000-900-2100-1200-300=1500 b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35 c=4000-400-1000-1200-500=900 故答案为：1500，0.35， 900；

2

1

108° ②360° ×6000+4000=

+

2100900

故答案为：108°；

【分析】（1）①根据频率=

频数总数

公式可得总人数，公式变形可求解；

②圆心角=360°×所占白分别可得结果；

（2）根据A、B、C三人均可到甲、乙医院可得树状图，根据概率公式可求解.

22.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 75° ，测得小区楼房 𝐵𝐶 顶端点C处的俯角为 45° .已知操控者A和小区楼房 𝐵𝐶 之间的距离为45米，小区楼房 𝐵𝐶 的高度为 15√3 米.

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 𝐴𝐵 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据： tan75°=2+√3 ， tan15°=2−√3 .计算结果保留根号）

【答案】 （1）解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，

可知四边形EHBC为矩形， ∴EH=CB，CE=HB，

∵无人机测得小区楼房 𝐵𝐶 顶端点C处的俯角为 45° ，测得操控者A的俯角为 75° ，DM∥AB， ∴∠ECD=45°，∠DAB=75°， ∴∠CDE=∠ECD=45°， ∴CE=DE， 设CE=DE=HB=x，

∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+ 15√3 ，

在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH= (2+√3)(45−𝑥) ， 即 𝑥+15√3=(2+√3)(45−𝑥) ， 解得：x=30， ∴DH= 15√3+30

∴此时无人机的高度为 (15√3+30) 米；

（2）解：如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C， 过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG= 15√3+30 （米），

∴ 𝐷𝐺=

30+15√315

tan75°=2+√3=𝐴𝐺

；

∵ tan∠𝐶𝐴𝐵=𝐵𝐶=15√3=√3 ，

𝐴𝐵453∴ ∠𝐶𝐴𝐵=30° ∵DF∥AB，

∴∠DFA=∠CAB=30°， ∴ 𝐺𝐹=

𝐺𝐴tan30°

=30√3+45 ，

∴ 𝐷𝐹=𝐺𝐹−𝐷𝐺=30√3+30 ， 因为无人机速度为5米/秒，

303+30所以所需时间为 √

=6√3+6 （秒）；

5

所以经过 (6√3+6) 秒时，无人机刚好离开了操控者的视线. 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】（1） 过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，易得四边形EHBC为矩形，即 EH=CB，CE=HB， 设CE=DE=HB=x，则可得AH=45-x，DH=DE+EH=x+ 15√3 ， 由 DH=tan75°×AH 可得关于x的方程，求解可得结果； （2） 过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知AG= 15√3+30 ，可得𝐷𝐺=根据tan∠𝐶𝐴𝐵=

𝐵𝐶𝐴𝐵

𝐴𝐺tan75°

的长度，=

15√345

=

√3易得 3

∠𝐶𝐴𝐵=30° ，由 DF∥AB可得 ∠DFA=∠CAB=30° ，可得GF的

长度，即可得DF的长度，根据无人机素的可得时间.

23.如图，直线 𝑦=𝑘𝑥+2 与双曲线 𝑦=

1.5𝑥

相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，

（1）求直线 𝑦=𝑘𝑥+2 的解析式及点B的坐标；

（2）以线段 𝐴𝐵 为斜边在直线 𝐴𝐵 的上方作等腰直角三角形 𝐴𝐵𝐶 .求经过点C的双曲线的解析式. 【答案】 （1）解：∵点A在双曲线 𝑦=∴当x=1时，y=1.5， ∴点A坐标为（1，1.5）， ∵直线 𝑦=𝑘𝑥+2 与双曲线 𝑦=∴k+2=1.5， 解得：k=-0.5，

∴直线 𝑦=𝑘𝑥+2 的解析式为y=-0.5x+2，

𝑦=−0.5𝑥+2

， 联立反比例函数与一次函数解析式得 {1.5

𝑦=𝑥𝑥=3𝑥=1

， {2 （舍去）， 解得： {1

𝑦1=0.5𝑦2=1.5∴点B坐标为（3，0.5）.

（2）解：设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为 𝑦=𝑥 ， ∵A（1，1.5），B（3，0.5），

𝑘

1.5𝑥

1.5𝑥

上，点A的横坐标为1，

相交于点A、B，

∴AB= √(3−1)2+(1.5−0.5)2 = √5 ， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC= √2𝐴𝐵 = √10 ，

2

2

∴ (𝑚−1)2+(𝑛−2)2=(𝑚−3)2+(𝑛−2)2 ， 整理得： 𝑛=2𝑚−3 ，

∴ (𝑚−1)2+(2𝑚−3−)2=(√)2 ，

22解得： 𝑚=2或2 ，

∴ 𝑛=2𝑚−3=2 或0（舍去）， ∴点C坐标为（ 2.5 ，2），

把点C坐标代入双曲线解析式得： 2=2.5 ， 解得： 𝑘=5 ，

∴过点C的双曲线解析式为 𝑦=𝑥 .

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）把点A的横坐标代入反比例函数，可得点A坐标，把点A的坐标代入一次函数，可得直线解析式， 联立反比例函数与一次函数解析式可得点B坐标；

（2）由勾股定理可得AB的长度， 设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为 𝑦=𝑥 ， 根据△ABC是等腰直角三角形 以及勾股定理可得 (𝑚−1)2+(𝑛−2)2=(𝑚−3)2+(𝑛−2)2 可得 𝑛=2𝑚−3 ， 再根据等腰直角三角形的腰长可得 (𝑚−1)2+(2𝑚−3−)2=(√)2 ， 可得点C坐

2

2

3

103

1

𝑘5

𝑘

5

3

3

1031

标，代入可得解析式.

24.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 𝐴𝐷 是 ∠𝐵𝐴𝐶 的平分线，以 𝐴𝐷 为直径的 ⊙𝑂 交 𝐴𝐵 边于点E，连接 𝐶𝐸 ，过点D作 𝐷𝐹//𝐶𝐸 ，交 𝐴𝐵 于点F.

（1）求证： 𝐷𝐹 是 ⊙𝑂 的切线；

（2）若 𝐵𝐷=5 ， sin∠𝐵=5 ，求线段 𝐷𝐹 的长.

3

【答案】 （1）证明：连接DE，

⌢=𝐷𝐶⌢ ∵ 𝐷𝐶

∴∠CAD=∠CED，

∵ 𝐴𝐷 是 ∠𝐵𝐴𝐶 的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， ∴∠CED=∠EAD， ∵ 𝐷𝐹//𝐶𝐸 ， ∴∠CED=∠FDE， ∴∠EAD=∠FDE， ∵AD为 ⊙𝑂 直径， ∴∠AED=∠ACD=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠ADE+∠FDE=90°， 即AD⊥FD，

又∵ 𝐴𝐷 为 ⊙𝑂 直径， ∴ 𝐷𝐹 是 ⊙𝑂 的切线；

（2）解：∵∠AED=90°， ∴∠BED=90°，

∴ 𝐷𝐸=𝐵𝐷·sin∠𝐵=5×5=3 ， ∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴DE=DC=3， ∴BC=BD+CD=8，

在Rt △𝐴𝐵𝐶 中，∵ sin∠𝐵=5 ， ∴设AC=3x，AB=5x， ∴ (5𝑥)2−(3𝑥)2=82 ， ∵x＞0， ∴x=2，

∴AB=5x=10，AC=3x=6，

33

∵△AED≌△ACD， ∴AE=AC=6，

∴在Rt△ADE中， 𝐴𝐷=√𝐴𝐸2+𝐷𝐸2=3√5 ， ∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°， ∴△ADE∽△AFD， ∴ 𝐹𝐷=𝐴𝐷 ， 即 𝐹𝐷=3√5 ， ∴ 𝐹𝐷=3√5 .

2

3

6𝐷𝐸

𝐴𝐸

【考点】勾股定理，圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）连接DE，由同弧所对圆周角相等可得 ∠CAD=∠CED， 由 𝐴𝐷 是 ∠𝐵𝐴𝐶 的平分线可得 ∠CAD=∠EAD， 等量代换可得 ∠CED=∠EAD， 由平行线性质和等量代换可得 ∠EAD=∠FDE， 由直径所对圆周角是直角可得∠ADE+∠FDE=∠ADE+∠DAE=90°，可得证；

（2）由正弦定理易得DE=3，易证 △AED≌△ACD， 可得BC的长度， 在Rt △𝐴𝐵𝐶 中，由sin∠𝐵=

35

可设AC=3x，AB=5x，由勾股定理可得AB、AC的长度，可得AE的长度，即可得AD的长度，由（1）

易得△ADE∽△AFD，可得结果.

25.如图1，在 △𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶 ，点D是 𝐴𝐵 边上一点（含端点A、B），过点B作 𝐵𝐸 垂直于射线 𝐶𝐷 ，垂足为E，点F在射线 𝐶𝐷 上，且 𝐸𝐹=𝐵𝐸 ，连接 𝐴𝐹 、 𝐵𝐹 .

（1）求证： △𝐴𝐵𝐹∽△𝐶𝐵𝐸 ；

（2）如图2，连接 𝐴𝐸 ，点P、M、N分别为线段 𝐴𝐶 、 𝐴𝐸 、 𝐸𝐹 的中点，连接 𝑃𝑀 、 𝑀𝑁 、 𝑃𝑁 .求 ∠𝑃𝑀𝑁 的度数及 𝑃𝑀 的值；

（3）在（2）的条件下，若 𝐵𝐶=√2 ，直接写出 △𝑃𝑀𝑁 面积的最大值. 【答案】 （1）证明：∵ ∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶 ∴ 𝐴𝐵=√2𝐵𝐶 ， ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=45∘ ∵ 𝐵𝐸 垂直于射线 𝐶𝐷 ， ∴ ∠𝐵𝐸𝐹=90∘,

𝑀𝑁

又∵ 𝐸𝐹=𝐵𝐸

∴ 𝐹𝐵=√2𝐸𝐵 ， ∠𝐹𝐵𝐸=∠𝐸𝐹𝐵=45∘ ∵ ∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐹𝐵𝐸 即： ∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐶𝐵𝐸 又∵ 𝐶𝐵=𝐵𝐸=√2 ∴ △𝐴𝐵𝐹∽△𝐶𝐵𝐸

（2）解：∵点P、M、N分别为线段 𝐴𝐶 、 𝐴𝐸 、 𝐸𝐹 的中点 ∴ 𝑃𝑀//𝐶𝑁 ， 𝑀𝑁//𝐴𝐹 ， 𝑃𝑀=2𝐶𝐸,𝑀𝑁=2𝐴𝐹 ∴ ∠𝑀𝑃𝑁=∠𝐶𝑁𝑃 ， ∠𝐶𝑁𝑀=∠𝐸𝐹𝐴

∴ ∠𝑀𝑃𝑁+∠𝑀𝑁𝑃=∠𝐶𝑁𝑃+∠𝑀𝑁𝑃=∠𝐶𝑁𝑀=∠𝐸𝐹𝐴 又∵ △𝐴𝐵𝐹∽△𝐶𝐵𝐸 ∴ ∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐶𝐸𝐵=90∘ 又∵ ∠𝐸𝐹𝐵=45∘

∴ ∠𝐸𝐹𝐴=∠𝐴𝐹𝐵−∠𝐵𝐹𝐸=90∘−45∘=45∘ ∴ ∠𝑀𝑃𝑁+∠𝑀𝑁𝑃=45∘

又∵ ∠𝑀𝑃𝑁+∠𝑀𝑁𝑃+∠𝑃𝑀𝑁=180∘ ∴ ∠𝑃𝑀𝑁=180∘−45∘=135∘ 又∵ 𝑃𝑀=

𝑀𝑁

1𝐴𝐹21𝐶𝐸2

𝐴𝐵𝐵𝐹

11

=𝐶𝐸 𝐴𝐹

又∵ △𝐴𝐵𝐹∽△𝐶𝐵𝐸 ∴ 𝐶𝐸=𝐶𝐵=√2 ∴ 𝑃𝑀=√2

（3）解：如下图：

𝑀𝑁𝐴𝐹

𝐴𝐵

过点P作 𝑃𝑄 垂直于 𝑁𝑀 的延长线于点Q， ∵∠𝑃𝑀𝑁=135°, ∴∠𝑃𝑀𝑄=45°=∠𝑀𝑃𝑄,

∴𝑃𝑄=

√2𝑃𝑀, 2

1111√2√2√2𝑆△𝑃𝑀𝑁=𝑀𝑁·𝑃𝑄=×𝐴𝐹×𝑃𝑀=𝐴𝐹·𝐶𝐸=𝐴𝐹·𝐶𝐸

22228216又∵ 𝐵𝐶=√2 ∴ 𝐴𝐹=√2𝐶𝐸

∴ 𝑆△𝑃𝑀𝑁=√2×√2𝐶𝐸2=1𝐶𝐸2

168

∴当 𝐶𝐸 取得最大值时， △𝑃𝑀𝑁 取得最大值， ∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐸,

∴𝐸 在以 𝐵𝐶 的中点为圆心， 𝐵𝐶 为直径的圆上运动， ∴ 当 𝐶𝐸=𝐶𝐵=√2 时， 𝐶𝐸 最大， ∴ 𝑆=8×2=4 ，

【考点】相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形性质易得 𝐴𝐵=√2𝐵𝐶 ， 𝐹𝐵=√2𝐸𝐵 ， ∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐵𝐸=

1

1

∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐹𝐵𝐸 可得证；

（2）由中位线定理易得 𝑃𝑀//𝐶𝑁 ， 𝑀𝑁//𝐴𝐹 ， 𝑃𝑀=2𝐶𝐸,𝑀𝑁=2𝐴𝐹 ，易证 △𝐴𝐵𝐹∽△𝐶𝐵𝐸 ，可得 ∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐶𝐸𝐵=90∘ ，易得 ∠𝑃𝑀𝑁=135∘可证 △𝐴𝐵𝐹∽△𝐶𝐵𝐸 ，可得 𝐶𝐸=√2 即可得结果；

（3）由（2）可得MN=√2PM，∠𝑃𝑀𝑁=135∘ ， 𝑃𝑀=2𝐶𝐸,故 当 𝐶𝐸 取得最大值时， △𝑃𝑀𝑁 取得最大值.

26.如图1，在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 (𝑥,𝑦) 的坐标值： x … −1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 1

𝐴𝐹

1

1

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）𝑃𝑄 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 𝐴𝑄+𝑄𝑃+𝑃𝐶 的最小值； （3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 𝐷𝐹⊥𝑥 轴，垂足为F， △𝐴𝐵𝐷 的外接圆与 𝐷𝐹 相交于点E.试问：线段 𝐸𝐹 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】 （1）解：由表格数据可知，顶点坐标为（1，4） 设抛物线解析式为： 𝑦=𝑎(𝑥−1)2+4 ， 将点（0，3）代入解析式得：3=a+4， ∴ 𝑎=−1 ，

∴抛物线解析式为： 𝑦=−(𝑥−1)2+4 ，顶点坐标 𝑀(1,4) .

（2）解：由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3）， 如图3，将A点向上平移一个单位，得到 𝐴′(−1,1) ，

则 𝐴𝐴′//𝑃𝑄，𝐴𝐴′=𝑃𝑄， ∴四边形 𝐴𝐴′𝑃𝑄 是平行四边形， ∴ 𝑃𝐴′=𝑄𝐴 ，

作 𝐴′ 关于MQ的对称点E，则 𝐸(3,1), ∴ 𝑃𝐴′=𝑃𝐸 ，

∴ 𝐴𝑄+𝑄𝑃+𝑃𝐶=𝑃𝐸+1+𝑃𝐶 ， 当P、E、C三点共线时， 𝑃𝐸+𝑃𝐶 最短， 设直线CE的解析式为： 𝑦=𝑚𝑥+𝑛 ，

𝑛=3

， 将C、E两点坐标代入解析式可得： {

3𝑚+𝑛=1

𝑛=3

∴ {𝑚=−2 ，

3∴直线CE的解析式为： 𝑦=−3𝑥+3 ， 令 𝑥=1 ，则 𝑦=3 ，

∴当 𝑃(1，3) 时，P、E、C三点共线，此时 𝑃𝐸+𝑃𝐶=𝐸𝐶=√(3−0)2+(1−3)2=√13 最短， ∴ 𝐴𝑄+𝑄𝑃+𝑃𝐶 的最小值为 √13+1 .

（3）解：是； 理由：设 𝐷（𝑝,𝑞） ，

因为A、B两点关于直线x=1对称， 所以圆心位于该直线上，

所以可设 △𝐴𝐵𝐷 的外接圆的圆心为 𝑂′(1,𝑒) ，

7

7

2

作 𝑂′𝑁⊥𝐷𝐹 ，垂足为点N，则 𝑁（𝑝,𝑒） ，

由 𝐷𝐹⊥𝑥 轴， ∴ 𝐸（𝑝,2𝑒−𝑞） ，

∵ 𝑂′𝐷=𝑂′𝐵 ，且由表格数据可知 𝐵(3,0) ∴ (3−1)2+(0−𝑒)2=(𝑝−1)2+(𝑞−𝑒)2 ， 化简得： 4+𝑒2=(𝑝−1)2+(𝑞−𝑒)2 ，

∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为 𝑦=−(𝑥−1)2+4 ， ∴ 𝑞=−(𝑝−1)2+4 ， ∴ (𝑝−1)2=4−𝑞 ， ∴ 4+𝑒2=4−𝑞+(𝑞−𝑒)2 ， ∵ 𝑞≠0 ， ∴ 2𝑒−𝑞=−1 ， ∴ 𝐸（𝑝,−1） ， ∴ 𝐸𝐹=1 ，

即 𝐸𝐹 的长不变，为1.

【考点】待定系数法求二次函数解析式，轴对称的应用-最短距离问题，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数-动态几何问题

【解析】【分析】（1）根据顶点坐标 （1，4） 可设抛物线顶点式： 𝑦=𝑎(𝑥−1)2+4 ， 将点（0，3）代入解析式可得结果；

（2） 由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），将A点向上平移一个单位，得到 𝐴′(−1,1) ， 作 𝐴′ 关于MQ的对称点E，则 𝐸(3,1), 当P、E、C三点共线时， 𝑃𝐸+𝑃𝐶 最短， 根据点C、E坐标易得直线CE的解析式，由点P在对称轴上可得点P坐标，根据勾股定理可得结果；

（3）由抛物线的对称性可得圆心位于直线 x=1 上，设 △𝐴𝐵𝐷 的外接圆的圆心为 𝑂′(1,𝑒) ，作 𝑂′𝑁⊥

𝐷𝐹 ，垂足为点N，则 𝑁（𝑝,𝑒） 、 𝐸（𝑝,2𝑒−𝑞） ， 由 𝑂′𝐷=𝑂′𝐵 可得e、p、q关系式，再根据点D在抛物线上可整理，即可得点E坐标，可得结果.